Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 3b
/ Derivatan och grafen
Extrempunkter, extremvärden och största och minsta värde
Innehåll
När vi bestämmer det största och minsta värdet av en funktion är derivatan till stor hjälp.
Det element i definitionsmängden där funktionen i ett intervall antar ett största eller minsta funktionsvärde kallas för en extrempunkt.
Det tillhörande funktionsvärdet till en extrempunkt kallas för ett extremvärde.
Extrempunkter och Extremvärden
Som vi tidigare nämnt kan derivatan ge förutsättningar att göra beräkningar och analysera matematiska modeller som beskriver hur olika skeenden och saker förändras.
Inte sällan är syftet att kunna maximera eller minimera olika skeenden. Många vill kunna förutse en utveckling eller en kommande förändring, eller studera förändringar för att kunna dra slutsatser kring hur olika saker påverkar varandra.
Vid dessa så kallade optimeringsproblem, som är en central del av denna kurs, söker vi alltså ofta en extrempunkt eller ett visst extremvärde, eller extremum som det också kallas. Dessa värden återfinns där derivatan är lika med noll eller i intervallets ändpunkter.
Stationära punkter
I de punkter där en funktion antar ett största eller minsta värde i förhållande till närliggande punkter på grafen, sägs förändringen tillfälligt vara lika med noll.
Eller med andra ord, en punkt där funktionsvärdet varken ökar eller minskar, det vill säga där förändringen i punkten är lika med noll, kallas för en stationär punkt.
Stationär punkt är ett samlingsnamn för extrempunkter och terrasspunkter. I alla dessa punkter $x=a$ antar derivatan värdet noll. Vi konstaterade ju nyss att förändringen, vilket just motsvarar derivatans värde i punkten, är lika med noll!
Extrempunkter i sin tur är detsamma som vi tidigare benämnt vertex i studier med parabler, alltså minimi- och maximipunkter.
Exempel 1
Ange alla punkter för funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) i intervallet $-2\le x\le2$−2≤x≤2
a) där derivatan är lika med noll
b) som är stationära punkter
Lösning
a) Derivatan är lika med noll i grafens vändpunkter. Dessa återfinns i $x=-1$x=−1 och $x=1$x=1.
b) De stationära punkterna är alla de punkter i intervallet där derivatan är lika med noll. Alltså samma extrempunkter som i a), det vill säga i $x=-1$x=−1 och $x=1$x=1.
Bra att notera är att punkter inte är detsamma som koordinater. En punkt kan anges i noll, en eller flera dimensioner. Vi utvecklar detta påstående i kommande stycke.
Extrempunkter
Extrempunkt är ett samlingsnamn för de punkter där funktionen har ett maximum eller minimum.
En punkt $a$ i en definitionsmängd kallas för en maximipunkt om det finns ett intervall kring punkten där $f\left(a\right)\ge f\left(x\right)$ för alla $x$ som tillhör definitionsmängden och intervallet.Maximipunkt
När vi tittar på grafen till en funktion kommer maximipunkter återfinnas i de punkter där grafen når en "högsta topp" och "vänder" neråt.
I maximipunkter ändras derivatans värde från positiva för intilliggande värden som är mindre än maximipunkten, till negativa värden.
En punkt $a$ i en definitionsmängd kallas för en minimipunkt om det finns ett intervall kring punkten där $f\left(a\right)\le f\left(x\right)$ för alla $x$ som tillhör definitionsmängden och intervallet.Minimipunkt
Där funktionens graf har minimipunkter når grafen en "lägsta dal" och "vänder" uppåt igen.
I minimipunkter ändras derivatans värde från negativa för intilliggande värden som är mindre än extrempunkten, till positiva för $x$x-värden större än minimipunkten.
Terrasspunkt
Utöver extrempunkterna har vi ännu en sorts stationära punkter att hålla koll på i denna kurs. Nämligen de så kallade terrasspunkter.
Det är punkter där derivatan har teckenväxlingen $+0+$ alternativ $-0-$. Vi kommer att gå igenom detta mer ingående i lektionen om Nollställen och teckentabeller.
Extremvärden
När vi talar om det minsta och största värdet för en funktion söker vi det minsta och största $y$y-värdet funktionen antar i ett visst intervall.
