00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik Högstadiet
/  Geometri – Högstadiet

Cirkeln och cirkelns Omkrets och Area

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Här hjälper vi dig att förstå vad en cirkel är och dess omkrets, radie, diameter och area. Vi tar även exempel på areaberäkningar för cirklar.

Cirkeln, radie och diameter

cirkeln och dess radie och diameter

En cirkel kan beskrivas som alla punkter som befinner sig på ett visst avstånd (radie) från cirkelns mittpunkt. Den kurva som bildar cirkeln brukar kallas för cirkelns periferi eller cirkelns rand. De viktigaste begreppen som vi behöver känna till för att förstå en cirkel är följande:

  • Mittpunkt – Cirkelns mittpunkt har samma avstånd (radie) till alla punkter på cirkeln.
  • Radie – Avståndet mellan mittpunkten och cirkeln (cirkelns periferi).
  • Diameter – Diametern är dubbelt så lång som radien och går från cirkeln genom mittpunkten till andra sidan av cirkeln.

Sambandet mellan radien och diametern är d=2rd=2\cdot rd=2·r.

Kalkylator – Bestäm area, radie, diameter eller omkrets

Fylla i något av fälten för att få fram värdena för area, radie, diameter eller omkrets för en cirkel. Kalkylatorn beräknar alla värden om den känner till ett av dessa. Du behöver inte ange enhet och kan endast skriva i tal.

Cirkelns Omkrets och Area

Det är inte lika lätt att förstå cirkelns omkrets eller arean som att förstå en kvadrats omkrets och area. Det är svårt att fysiskt mäta en cirkelns omkrets eller area så här behöver vi formler för att kunna göra dessa beräkningar.

För att beräkna både omkrets och area så behövs talet Pi (π ≈ 3,14). Detta tal definieras enligt

Talet Pi (π)=Cirkelns omkretsCirkelns diameter3,14Talet\text{ }Pi\text{ }\left(\pi\right)=\frac{Cirkelns\text{ }omkrets}{Cirkelns\text{ }diameter}\approx3,14Talet Pi (π)=Cirkelns omkretsCirkelns diameter 3,14.

Med hjälp av denna formel kan vi sedan beskriva omkretsen som O=πdO=\pi\cdot dO=π·d.

Cirkelns area beräknas med hjälp av formeln Area = π·r 2

Formler för omkrets och area

cirkelns omkrets och area

Omkrets=πd=π2rOmkrets=\pi\cdot d=\pi\cdot2rOmkrets=π·d=π·2r

Area=πr2Area=\pi\cdot r^2Area=π·r2

Exempel på omkretsberäkningar

Exempel 1

En cirkel har radien 2,52,52,5 dm, beräkna dess omkrets.

Lösning

Om radien är 2,52,52,5 cm så är diametern 22,5=52\cdot2,5=52·2,5=5 dm.

Då gäller att omkretsen är π53,145=15,7\pi\cdot5\approx3,14\cdot5=15,7π·53,14·5=15,7 dm.

Exempel 2

Använd figuren och beräkna cirkelns omkrets.

Beräkna cirkelns omkrets

Lösning

Om vi mäter antalet rutor från botten till toppen så ser vi att det är 4 rutor lodrätt. Då två rutor är 1 cm så har cirkeln diametern d=2 cmd=2\text{ }cmd=2 cm.

Då gäller att omkretsen är π23,142=6,28\pi\cdot2\approx3,14\cdot2=6,28π·23,14·2=6,28 cm.

Exempel på areaberäkningar

Exempel 3

En cirkel har radien 121212 cm, vilken är dess area?

Lösning

Vi använder formeln för cirkelns area och får

Area=π1223,14144=452,16 cm2Area=\pi\cdot12^2\approx3,14\cdot144=452,16\text{ }cm^2Area=π·1223,14·144=452,16 cm2

Exempel 4

En cirkel har omkretsen 101010  cm, vilken är dess area?

Lösning

Vi vet att omkretsen är 101010 cm så då är diametern 10π3,18\frac{10}{\pi}\approx3,1810π 3,18 cm.

Radien är då  3,182=1,59\frac{3,18}{2}=1,593,182 =1,59 cm.

Vi använder formeln för cirkelns area och får

Area=π1,5923,142,52817,94 cm2Area=\pi\cdot1,59^2\approx3,14\cdot2,5281\approx7,94\text{ }cm^2Area=π·1,5923,14·2,52817,94 cm2

Cirkelsektor och cirkelbåge

Det finns förstås en hel del fler begrepp, definitioner och satser som är viktiga att känna till om cirkeln. De allra viktigaste och mest grundläggande är att kunna beräkna en cirkels omkrets och area och känna till vad radie, diameter och mittpunkt är. Dessutom kan det i alla fall vara bra att känna till vad en cirkelsektor är för något.

Cirkelsektor

En cirkelsektor kan liknas vid en utskuren tårtbit ur en tårta. Dvs sektorn är en del av cirkeln där storleken (area, vinkel och båge) på sektorn beror på vinkeln vvv. Arean som cirkelsektorn har är  v360(Hela cirkelns area)\frac{v}{360^{\circ}}\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)v360 ·(Hela cirkelns area).

Så om cirkelsektorn har en vinkel som är 9090^{\circ}90  så är sektorns area  25 %25\text{ }\%25 % av hela cirkelns area. Vi kan skriva det här som

90360(Hela cirkelns area)=14(Hela cirkelns area)=0,25(Hela cirkelns area)\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)=\frac{1}{4}\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)=0,25\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)90360 ·(Hela cirkelns area)=14 ·(Hela cirkelns area)=0,25·(Hela cirkelns area) .

Vi kan sammanfatta det här i en formel för cirkelsektorns area.

Cirkelsektorns area

area=v360πr2area=\frac{v}{360^{\circ}}\cdot\pi r^2area=v360 ·πr2

Exempel i videon

  • Bestäm cirkelns omkrets och area (se bild i video).
  • Peter har ritat ut en halvcirkel med hjälp av en passare. Han mäter avståndet mellan passarens två spetsar till 6 cm. Vilken area har halvcirkeln?