Derivatans Definition

Den genomsnittliga förändringshastigheten över ett intervall kan beräknas med en ändringskvot. Ändringskvoten motsvarar sekantens lutning i intervallet. Derivatan definieras som gränsvärdet till denna ändringskvot. 

Derivatan i en punkt kan alltså beräknas med hjälp av gränsvärdet av ändringskvoten där en sekant går från att vara en sekant, till att bli en tangent till kurvan. Omvandlingen från sekant till tangent sker då avståndet mellan punkterna där sekanten skär genom grafen, går mot noll. Alltså i gränslandet där de två punkterna sammanfaller.

Som du ser på bilden nedan blir sekantens lutning och lutningen på tangenten i punkten $x$x mer och mer lika, ju mindre intervall sekanten omfattar. Alltså när de punkter sekanten skär genom närmar sig varandra. 

När avståndet mellan punkterna minskar, alltså då $h$h går mot noll, kommer vi till slut nå den punkt där sekanten omvandlas till en tangent. I den punkten är gränsvärdet för ändringskvoten som motsvarar sekantens lutning, densamma som tangentens lutning. Båda anger derivatans värde i punkten vilket även tolkas som förändringshastigheten i punkten. 

När vi definierar derivata gör vi det i form av ett gränsvärde. Men inte vilket gränsvärde som helst, utan gränsvärdet på ändringskvoten som motsvarar sekantens lutning. 

Uttrycket här ovan är alltså ett sätt att beskriva en sekants lutning eller den genomsnittliga förändringshastigheten i ett intervall. Sekantens lutning blir, som vi såg tidigare, mer och mer lik tangentens lutning, ju närmare de två punkter sekanten skär genom kommer varandra.

För att i stället få fram förändringshastigheten i en punkt, det vill säga derivatan, låter vi avståndet i $x$x -led minska kraftigt. Så mycket att vi kan se avståndet som obefintligt. Det är det vi menar med gränsvärdet då $h\rightarrow0$h→0. Med hjälp av detta kan vi teckna derivatans definition som följer.

Du kan själv se hur ändringskvotens värde förändras genom att flytta punkterna $A$A och $B$B närmre varandra.

När punkterna sammanfaller, alltså där sekanten förvandlas till en tangent, ser vi att kvotens värde inte kan beräknas. Vi får nämligen division med noll. Det är här gränsvärdet kommer in i bilden. Med hjälp av det kan vi bestämma kvotens värde för mycket små värden på $h$h och därmed beräkna derivatans värde.

En viss förvirring kan uppstå när vi talar om derivatan och refererar till en punkt och bara anger ett $x$x -värde.

Vi vill därför här, helt kort, kommentera att en punkt kan definieras i olika antal dimensioner. På linjen, i planet eller i rymden.

Eftersom vi i tidigare kurser fokuserar på punkten i planet, till exempel när vi jobbat med koordinatsystemet, är ett vanligt missförstånd att en punkt alltid måste ha en  $x$x- och en  $y$y-koordinat.

Men vi kan alltså ange punkten i en dimension. Exempelvis är alla värden på tallinjen punkter. De anges i en dimension.

För att bestämma läget hos en punkt i rummet behöver vi ange tre värden, eller koordinater som vi också säger. Vanligtvis $\left(x,\text{ }y,\text{ }z\right)$(x, y, z). Men mer om det i senare kurser.

Derivatan ges i en dimension. Det ger att funktionen inte har en derivata i punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) på funktionen, utan i motsvarande punkt på  $x$x-axeln.

Här kommer ett exempel på hur vi bestämmer derivatan med hjälp av derivatans definition.

I kommande lektion finns många fler exempel som detta.

Förenklat kan vi säga att en funktion är deriverbar i en punkt om det går att rita upp endast en tangent i den punkten. För att kunna dra dessa entydiga tangenter, krävs att funktionen är definierad och kontinuerlig i punkten. Vi ska alltså med säkerhet kunna ange hur tangenten lutar i punkten och att den inte plötsligt radikalt ändrar lutning i punkter angränsande till den.

För att kunna definiera om en funktion är deriverbar mer exakt behöver vi definiera kontinuerliga funktioner och gränsvärde. 

Deriverbara funktioner är kontinuerliga. Vi säger följande.

Då polynomfunktioner och trigonometriska funktioner är kontinuerliga, är de även deriverbara. 

Men det finns andra funktioner som är både definierade och kontinuerliga i en punkt, men som ändå inte är deriverbara i punkten.

Dessutom får funktionen inte göra några plötsliga "vändningar" för att derivatan ska bli entydig.

I Ma3c ingår också begreppet absolutbelopp. Dessa funktioner bör vi också beakta då vi ska undersöka funktionens derivata.

Vi tittar på ett exempel.

• Härledning av derivatans definition
• Bestäm  $f'\left(2\right)$ƒ '(2) då  $f\left(x\right)=x^2$ƒ (x)=x²  med hjälp av derivatans definition.