Ofta vill vi begränsa eller studera värdena till ett särskilt intervall och talar då om lokala extrempunkter.
Punkter och koordinater
Som vi nämnde ovan är en punkt och koordinaterna till en punkt på grafen inte samma sak. Men de förväxlas lätt och det är även vanligt att vi i matematikundervisningen både slarvar och förväxlar dessa begrepp.
Begreppet punkt i matematiken introduceras ofta i samband med att vi börjar analysera och jobba med grafer till funktioner i ett koordinatsystem. Därför förväxlas lätt begreppen då vi ofta frågar efter koordinaterna till punkten på grafen till funktionen. Det som då efterfrågas är just en punkts läge i koordinatsystemet.
Inom geometri definieras punkter som ett objekt utan någon utsträckning. Men punktens läge kan definieras i ett koordinatsystem i koordinatform med en $x$x- och en $y$y-koordinat.
När vi talar om extrempunkter är det därför bara den oberoende variabelns värde vi efterfrågar, som väldigt ofta är $x$x -värdet. Det tillhörande funktionsvärdet, ofta angett som $y$y-värde, motsvarar extremvärdet för extrempunkten och dessa tillsammans representeras av koordinaterna till en punkt på grafen som tillhör funktionen.
Exempel 2
Figuren nedan visar grafen till andragradsfunktionen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x).
a) Ange andragradsfunktionens extrempunkt.
b) Ange andragradsfunktionens extremvärde.
c) Ange koordinaterna för punkten på grafen till andragradsfunktionen som motsvarar det minsta värdet.
Lösning
Vi markerar grafens vändpunkt och bestämmer $x$x- och $y$y-värdet grafiskt. Vi kan sedan ange svaren på frågorna utifrån det.
a) Extrempunkten motsvarar $x$x-värdet där funktionens derivata är lika med noll. Det hittar vi grafiskt där grafen vänder.
Det vill säga funktionens extrempunkt är $x=1$x=1
b) Extremvärdet motsvarar extrempunktens tillhörande $y$y -värde, vilket är $-2$−2.
Har du inte grafen med funktionsuttrycken kan du alltid beräkna extremvärdet med hjälp av extrempunkten. Här motsvarar det $f\left(1\right)=-2$ƒ (1)=−2 .
c) Koordinaterna för punkten på grafen till andragradsfunktionen som motsvarar det minsta värdet är $\left(1,\text{ }-2\right)$(1, −2)
Kanske känner du igen tankesättet från arbetet med andragradsfunktioner där funktionens nollställen alltid angavs enbart med $x$x-värden. Vi sa att nollställena grafiskt motsvarar punkten där grafen skär $x$x-axeln, vilket då syftade på enbart $x$x-koordinaten.
Var återfinns det minsta och största värdet i en funktion?
Det största eller minsta funktionsvärdet kommer att återfinnas i någon av följande punkter. I någon av
- intervallets ändpunkter
- extrempunkterna i intervallet
- punkterna i intervallet där funktionen inte är deriverbar
Vi visar med ett exempel hur vi anger största och minsta värdet utifrån de tre punkterna ovan.
Exempel 3
Figuren nedan visar grafen till funktionen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) i intervallet $-1\le$−1≤ $x<5$x<5
a) Ange största värdet för $f\left(x\right)$ƒ (x) i intervallet.
b) Ange minsta värdet för $f\left(x\right)$ƒ (x) i intervallet.
Lösning
a) Det största värdet är detsamma som det största $y$y -värde/$f\left(x\right)$ƒ (x) antar i intervallet.
I detta intervall har vi det största värdet i den lokala extrempunkten $x=3$x=3 och värdet är där $y=5$y=5.
b) Eftersom $x=5$x=5 inte ingår i intervallet och grafen antar minsta värde i området vid $x=5$x=5 säger vi att ett minsta värde saknas.
Det är, som vi såg här, inte alltid möjligt att ange ett största eller minsta värde i ett intervall. Det inträffar när minsta eller största värdet finns i en punkt som inte ingår i intervallet.
