...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik Högstadiet
 /   Procent

Upprepade procentuella förändringar

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Beräkningar av upprepade procentuella förändringar

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

När något ökar eller minskar med en viss procent upprepade gångar används förändringsfaktorn för att göra dessa beräkningar så enkla som möjligt. Utan användning av förändringsfaktorn blir dessa beräkningar längre och mindre effektiva. Följande likhet gäller vid upprepad procentuell förändring.

$\text{Ursprungligt värde} = \text{Förändringsfaktorn}^\text{Antal förändringar}$

Vi börjar här att visa ett exempel på där förändringsfaktorn används för att beräkna en upprepad procentuell förändring.

Exempel 1

Tove sätter in $15 000\, kr$ på ett bankkonto med årsräntan $2,5\,\%$.

Hur mycket pengar finns på kontot efter 10 år?

Lösning

Om vi först skulle beräkna förändringen i procent och addera denna till det ursprungliga priset så skulle vi få göra detta 10 gånger för att få reda på hur mycket pengar det finns på kontot efter 10 år. Detta är mycket tidskrävande så istället kan vi använda oss av förändringsfaktorn $ 1,025 $.

Pengarna kommer att utveckla sig på följande vis:

År 0: $15 000\, kr$
År 1: $15 000⋅1,025$
År 2: $15 000⋅1,025⋅1,025=15 000⋅1,025^2$
År 3: $15 000⋅1,025⋅1,025⋅1,025=15 000⋅1,025^3$

Här kan vi se ett mönster. Om det har gått 3 år så kan vi upphöja förändringsfaktorn med 3 och multiplicera med ursprungsvärdet för att få värdet år 3.

Så om vi söker värdet det 10:e året så beräknar vi
År 10: $15 000⋅1,025^{10}≈19201\,kr$

Efter 10 år finns det alltså $19201\,kr$ på kontot.

Samma mönster som i exemplet här ovan kan användas vid upprepade procentuella minskningar. Skillnaden här är bara att förändringsfaktorn är mindre än 1.

Exempel 2

Priset på en bilmodell minskar med 12 % per år i 6 år. När bilen var ny kostade den 260 000 kr.

Vad kostar den efter 6 år?

Lösning

Priset sänks med $12\,\%$ per år och vi kan då räkna med förändringsfaktorn $ 1-0,12=0,88 $.

För att få priset efter 6 år så beräknar vi
$ 260000⋅0,88^6≈120745\,kr $

Flera olika förändringar

Det är inte helt ovanligt att förändringarna inte upprepas, utan förändras över tid. Alltså att ett värde alltid ökar eller minskar med samma procent varje år. 

För att bestämma den totala förändringen efter ett antal olika förändringar underlättar det om man kan sina förändringsfaktorer. Följande gäller nämligen. 

De nya värdet ges av att det ursprungliga värdet multipliceras med alla de förändringsfaktorer som motsvarar var förändring. 

$\text{Nytt värde} =\text{Ursprungligt värde}\cdot FF_1\cdot FF_2\cdot…\cdot FF_n$ 

där $FF_n$ motsvarar den  $n$n :te förändringen.

Här följer ett exempel på olika förändringar över tid.

Exempel 3

Gun samlar på antika tallrikar. En av hennes dyrgripar köpte hon in för  $2\text{ }300$2 300 kr. Tallrikens värde har förändras enligt följande mönster.

År ett ökande värdet med $5\%$5% .
År två ökande värdet med ytterligare $10\%$10%.
År tre minskade värdet med $15\%$15%

Vad är Guns tallrik värd nu?

Avrunda till hela kronor.

Lösning

Först ökar priset med förändringsfaktorn $1,05$1,05, sedan med förändringsfaktorn $1,1$1,1 och slutligen med förändringsfaktorn $0,85$0,85.

Man kan beräkna en total förändringsfaktor genom att multiplicera alla förändringar med varandra. Multiplicerar vi den med ursprungsvärdet får vi fram värdet efter alla förändringar.

Slutpriset kan alltså beräknas genom $2\text{ }300\cdot1,05\cdot1,1\cdot0,85\approx2\text{ }473$2 300·1,05·1,1·0,852 473 kronor.

Observerar att Guns tallrik blivit mindre värd än från början. Detta trots att den först gick upp med $5\%$5% och sedan $10\%$10% för att efter det minska med  $15\%$15%. Man skulle kunna frestas att tro att priset skulle landa på det samma som det ursprungliga priset. Varför blir det inte så?

Detta beror på att procent på procent, alltså $10\%$10%  på  $5\%$5% blir lika med  $1,05\cdot1,1=1,155$1,05·1,1=1,155, vilket motsvarar en ökning på $15,5\%$15,5% och inte $15\%$15% vilket man skulle kunna frestas att tänka. Tallrikens värde efter två år är alltså  $2\text{ }300\cdot1,155=2656,5$2 300·1,155=2656,5 kr.

Vi ökar alltså med mer än $15\%$15%. När vi efter det ska beräkna minskningen med $15\%$15% har vi ett större tal än det ursprungliga, vilket gör att andelen vi ska minska blir större än andelen vi skulle öka.

