Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik fortsättning nivå 1
/ Trigonometri
Sinussatsen
Sinussatsen kan användas för att bestämma okända vinklar och sidor i en triangel.
För att kunna använda den behöver vi känna till följande
- En sidas längd och motstående vinkels storlek
- Någon annan sida eller vinkel i triangeln
Sinussatsen
För en triangel $ABC$ABC gäller att
$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$sinAa =sinBb =sinCc
där sidan $a$a är motstående vinkeln $A$A, sidan $b$b motstående vinkeln $B$B och sidan $c$c motstående vinkeln $C$C.
I likhet med tillämpningen av areasatsen väljer vi den eller de kvoter som lämpar sig bäst för tillfället.
Likheten ovan kan skrivas om till
$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$asinA =bsinB =csinC
och vi kan välja att använda de sambanden i stället, beroende på vilket som passar bäst för uppgiften vi ska lösa. Tipset är att välja det samband som ger att en eventuell variabel hamnar i täljaren. Då slipper vi lite jobb när vi ska lösa ut den.
Metoder att bestämma sidor och vinklar i trianglar kallas för triangelsolvering. Sinussatsen är en av tre triangelsatser, tillsammans med areasatsen och cosinussatsen, som vi kommer att introducera i denna kurs. Se även lektionen om när sinussatsen ger två fall.
Triangulering
Triangulering kallas den metod vi använder för att bestämma avstånd som är svåra, eller till och med omöjliga, att mäta.
Metoden går ut på att symmetri och likformighet ger möjlighet att med hjälp av trigonometri mäta vinklar och sidor som är enkla att bestämma, för att sedan med triangelsatserna beräkna vinklar och avstånd som inte är lika lätta att mäta.
Triangulering används exempelvis för att mäta avstånd i rymden, höjder på berg och byggnader eller för att ange GPS-positioner.
Men innan vi tar oss an dessa tillämpningar kollar vi på ett mer mätbart exempel. Vi börjar med att bestämma en okänd vinkel.
Exempel 1
Ta reda på vinkeln $x$x i figuren nedan.
Lösning
Vi använder sinussatsen för att ställa upp ekvationen
$\frac{\sin x}{5,3}=\frac{\sin38^{\circ}}{3,4}$sinx5,3 =sin38∘3,4
Vi multiplicerar bägge leden med $5,3$5,3 och får
$\sin x=$sinx= $\frac{5,3\cdot\sin38^{\circ}}{3,4}$5,3·sin38∘3,4
Därefter tar vi sinusinvers ( $\arcsin$arcsin eller $\sin^{-1}$sin−1 ) i bägge leden. Då får vi
$x=\sin^{-1}$x=sin−1 $\left(\frac{5,3\cdot\sin38^{\circ}}{3,4}\right)$(5,3·sin38∘3,4 )
$x\approx74^{\circ}$x≈74∘
Vinkeln är alltså ca $74^{\circ}$74∘.
Nu tittar vi på hur vi kan använda sinussatsen för att bestämma en okänd längd.
Exempel 2
Bestäm längden på sidan $x$x i triangeln. Avrunda till en decimal.
Lösning
Nu ska vi bestämma längden på sidan $x$x. Därför väljer vi att skriva om sinussatsen så att den står på följande vis.
$\frac{x}{\sin35^{\circ}}=\frac{6,2}{\sin70^{\circ}}$xsin35∘ =6,2sin70∘
Nu multiplicerar vi bägge leden med $\sin35^{\circ}$sin35∘ och får
$x=$x= $\frac{\sin35^{\circ}\cdot6,2}{\sin70^{\circ}}$sin35∘·6,2sin70∘ $\approx3,8$≈3,8 cm
Därför är längden på sidan $3,8$3,8 cm.
Bevis av sinussatsen
Vi ritar en godtycklig triangel.
När vi bevisar sinussatsen så kan vi utgå från areasatsen som beskriver ett sätt att beräkna en triangels area. Arean kan beskrivas på tre olika vis.
$\text{Area}=$Area= $\frac{ab\text{ }\sin C}{2}=\frac{bc\text{ }\sin A}{2}=\frac{ac\text{ }\sin B}{2}$ab sinC2 =bc sinA2 =ac sinB2
Utifrån dessa samband kan vi skriva om kvoterna så att vi landar i sinussatsen. Vi börjar med att multiplicera varje led med $2$2.
$\frac{ab\text{ }\sin C}{2}=\frac{bc\text{ }\sin A}{2}=\frac{ac\text{ }\sin B}{2}$ab sinC2 =bc sinA2 =ac sinB2
$ab\text{ }\sin C=bc\text{ }\sin A=ac\text{ }\sin B$ab sinC=bc sinA=ac sinB
Dividera alla led med $abc$abc
$\frac{ab\text{ }\sin C}{abc}=\frac{bc\text{ }\sin A}{abc}=\frac{ac\text{ }\sin B}{abc}$ab sinCabc =bc sinAabc =ac sinBabc
Därefter kan vi förkorta varje led. Exempelvis kan vi förkorta det första ledet (det längst till vänster) med $ab$ab. Efter förenkling får vi då
$\frac{\sin C}{c}=\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}$sinCc =sinAa =sinBb
Vilket är sinussatsen!