Exempel 4
Figuren nedan visar grafen till funktionen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) i intervallet $a\le$a≤$x<$x< $g$g .
a) Ange i vilken eller vilka punkter funktionen har en lokal extrempunkt.
b) Ange extrempunkternas karaktär.
c) Ange i vilken eller vilka punkter funktionen har en global extrempunkt.
d) Ange i vilken eller vilka punkter funktionen har en terrasspunkt.
e) Ange i vilken eller vilka punkter funktionen har ett lokalt extremvärde.
f) Ange i vilken punkt funktionen har sina globala extremvärden.
Lösning
a) En stationär punkt, alltså en punkt där derivatan är lika med noll, och funktionen inte antar några större värden i området kring punkten kallas för en extrempunkt. Vi påminner om att extrempunkter till funktionen är definierade $x$x -värden. I denna uppgift är det punkterna $x=b$x=b, $x=d$x=d, $x=e$x=e och $x=f$x=ƒ som är extrempunkter. De motsvarar punkterna B, D, E och F på grafen.
b) Att ange extrempunkternas karaktär innebär att bestämma om de är en maximi- eller minimipunkt.
Punkt $x=d$x=d och $x=f$x=ƒ är lokala minimipunkter medan punkt $x=b$x=b och $x=e$x=e är lokala maximipunkter.
c) En global extrempunkt är de maximi- eller minimipunkter som har störst/minst värde av alla extrempunkter i intervallet. I vår uppgift är det $x=b$x=b som är den globala maximipunkten och $x=d$x=d som är den globala minimipunkten.
d) I en terrasspunkt är derivatans teckenväxling i området nära punkten $-0-$−0− eller $+0+$+0+. Vi har en sådan punkt i $x=c$x=c , där teckenväxlingen ger att derivatan är negativ innan terrasspunkten, för att bli lika med noll i terrasspunkten och sedan negativ igen.
e) Ett lokalt extremvärde är det funktionsvärde där funktionen inte antar några mindre/större värden i närheten. Grafiskt motsvarar funktionsvärden $y$y -värden för punkter på grafen. Och i vår uppgift finns lokala extremvärden i punkterna A, B, D, E och F på grafen. Det ser ut att finnas ett extremvärde även i G, men då $x=g$x=g inte ingår i intervallet för funktionen saknar funktionen ett värde i den punkten.
I punkt A är extremvärdet $f\left(a\right)$ƒ (a). I punkt B är extremvärdet $f\left(b\right)$ƒ (b) och så vidare. Vi har alltså lokala extremvärden för alla markerade punkter på grafen utom för C och G.
f) Det globala extremvärdet kallas även för största och minsta värdet.
Vi ser att vi har minsta värde $f\left(d\right)$ƒ (d) i punkten D på grafen. Största värdet $f\left(g\right)$ƒ (g) skulle finnas i punkten G på grafen, men då $x=g$x=g inte ingår i intervallet $a\le$a≤ $x<$x<$g$g anger vi att ett största värde för funktionen saknas.
Till sist ett exempel med minsta värde i en punkt som inte är deriverbar.
Exempel 5
Figuren nedan visar grafen till funktionen $f\left(x\right)=\left|x\right|$ƒ (x)=|x| i intervallet $-3\le x$−3≤x $\le3$≤3 .
Ange minsta värdet för $f\left(x\right)$ƒ (x).
Lösning
Det minsta värdet är detsamma som det minsta $y$y -värde/$f\left(x\right)$ƒ (x) antar i intervallet.
Funktionen är inte deriverbar i $x=0$x=0 men det minsta värdet återfinns där och är lika med noll.
Alla dessa olika beteckningar kan vara något förvirrande till en början, men tanken är att de ska vara en hjälp för att kunna förtydliga funktionens förändring i sin definitionsmängd. Vi samlar dem här mer koncentrerat.
Viktiga begrepp kring funktionsvärden
Vi sammanfattar här kort alla begrepp vi talat om ovan och kommer fördjupa vidare i kommande lektioner.
Stationär punkt
En punkt där derivatan är lika med noll.
Minimipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några mindre värden i området kring punkten.
Maximipunkt
Stationär punkt där funktionen inte antar några större värden i området kring punkten.
Extrempunkt
Samlingsnamn på maximipunkt eller minimipunkt.
