Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3
/ Trigonometri
Areasatsen
Areasatsen är en av de tre triangelsatserna tillsammans med sinussatsen och cosinussatsen.
Med hjälp av denna sats kan du beräkna arean för en triangel när du känner till längden av två av triangelns sidor samt den mellanliggande vinkeln. Alltså vinkeln vars vinkelben motsvarar de två kända längderna. Satsen ger följande.
Areasatsen
För en triangel $ABC$ABC ges arean av följande kvot.
$\text{Area}=$Area= $\frac{a\text{ }b\text{ }\sin C}{2}$a b sinC2
där $C$C är mellanliggande vinkel för sidorna $a$a och $b$b
Då det finns tre vinklar i samma triangel gäller så klart att likhet råden mellan följande tre kvoter, eftersom att de alla motsvarar samma triangels area.
$\frac{a\text{ }b\cdot\sin C}{2}=\frac{b\text{ }c\cdot\sin A}{2}=\frac{a\text{ }c\cdot\sin B}{2}$a b·sinC2 =b c·sinA2 =a c·sinB2
Vi använder oss alltså av en av de tre kvoterna i taget för att beräkna en triangels area. Vilken vi väljer beror på vilka sidor och vinklar på triangeln som är kända för oss.
Exempel 1
Beräkna triangelns area
Lösning
Vi beräknar arean med hjälp av areasatsen. Den ger att
$Area=$Area=$\frac{2,6\cdot5,0\cdot\sin68^{\circ}}{2}\approx$2,6·5,0·sin68∘2 ≈$6,03$6,03
Vi svarar här med enheten areaenhet då inga andra enheter har nämnts i figuren.
$Area\approx6,03\text{ }a.e$Area≈6,03 a.e
Exempel 2
Bestäm vinkeln $v$v så att triangeln får arean $12\text{ }cm^2$12 cm2
Lösning
Med hjälp av areasatsen ställer vi upp följande ekvation
$\frac{6\cdot4,8\cdot\sin v}{2}=$6·4,8·sinv2 = $12$12
Vi löser denna ekvation och börjar med att multiplicera bägge leden med 2
$6\cdot4,8\cdot\sin v=24$6·4,8·sinv=24
Nu delar vi med $6\cdot4,8$6·4,8 och får då
$\sin v=$sinv= $\frac{24}{6\cdot4,8}$246·4,8
Därefter tar vi sinusinversen i bägge leden och får
$v=\sin^{-1}\left(\frac{24}{6\cdot4,8}\right)\approx56,4^{\circ}$v=sin−1(246·4,8 )≈56,4∘
Därför skall vinkeln vara $56,4^{\circ}$56,4∘ för att arean skall bli $12\text{ }cm^2$12 cm2
Bevis av areasatsen
Vi gör beviset först för när en vinkel A är spetsig. Därefter bevisar vi satsen när vinkel A är trubbig.
1. Spetsig vinkel
Vi antar att vinkeln $A$A är spetsig enligt figuren ovan. När en vinkel är spetsig är den mindre än $90^{\circ}$90∘ .
Sambandet för sinus kan skrivas som
$\sin A=$sinA=$\frac{h}{b}$hb där vi bryter ut $h=b\cdot\sin A$h=b·sinA.
Arean för en triangel är $A=$A= $\frac{\text{Basen }\cdot\text{Höjden}}{2}$Basen ·Höjden2 där basen motsvarar $c$c och höjden $b\cdot\sin A$b·sinA.
Slutligen sätter vi in detta i formeln för att beräkna en triangels area och får att
$\text{Arean}=$Arean= $\frac{\text{Basen }\cdot\text{Höjden}}{2}=\frac{c\cdot b\cdot\sin A}{2}$Basen ·Höjden2 =c·b·sinA2 vilket är areasatsen.
2. Trubbig vinkel
Nu är vinkeln $A$A trubbig istället i figuren ovan, dvs den är större än $90^{\circ}$90∘ .
Sambandet för sinus för vinkeln $180^{\circ}-A$180∘−A kan skrivas som
$\sin\left(180^{\circ}-A\right)=$sin(180∘−A)= $\frac{h}{b}$hb där vi bryter ut $h=b\cdot\sin\left(180^{\circ}-A\right)$h=b·sin(180∘−A)
Sambandet för vinklar och sinus ger att $\sin\left(180^{\circ}-A\right)=\sin A$sin(180∘−A)=sinA. I lektionen om enhetscirkeln bevisar vi det sambandet.
Därför får vi att
$h=b\cdot\sin\left(180^{\circ}-A\right)=b\cdot\sin A$h=b·sin(180∘−A)=b·sinA
Då gäller även här att triangelns area kan beskrivas som
$\text{Area}=$Area= $\frac{c\cdot b\cdot\sin A}{2}$c·b·sinA2
Detta var beviset för areasatsen.
