Nationellt prov Matematik 3b ht 2013 del D

Bestäm de värden på $x$x för vilka det gäller att grafen till  $f\left(x\right)=x^3-0,88x$ƒ (x)=x³−0,88x har lutningen $5$5 

Lös ekvationen  $x\left(x^2-5\right)=5\left(2-x\right)$x(x²−5)=5(2−x) 

Figuren nedan visar grafen till $f\left(x\right)=-0,75x^2+3$ƒ (x)=−0,75x²+3 och en rektangel.
Rektangeln har sina hörn i punkterna $\left(-2,\text{ }0\right)$(−2, 0), $\left(-2,\text{ }5\right)$(−2, 5), $\left(2,\text{ }0\right)$(2, 0) och $\left(2,\text{ }5\right)$(2, 5).

a) Använd figuren och förklara med ord varför $\int\limits_{-2}^0$ $f\left(x\right)\text{ }dx=$ƒ (x) dx=$\int\limits_0^2$ $f\left(x\right)\text{ }dx$ƒ (x) dx 

b) Bestäm arean av det skuggade området.

Andrea ska börja spara pengar på ett konto genom att i början av varje år sätta in samma belopp. Hon vill spara ihop $50\text{ }000$50 000 kr till en resa. Hon tänker göra sin första insättning i början av år $2014$2014 och den sista i början av år $2020$2020. Hon räknar med att årsräntan kommer att vara $2\text{ }\%$2 % under hela tidsperioden.

Hur stort belopp ska hon sätta in varje gång om hon vill ha $50\text{ }000$50 000 kr på kontot omedelbart efter den sista insättningen?

Idag finns det cirka $7$7 miljarder människor på jorden. En modell som beskriver antalet människor på jorden som funktion av tiden är 

$N\left(t\right)=$N(t)=  $\frac{11}{1+3,4e^{-0,03\cdot t}}$111+3,4e^−0,03·t  

där $N$N är antalet människor i miljarder och $t$t är tiden i år efter $1950$1950.

a) Bestäm antalet människor på jorden år $1950$1950.

b) Enligt modellen kommer antalet människor på jorden med tiden att närma sig en övre gräns. Bestäm denna övre gräns för antalet människor med hjälp av modellen.

För en funktion $f$ƒ  gäller att $f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)$ƒ (x)=(x−a)(x−b) där $a$a och $b$b är konstanter. Bestäm det samband som ska gälla mellan $a$a och $b$b för att grafen till $f$ƒ  ska ha en tangent med lutningen $2$2 då $x=4$x=4

För polynomfunktionen $f$ƒ  gäller att $f’\left(x\right)>0$ƒ ’(x)>0 för alla $x$x. Undersök hur många reella lösningar ekvationen $f\left(x\right)=0$ƒ (x)=0 har

Albins vikt kan beskrivas med funktionen $V\left(t\right)=0,10t^3-1,23t^2+6,51t+3,72$V(t)=0,10t³−1,23t²+6,51t+3,72 där vikten $V$V kg är en funktion av tiden $t$t år efter födseln. Funktionen gäller under hans åtta första levnadsår.

Den hastighet som Albins vikt ökar med varierar. Bestäm vilka värden hastigheten kan anta under Albins åtta första levnadsår.

Anton och Amanda har fått i uppdrag att baka bullar och kakor som de ska sälja för att få pengar till en skolresa. De skriver upp de två recepten på ett papper och bestämmer att vinsten ska vara $4$4 kr per bulle och $2$2 kr per kaka.

Anton och Amanda vill göra så stor vinst som möjligt samtidigt som de funderar på om de ska baka av båda sorterna eller om det räcker med att bara baka en av sorterna. De räknar med att sälja allt de bakar.

För att veta hur mycket de kan baka tar de reda på hur mycket smör och mjöl de har hemma. Tillsammans har de $4800$4800 gram mjöl och $1750$1750 gram smör.

Bestäm den maximala vinst som Anton och Amanda kan göra på sin bakning. Du behöver bara ta hänsyn till hur mycket mjöl och smör som går åt.