Terrasspunkt
Stationär punkt där derivatans teckenväxling kring punkten är $-0-$−0− eller $+0+$+0+.
Minimum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några mindre värden i närheten.
Maximum
Funktionsvärdet där funktionen inte antar några större värden i närheten.
Extremvärde eller Extremum
Samlingsnamn på maximum eller minimum.
Alla ovanstående begrepp kan ges tillägget lokal eller global
Lokal
Syftar på värden i en viss del av hela definitionsmängden
Global
Syftar på värden i hela definitionsmängden
Det viktigaste är att kunna ange en funktions extremvärden som alltid är ett värde $f\left(a\right)$ƒ (a) och extrempunkter som anges som något värde $x=a$x=a i definitionsmängden.
Exempel i videon
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (19)
-
1. Premium
Figuren visar grafen till funktionen $y$y i intervallet $a\le$a≤ $x\le$x≤ $f$ƒ .
Ange bokstäverna för funktionens stationära punkter i intervallet.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen derivatans nollställe extremvärde stationära punkterRättar...2.
Besvara följande frågor utifrån funktionen $f\left(x\right)=2x^2-8x+5$ƒ (x)=2x2−8x+5.
a) Premium
Har funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) en maximi- eller minimipunkt?
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Största och minsta värdeLiknande uppgifter: andraderivatan Derivata Derivata och grafer extrempunkterRättar...b) Premium
Bestäm extremvärdet för funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x).
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Förkunskap: Största och minsta värdeLiknande uppgifter: andraderivatan Derivata Derivata och grafer extrempunkterRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!3. Premium
Ange minimivärdet till funktionen $f(x)=12x-x^3$ƒ (x)=12x−x3 i intervallet $-3\le$−3≤$x\le4$x≤4.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...4. Premium
Ange det globala maximivärdet för funktionen $f(x)=x-2x^2+2$ƒ (x)=x−2x2+2 i intervallet där $0\le x\le1$0≤x≤1.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...5. Premium
Ange minsta värdet till funktionen $f(x)=-3x^2-6x$ƒ (x)=−3x2−6x i intervallet $-5\le x\le0$−5≤x≤0.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
För funktionen $f$ƒ gäller att $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ƒ (x)=x3−3x2+2 och att $f$ƒ är definierad i intervallet $0\le$0≤ $x\le$x≤ $4$4.
Bestäm funktionens minsta och största värde.
Svara på formen Minst $a$a, Störst $b$b.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: Största och minsta värdeLiknande uppgifter: extrempunkter funktionens värde funktionslära minsta och största värdet skissa graferRättar...7. Premium
Figuren visar grafen till tredjegradsfunktionen $f\left(x\right)$ƒ (x).
Ange lösningen till ekvationen $f'(x)=0$ƒ '(x)=0
Träna även på att skriva en motivering kring hur du tänkte för att komma fram till ditt svar.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata derivatan och grafen extrempunkt Funktioner maximipunkt Minsta värdet största värdeRättar...8. Premium
Grafen nedan tillhör funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x).
Är det sant att $f(6)$ƒ (6) ger funktionens minsta värde i intervallen $0\le x\le6$0≤x≤6?
Träna på att motivera ditt svar, men ange här endast Ja eller Nej.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...9. Premium
Figuren visar grafen till funktionen $y$y i intervallet $a\le$a≤ $x\le$x≤ $f$ƒ .
Ange bokstäverna för de punkter som är lokala minimivärden.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen extrempunkter lokala minimipunkter Minsta och Största värdeRättar...10. Premium
Ange det minsta värdet för funktionen vars graf visas nedan.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen funktion Minsta och Största värdeRättar...11. Premium
Ange det största värdet för funktionen vars graf visas nedan.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen Funktioner Minsta och Största värdeRättar...12. Premium
Funktionen $f(x)=12x-x^3$ƒ (x)=12x−x3 har lokala extrempunkter i $x=2$x=2 och $x=-2$x=−2.
Ange funktionens största värde i intervallet $-3\le x\le4$−3≤x≤4
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...13. Premium
Figuren visar grafen till funktionen $y$y i intervallet $a\le$a≤ $x\le$x≤ $f$ƒ .
