Nationellt prov Matematik 3c vt 2013 del D

Nyfödda barn minskar normalt i vikt under de första dygnen, därefter ökar vikten. Efter tre dygn är vikten som lägst.

Enligt en förenklad modell kan vikten för ett nyfött barn beskrivas med

 $V\left(t\right)=5t^3-135t+3500$V(t)=5t³−135t+3500 

där $V$V är vikten i gram och $t$t är tiden i dygn efter födseln.

a) Hur mycket minskar ett barn i genomsnitt i vikt per dygn under de tre första dygnen? 

b) Utvärdera hur väl modellen stämmer överens med verkligheten när barnet är några veckor gammalt.

För funktionen $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ƒ (x)=x³−3x²+2 och att $f$ƒ  är definierad i intervallet $0\le$0≤ $x\le$x≤ $4$4.

Bestäm funktionens minsta och största värde.

Svara på formen Minst $a$a, Störst $b$b.

För en funktion $f$ƒ  där $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) gäller att $f\left(3\right)=4$ƒ (3)=4 och $f’\left(3\right)=2,4$ƒ ’(3)=2,4 
Lotta tänker en stund och påstår:

− Om det är en rät linje måste $f\left(100\right)$ƒ (100) vara exakt $244$244 

Undersök om Lottas påstående är korrekt.

Beräkna vinkeln $v$v i figuren.

Världsrekordet för damer i spjutkastning är $72,28$72,28 m och sattes i Stuttgart $2008$2008 av Barbora Špotáková från Tjeckien.

Kastlängden mäts till den punkt där spjutspetsen tar mark. Det finns en regel som säger att kastplanen kan få luta lite (uppåt eller nedåt) men då får lutningen som högst vara $1:1000$1:1000 i kastriktningen. Det betyder att på  $1000$1000 m är höjdskillnaden $1$1 m.

Antag att Špotákovás världsrekord på $72,28$72,28 m gjordes på en kastbana utan lutning och att spjutet bildade vinkeln $v=30°$v=30° mot marken vid nedslaget. Se figur $1$1.

När kastplanen lutar uppåt blir kastlängden lite kortare. Vilken kastlängd $D$D hade Špotákovás kast fått på en bana med maximalt tillåten lutning uppåt? Se figur $2$2.

Svara i meter med två decimaler.

Peder ritar upp grafen till $f\left(x\right)=x^3+0,03x+1$ƒ (x)=x³+0,03x+1 på sin grafritande räknare och säger:

−Jag ser att grafen har en terrasspunkt.

Undersök om han har rätt.

I figuren nedan visas en enhetscirkel som tangeras av en linje $L$L som är parallell med $y$y-axeln. För vinkeln $v$v gäller att  $0^{\circ}$0^∘ <  $v$v < $90^{\circ}$90^∘

Punkterna $O,\text{ }P$O, P och $Q$Q ligger på samma linje. Punkten $Q$Q har  $y$y-koordinaten $t$t.

Bestäm $\cos v$cosv uttryckt i $t$t.

 $S$S är en kontinuerlig funktion som är definierad för alla $x$x.

Bestäm $S’\left(4\right)$S’(4) då $S\left(x+h\right)=S\left(x\right)+h$S(x+h)=S(x)+h.