Exempel i videon
- Bestäm vinkeln v (Se bild i video)
- Bestäm sidan x. (Se bild i video)
- Johanna vill veta avståndet till sin sommarstuga vid C. Hon vet att vinkeln B är 23°, AC är 500 meter och AB är 210 meter. Hur långt är avståndet?
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Lös ekvationen $\frac{x}{10}=\frac{2}{3}$x10 =23
Svara i bråkform eller avrunda till två decimaler
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: ekvation ekvation täljare nämnareRättar...2. Premium
Lös ekvationen $\frac{\sin90^{\circ}}{x}=\frac{\sin30^{\circ}}{2}$sin90∘x =sin30∘2
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometri Matematik 3 sinussatsen trigonometriRättar...3. Premium
Daniel ska bestämma vinkeln $x$x och har fått fel svar. I vilket steg i hans uträkning har det blivit fel?
Steg 1: $\frac{\sin x}{5,3}=\frac{\sin38^{\circ}}{3,4}$sinx5,3 =sin38∘3,4
Steg 2: $\sin x\cdot3,4=\sin38^{\circ}\cdot5,3$sinx·3,4=sin38∘·5,3
Steg 3: $x\cdot3,4\approx0,62\cdot5,3$x·3,4≈0,62·5,3
Steg 4: $x\approx$x≈ $\frac{0,62\cdot5,3}{3,4}\approx$0,62·5,33,4 ≈$0,96^{\circ}$0,96∘
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: sinussatsen triangelsatserna trigonometriRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Bestäm längden $x$ i figuren.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 3 sinussatsen triangelsatserna trigonometriRättar...c-uppgifter (3)
-
5. Premium
I triangeln ABC finns en inskriven blåmarkerad triangel ACD. Bestäm hur stor andel ACD:s area är av ABC:s area.
Ange ditt svar i hela procent.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 3 sinussatsen trigonometriRättar...6. Premium
Johanna ska beräkna avståndet från sig till en mobilmast (vid B). AC är 220 m och BC är 340 m. Vinkeln vid A är $63^{\circ}$63∘. Hur långt är avståndet?
Avrunda ditt svar till heltal och svara med enheten meter.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: sinussatsen triangelsatserna trigonometriRättar...7. Premium
Är en triangel $ABC$ABC möjlig om $AB=10$AB=10, $AC=6$AC=6 och vinkeln $B=45^{\circ}$B=45∘?
Motivera ditt svar med sinussatsen, men svara med Ja eller Nej.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: sinussatsen triangelsatserna trigonometriRättar...a-uppgifter (1)
-
8. Premium
I triangeln ABC är $AB=22\text{ }cm$AB=22 cm och vinkeln B är rät. Vinkeln $A=40^{\circ}$A=40∘. En punkt $D$D ligger på $AB$AB så att vinkeln $BCD=6^{\circ}$BCD=6∘.
Bestäm längden $BD$BD.
Avrunda ditt svar till en decimal och svara med enheten cm.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: sinussatsen triangelsatserna trigonometriRättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
-
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Daniel Karlsson
Hej, på exemplet i videon där vinkeln v är okänd så används formeln
arcsin(sin(20)*5/3) och resultatet blir ca 34,75 grader. När jag försöker slå detta får jag bara "ogiltiga indata". Hur ska man slå detta på korrekt sätt?
Vänligen
Daniel
Hamid Zamanfar
Hej!
Exempel 3 i videon stämmer inte! du har räknat 20 grader istället 23 grader.
A.
Hej,
jag förstår inte i testfrågan 3, varför man tar a/sin85 = 8/sin80 Borde det inte vara a/sin15 = 8/sin80?
Alltså, a/sinA = c/sinC
a/sin85 är väl som att ta a/sinB?
mariam.safia
Hej
Jag löste andra övningen (exemplet) i videon och gjorde exakt samma steg men fick 78,32 m istället för 78,7. Kan det beror på räknaren? Eller är det räknefel? Min räknare är Texas 82.
Marima
hjorten_911
Fråga 3 är lite knasig.
Jag räknade ut den ljusa triangelns area (ABc) och fick likadant svar som er, men sedan när jag räknade ut arean på den stora triangeln (ABC) stämde det inte överens med svaret på frågan.
NI får vinkel A att bli 30 grader. Sedan vet man att vinkel B är 85 grader. Med hjälp av det vet man att vinkel C är 65 grader.
KOntrollerar man sedan med sinussatsen (sin 65/8 = sin 85/10) får man olika svar.
Är det fel i uppgiften eller har jag räknat fel?
nti_mad
hej! när ger sinussatsen två fall?
Laxhilding
Finns det någon genomgång för när sinussatsen ger två fall än? har kollat runt lite men kan inte hitta någon.
Goeran Hoegosta
Kanske har gjort fel nu men om man tar sin C/c och sin A/a så blir det ju väl sin100/120 = sin40/x vilket gör att x =78,3m. Testade att göra omvänt som du men ser att du skrev;
x= 120xsin40/sin100 men det borde ju vara 120xsin100xsin40. Eller hur?
Endast Premium-användare kan kommentera.