Ange bokstaven för den punkt där funktionen antar sitt globala maximum.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen extremvärde Matematik 3 Minsta och Största värdeRättar...14. Premium
Funktionen $f(x)=12x-x^3$ƒ (x)=12x−x3 har i intervallet $-3\le$−3≤$x\le4$x≤4 lokala extrempunkter i $x=2$x=2 och $x=-2$x=−2.
Ange funktionens maximivärde.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...15. Premium
Figuren visar grafen till funktionen $y$y i intervallet $a\le$a≤ $x\le$x≤ $f$ƒ .
Ange bokstäverna för de punkter där funktionen antar lokala extremvärden.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen extremvärde Matematik 3 Minsta och Största värdeRättar...16. Premium
Figuren visar grafen till funktionen $y$y i intervallet $a\le$a≤ $x\le$x≤ $f$ƒ .
Ange bokstaven för den punkt där funktionen antar sin globala minimipunkt.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen extremvärde Matematik 3 Minsta och Största värdeRättar...17. Premium
Ange koordinaterna för den punkt där funktionen vars graf visas nedan har ett globalt maximivärde.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen extrempunkt extremvärde global lokal Minsta och Största värdeRättar...18. Premium
Ange $x$x - värdet på formen $x=a$x=a för den extrempunkt som ger det globala minimivärdet för funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x).
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: derivatan och grafen extrempunkt extremvärde global lokal Minsta och Största värdeRättar...c-uppgifter (3)
-
19. Premium
Vi får följande information kring tredjegradsfunktionen $f$ƒ
$f$ƒ är definierad i intervallet $-1\le x\le4$−1≤x≤4
$x=-2$x=−2 och $x=2$x=2 är en extrempunkter
Din uppgift är att bestämma funktionens globala maximivärde i intervallet.
Välj det alternativ som innehåller alla beräkningar du behöver göra för att vara säker på att du får maximivärdet. Träna även på att kunna motivera ditt svar.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: extrempunkter extremvärden Funktioner resonemang största värdetRättar... -
20. Premium
Vi får följande information kring andragradsfunktionen $f\left(x\right)=-2x^2+4x$ƒ (x)=−2x2+4x
$f$ƒ är definierad i intervallet $0\le x\le3$0≤x≤3
$x=1$x=1 är en extrempunkt
Din uppgift är att bestämma funktionens största värde i intervallet.
Välj det alternativ som innehåller alla beräkningar du behöver göra för att vara säker på att du får största värdet. Träna även på att kunna motivera ditt svar.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: extrempunkter extremvärden Funktioner resonemang största värdetRättar... -
21. Premium
Ange största och minsta värde för funktionen $f(x)=(1-x)(x^2+4x+4)$ƒ (x)=(1−x)(x2+4x+4) i intervallet $-4<$−4< $x\le1$x≤1.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!Redigera uppgift Stäng Kopiera abc-fråga Flytta abc-fråga Länka abc-fråga Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Beatrice Carlier
Har en fråga om en uppgift som denna:
"Figuren visar grafen till funktionen y i intervallet a≤ x≤ f.
Ange bokstäverna för de punkter som är lokala minimivärden."
Här räknas även den globala minimipunkten med som lokal (det gör den enligt ert facit)
Är dte korrekt, Om ja, varför?
Eddler
Hej! Ja, det stämmer!
En global minimipunkt är alltid ett lokalt minimum. En punkt som är det minsta värdet globalt uppfyller per definition villkoret för ett lokalt minimum. Den är det minsta värdet i ett litet intervall runt punkten. Däremot behöver ett lokalt minimum inte vara ett globalt minimum.
Aksel Nordin
Jag är förvirrad nu. En minimipunkt är enligt beskrivningen en stationär punkt där funktionen inte antar några mindre värden i området kring punkten. En stationär punkt är en punkt där derivatan = 0. I facit för fråga 9 utgör punkten A en lokal minimipunkt, men derivatan för punkt A är inte lika med noll. Jag förstår att punkt A har ett lokalt minimivärde, men jag förstår inte varför den utgör en minimipunkt.
Anonym
Om det står att man skall ange en punkt så ska det väl inte anges ett värde? Då är det väl kordinaten som gäller?
Endast Premium-användare kan kommentera.