Exempel i videon
- Bestäm triangelns area då vinkeln $C=30^{\circ}$C=30∘, $AC=12\text{ }cm$AC=12 cm och $BC=15\text{ }cm$BC=15 cm.
- En triangeln ABC har sidorna $AB=8\text{ }m$AB=8 m och $BC=12\text{ }m$BC=12 m. Bestäm vinkeln B så att triangeln får arean $24\text{ }m^2$24 m2
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (3)
-
1. Premium
Beräkna arean med hjälp av areasatsen då måtten är angivna i enheten meter.
Ange svaret med en decimals noggrannhet och enheten m^2.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: areasatsen trigonometriRättar... -
-
2. Premium
Beräkna vinkeln $v$v då den spetsiga triangelns area är $24$24 m².
Svara med en decimals noggrannhet.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: areasatsen Matematik 3 trigonometriRättar... -
-
3. Premium
I den spetsvinkliga triangeln $ABC$ABC är $AB=12$AB=12 och $AC=10$AC=10.
Beräkna vinkeln $A$A om triangelns area är $50$50 m²
Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: areasatsen Matematik 3 trigonometriRättar... -
c-uppgifter (5)
-
4. Premium
Beräkna arean för den ljusblå triangeln i figuren.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: areasatsen problemlösning trigonometriRättar... -
-
5. Premium
Beräkna arean med hjälp av areasatsen med en decimals noggrannhet.
Måtten är angivna i enheten meter.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: areasatsen Matematik 3 trigonometriRättar... -
-
6. Premium
Bestäm fyrhörningens area.
Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: areasatsen fyrhörning Matematik 3 trigonometriRättar... -
-
7. Premium
I den spetsvinkliga triangeln nedan är arean $9$9 m². Bestäm triangelns sida $a$a med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: areasatsen Matematik 3 trigonometriRättar... -
-
8. Premium
Bo ska bygga ett hus som totalt är $6$6 meter högt. Huset har en symmetrisk gavel, vilket innebär att taket har samma lutning på var sida och att taknocken ligget i mitten av husets kortsida.
Hur stor är vinkeln vid taknocken som är markerad med vinkeln v i figuren?
Avrunda ditt svar till en decimal.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: areasatsen triangelsatserna trigonometriRättar... -
a-uppgifter (4)
-
9. Premium
I den spetsvinkliga triangeln $\bigtriangleup ABC$△ABC är arean $6$6 m². Bestäm triangelns kortaste sida med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: areasatsen Matematik 3 trigonometriRättar... -
-
10. Premium
Triangelns area är $20$20 a.e. Bestäm triangelns längsta sida.
Avrunda till en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: areasatsen Geometri trigonometriRättar... -
-
11. Premium
Beräkna den blåa arean då den regelbundna sexhörningen har sidan $4$4 l.e.
Avrunda till en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: areastasen Geometri triangelsats trigonometriRättar... -
-
12. Premium
Figuren visar en triangel med sidan $x$x.
Ange det värde på $k$k som ger att triangelns area kan beskrivas med formeln $\text{Area}=k\cdot x^2$Area=k·x2
Avrunda till två decimalers noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: areasatsen Geometri trigonometriRättar... -
Jan Schiller
Förklaringen till uppgift 8 förstår inte jag. Taknockens vinkel är väl > 90 grader ?
Ni svarar 61,5 grader.
Jag fick det till 117,3 grader.
Vad är det jag har missat ?
Avsnitt: ariasatsen.
Hälsningar Jan , som tycker att ert material är bäst !
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Jan,
kul att du gillar oss.
Jag ser att det hade blivit en miss i lösningen och har nu korrigerat den. Tack för att du sa till. Det hjälper oss att bli bättre!
Lycka till med trigonometrin!
Anonym
Förklaringen verkar vara menad till någon annan uppgift. Det finns inga ”vinkelben a och b” och flera saker verkar inte stämma.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Johan,
refereringen till $a$ och $b$ är utifrån areasatsen på formelbladet. Alltså den generella areasatsen.
Det utgår vi ifrån för att sedan sätta in de värden som gäller för just den uppgiften.
Så lösningen med värdena i uppgiften kommer lite längre ner i texten i förklaringen.
Hoppas det blev tydligare.
Alexander Y
Alltså typ vad är sidan a i den triangeln?
Alexander Y
Fråga 11. Vilken sida menar du? Inte de två sidorna som i sida gånger sida gånger mellanliggande vinkel / 2. Kan du förklara?
Emmy Palm
Varför är värdet på fråga 7: 6,1 och inte 5,1?
Anna Admin (Moderator)
Kan du ha glömt att addera $-\frac{p}{2}$ som är lika med 1 i uppgiften?
Simon Sundberg vux Vuxelev
På övning 8 så är ”3,0m” rätt svar men ”3m” är fel svar. Det kanske är medvetet, men jag har inte stött på det tidigare.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Tack för att du sade till, det är korrigerat!
Endast Premium-användare kan kommentera.