...
Kurser Alla kurser Min kurs Min sida Min sida Provbank Mina prov Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook X (Twitter) Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik Högstadiet
 /   Geometri – Högstadiet

Cirkeln och cirkelns Omkrets och Area

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Här hjälper vi dig att förstå vad en cirkel är och dess omkrets, radie, diameter och area. Vi tar även exempel på areaberäkningar för cirklar.

Cirkeln, radie och diameter

cirkeln och dess radie och diameter

En cirkel kan beskrivas som alla punkter som befinner sig på ett visst avstånd (radie) från cirkelns mittpunkt. Den kurva som bildar cirkeln brukar kallas för cirkelns periferi eller cirkelns rand. De viktigaste begreppen som vi behöver känna till för att förstå en cirkel är följande:

  • Mittpunkt – Cirkelns mittpunkt har samma avstånd (radie) till alla punkter på cirkeln.
  • Radie – Avståndet mellan mittpunkten och cirkeln (cirkelns periferi).
  • Diameter – Diametern är dubbelt så lång som radien och går från cirkeln genom mittpunkten till andra sidan av cirkeln.

Sambandet mellan radien och diametern är $d=2\cdot r$d=2·r.

Kalkylator – Bestäm area, radie, diameter eller omkrets

Fylla i något av fälten för att få fram värdena för area, radie, diameter eller omkrets för en cirkel. Kalkylatorn beräknar alla värden om den känner till ett av dessa. Du behöver inte ange enhet och kan endast skriva i tal.

Cirkelns Omkrets och Area

Det är inte lika lätt att förstå cirkelns omkrets eller arean som att förstå en kvadrats omkrets och area. Det är svårt att fysiskt mäta en cirkelns omkrets eller area så här behöver vi formler för att kunna göra dessa beräkningar.

För att beräkna både omkrets och area så behövs talet Pi (π ≈ 3,14). Detta tal definieras enligt

$Talet\text{ }Pi\text{ }\left(\pi\right)=\frac{Cirkelns\text{ }omkrets}{Cirkelns\text{ }diameter}\approx3,14$Talet Pi (π)=Cirkelns omkretsCirkelns diameter 3,14.

Med hjälp av denna formel kan vi sedan beskriva omkretsen som $O=\pi\cdot d$O=π·d.

Cirkelns area beräknas med hjälp av formeln Area = π·r 2

Formler för omkrets och area

cirkelns omkrets och area

$Omkrets=\pi\cdot d=\pi\cdot2r$Omkrets=π·d=π·2r

$Area=\pi\cdot r^2$Area=π·r2

Exempel på omkretsberäkningar

Exempel 1

En cirkel har radien $2,5$2,5 dm, beräkna dess omkrets.

Lösning

Om radien är $2,5$2,5 cm så är diametern $2\cdot2,5=5$2·2,5=5 dm.

Då gäller att omkretsen är $\pi\cdot5\approx3,14\cdot5=15,7$π·53,14·5=15,7 dm.

Exempel 2

Använd figuren och beräkna cirkelns omkrets.

Beräkna cirkelns omkrets

Lösning

Om vi mäter antalet rutor från botten till toppen så ser vi att det är 4 rutor lodrätt. Då två rutor är 1 cm så har cirkeln diametern $d=2\text{ }cm$d=2 cm.

Då gäller att omkretsen är $\pi\cdot2\approx3,14\cdot2=6,28$π·23,14·2=6,28 cm.

Exempel på areaberäkningar

Exempel 3

En cirkel har radien $12$12 cm, vilken är dess area?

Lösning

Vi använder formeln för cirkelns area och får

$Area=\pi\cdot12^2\approx3,14\cdot144=452,16\text{ }cm^2$Area=π·1223,14·144=452,16 cm2

Exempel 4

En cirkel har omkretsen $10$10  cm, vilken är dess area?

Lösning

Vi vet att omkretsen är $10$10 cm så då är diametern $\frac{10}{\pi}\approx3,18$10π 3,18 cm.

Radien är då  $\frac{3,18}{2}=1,59$3,182 =1,59 cm.

Vi använder formeln för cirkelns area och får

$Area=\pi\cdot1,59^2\approx3,14\cdot2,5281\approx7,94\text{ }cm^2$Area=π·1,5923,14·2,52817,94 cm2

Cirkelsektor och cirkelbåge

Det finns förstås en hel del fler begrepp, definitioner och satser som är viktiga att känna till om cirkeln. De allra viktigaste och mest grundläggande är att kunna beräkna en cirkels omkrets och area och känna till vad radie, diameter och mittpunkt är. Dessutom kan det i alla fall vara bra att känna till vad en cirkelsektor är för något.

Cirkelsektor

En cirkelsektor kan liknas vid en utskuren tårtbit ur en tårta. Dvs sektorn är en del av cirkeln där storleken (area, vinkel och båge) på sektorn beror på vinkeln $v$v. Arean som cirkelsektorn har är  $\frac{v}{360^{\circ}}\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)$v360 ·(Hela cirkelns area).

Så om cirkelsektorn har en vinkel som är $90^{\circ}$90  så är sektorns area  $25\text{ }\%$25 % av hela cirkelns area. Vi kan skriva det här som

$\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)=\frac{1}{4}\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)=0,25\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)$90360 ·(Hela cirkelns area)=14 ·(Hela cirkelns area)=0,25·(Hela cirkelns area) .

Vi kan sammanfatta det här i en formel för cirkelsektorns area.

Cirkelsektorns area

$area=\frac{v}{360^{\circ}}\cdot\pi r^2$area=v360 ·πr2

Exempel i videon

  • Bestäm cirkelns omkrets och area (se bild i video).
  • Peter har ritat ut en halvcirkel med hjälp av en passare. Han mäter avståndet mellan passarens två spetsar till 6 cm. Vilken area har halvcirkeln?

Kommentarer

Ulrika Brink

Har en fundering gällande fråga 5.

”Figur B är en cirkel med radien 2 m. Denna får därmed följande area:

π⋅2≈3,14⋅2=6,28 m2”

Blir det inte π⋅2^2≈12,56 m2?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ja så skall det vara, tack för att du sade till! Det är korrigerat.

Hans Persson

Sista frågan. I uppgiften står arean=12 m^2. I lösningen har man räknat i cm^2.
Dessutom får man fel om man anger längdenhet i svaret, vilket känns konstigt.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Har korrigerat detta, tack för att du sade till!


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilken formel beräknar en cirkels omkrets?

    ($r=radie\text{ }och\text{ }d=diameter$r=radie och d=diameter)

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilken formel beräknar en cirkels area? ($r=radie\text{ }och\text{ }d=diameter$r=radie och d=diameter)

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna cirkelns area.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna cirkelns area.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    M NP INGÅR EJ

    Har figur A större area än figur B? (Svara med Ja eller Nej)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vilken av de geometriska figurerna nedan har störst omkrets? Rektangeln eller cirkeln?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R 1
    K
    M NP INGÅR EJ

    Olle och Arvid jämför två olika geometriska figurer.

    Arvid säger: Cirkeln är störst

    Olle säger: Rektangeln är störst

    Vem av dem har rätt?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    En cirkel har arean $12\text{ }m^2$12 m2. Vilken är dess radie?

    Ange ditt svar med två decimaler.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se