Exempel i videon 

  • Jennie har 150 000 kronor på ett bankkonto med räntan 2 %. Hur mycket pengar finns på kontot efter 3 år?
  • Ett företag säljer turer i en luftballong. År 2010 genomförde de 120 turer. Till 2011 ökade antalet turer med 20 % och 2012 ökade turerna med ytterligare 25 %. Hur många turer genomförde de år 2012?
  • Priset på ett RAM minne till en dator var 450 kr i augusti 2014. Sedan minskade priset med 3,42 % per månad. Vad var priset i augusti 2015?

Kommentarer

Elena Bengtsson

Mycket svårt att räkna utan mimiräknare. Uppgift 9 var mycket svårt för mig. Mycket bra att det finns en förklaring.

    Anna Admin (Moderator)

    Elena,

    du får gärna använda räknare på uppgifterna. Har du sett att det finns en inbyggd räknare på Eddler? Du får fram den genom att klicka på ikonen som ser ut som en räknare lite nere till höger.

    Men visst, det är bra att hålla igång och träna på huvudräkningen också!
    Lycka till!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (11)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Priset på en dator var $12\text{ }600$12 600 kronor år 2013. Priset går sedan ner med $30\%$30% per år.

    Vilket är priset år 2015?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    En tågbiljett mellan Stockholm och Umeå kostar $600$600 kronor. Efter sommaren höjs priset med $12\%$12%. Du ska åka till Umeå och fira jul, och hittar då ett kampanjpris där du får $20\%$20% rabatt.

    Hur mycket får du betala för biljetten?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ett träd som är $100$100 cm högt ökar med $10$10 % två år i rad. Hur högt är trädet efter de två åren?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

     $30000$30000 kr som ökar på ett bankkonto kan beskrivas med  $30000\cdot1,04^{22}$30000·1,0422 

    Hur många år finns pengarna kvar på bankkontot?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

     $20000$20000 kr som ökar på ett bankkonto under $5$5 år kan beskrivas med hjälp av uträkningen $20000\cdot1,056^5$20000·1,0565 

    Vilken är räntan på bankkontot?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Margareta har tagit ett lån på  $10000$10000  kr och räntan är  $6\%$6% .
    Hon vill ta reda på hur mycket hennes lån kommer att öka om hon inte betalar räntan eller amorterar, alltså betalar av på lånet, på $4$4  år. Hon gör sina beräkning så här.

    Förändringsfaktorn blir  $1+0,06=1,06$1+0,06=1,06 
    År $0$0 är lånet $10$10  $000$000 och sedan ökar det $6\%$6% varje år fyra gånger. 

     $1,06\cdot10000=10600$1,06·10000=10600 kronor 
     $1,06\cdot10600=11236$1,06·10600=11236  kronor 
     $1,06\cdot11236=11910$1,06·11236=11910  kronor 
     $1,06\cdot11910=12625$1,06·11910=12625  kronor 

    Mitt lån kommer då att vara $12625$12625 kronor  efter fyra år.

    Vilket tips tycker du är bra att ge till Margareta för att förenkla hennes beräkningar?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Du börjar på ett nytt jobb och får en månadslön på $24$24  $000$000 kr. Chefen säger att de höjer alla löner med $2,3\%$2,3% varje år.

    Vad kommer din månadslön vara efter fem år?
    Svara i hela kronor.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Värdet på en bil går ner med $8\%$8% varje år. Du köper en bil för $260$260  $000$000 kronor.
    Vad är bilens värde efter $8$8 år?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Värdet på Amirs aktier ökar med $13\%$13% det första året. Året därpå sjunker värdet med $15\%$15% . Hur stor är den procentuella minskningen efter två år jämfört med ursprungsvärdet?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Stans biograf höjer priset på en biljett med $20\%$20% på höstterminen. På våren höjer de priset ytterligare $9\%$9%. Vad kostar biljetten efter de två prishöjningarna, om det ursprungliga priset var $80$80 kr?

    Svaret avrundas till hela kronor.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K1

    Cirkel med radien 1 cm

    Radien r i cirkeln ökar med $0,5\%$0,5%  per timme. Hur lång är radien efter $\text{ }10$ 10 timmar?

    Avrunda till två decimalers noggrannhet.

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 12. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Roger säger att om ett pris först ökar med $25\%$25% och sedan minskar med $20\%$20% så kommer priset att vara oförändrat från det ursprungliga priset. Lisa säger att det kommer att öka och José att det istället kommer att minska.

    Vem har rätt?

    Träna på att motivera ditt svar.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    I en auktion där utropspriset är för en tavla är $12600$12600 kr ökar priset i $3$3 bud.

    I det första budet ökar priset med  $5\%$5% .
    I det andra budet ökar priset med  $10\%$10% från första budet. 
    I det tredje budet ökar priset med  $12\%$12% från andra budet.

    Vilket blir slutpriset?

    Avrunda till heltal.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Priset på en mobiltelefon minskades i tre omgångar. Först med $20\%$20%, sedan med ytterligare  $30\%$30% två gånger. Vilket är priset efter sänkningarna om det från början var $6400$6400 kr?

    Avrunda till hela kronor.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se