Komplementhändelser - Åk 9

Exempel 1

Du kastar en tärning sex gånger. Hur stor är sannolikheten att du får minst en femma?

Lösning

I det här fallet skulle det vara onödigt mycket arbete att rita ut ett träddiagram för att därefter multiplicera och addera alla vägar där vi får minst en femma. Istället använder vi komplementhändelsen och förenklar beräkningarna avsevärt.

Händelse  $A$A  = minst en femma och komplementhändelsen till $A$A är $A^c$A^c = ingen femma

Sannolikheten att inte få en femma på ett kast är $P\left(\text{ingen femma}\right)=\frac{5}{6}$P(ingen femma)=56  så sannolikheten att inte få en femma på sex kast är

 $P\left(\text{ingen femma på sex kast}\right)=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\left(\frac{5}{6}\right)^6\approx0,33$P(ingen femma på sex kast)=56 ·56 ·56 ·56 ·56 ·56 =(56 )⁶≈0,33

 Nu använder vi oss av att $P\left(A\right)=1-P\left(A^c\right)$P(A)=1−P(A^c) och får

 $1-0,33=0,67=67\text{ }\%$1−0,33=0,67=67 % 

Nu kan vi svara att sannolikheten att få minst en femma är $67\text{ }\%$67 % 

Exempel 2

Lena gör ett prov med fyra frågor. Det finns fem svarsalternativ till varje fråga och hon gissar på alla frågor.

Vad är sannolikheten att hon får minst ett rätt?

Lösning

Även i detta exempel så blir det mycket enklare att räkna ut komplementet till att få minst ett rätt.

Händelse  $A$A  = minst ett rätt och komplementhändelsen till $A$A är $A^c$A^c = inget rätt

Sannolikheten att inte få rätt på en fråga är  $P\left(\text{ingen femma}\right)=\frac{4}{5}$P(ingen femma)=45   så sannolikheten att inte få rätt på fyra frågor är

 $P\left(\text{inget rätt på fyra frågor}\right)=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}=\left(\frac{4}{5}\right)^4\approx0,41$P(inget rätt på fyra frågor)=45 ·45 ·45 ·45 =(45 )⁴≈0,41 

 Nu använder vi oss av att $P\left(A\right)=1-P\left(A^c\right)$P(A)=1−P(A^c) och får

 $1-0,41=0,59=59\text{ }\%$1−0,41=0,59=59 % 

Nu kan vi svara att sannolikheten att få minst ett rätt är  $59\text{ }\%$59 %