Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
Matematik Högstadiet
/ Geometri – Högstadiet
Cirkeln och cirkelns Omkrets och Area
Innehåll
Här hjälper vi dig att förstå vad en cirkel är och dess omkrets, radie, diameter och area. Vi tar även exempel på areaberäkningar för cirklar.
Cirkeln, radie och diameter
En cirkel kan beskrivas som alla punkter som befinner sig på ett visst avstånd (radie) från cirkelns mittpunkt. Den kurva som bildar cirkeln brukar kallas för cirkelns periferi eller cirkelns rand. De viktigaste begreppen som vi behöver känna till för att förstå en cirkel är följande:
- Mittpunkt – Cirkelns mittpunkt har samma avstånd (radie) till alla punkter på cirkeln.
- Radie – Avståndet mellan mittpunkten och cirkeln (cirkelns periferi).
- Diameter – Diametern är dubbelt så lång som radien och går från cirkeln genom mittpunkten till andra sidan av cirkeln.
Sambandet mellan radien och diametern är $d=2\cdot r$d=2·r.
Cirkelns Omkrets och Area
Det är inte lika lätt att förstå cirkelns omkrets eller arean som att förstå en kvadrats omkrets och area. Det är svårt att fysiskt mäta en cirkelns omkrets eller area så här behöver vi formler för att kunna göra dessa beräkningar.
För att beräkna både omkrets och area så behövs talet Pi (π ≈ 3,14). Detta tal definieras enligt
$Talet\text{ }Pi\text{ }\left(\pi\right)=\frac{Cirkelns\text{ }omkrets}{Cirkelns\text{ }diameter}\approx3,14$Talet Pi (π)=Cirkelns omkretsCirkelns diameter ≈3,14.
Med hjälp av denna formel kan vi sedan beskriva omkretsen som $O=\pi\cdot d$O=π·d.
Även för en cirkels area så behöver vi använda oss av $\pi$π då denna beräknas med hjälp av formeln $Area=\pi\cdot r^2$Area=π·r2.
Formler för omkrets och area
$Omkrets=\pi\cdot d=\pi\cdot2r$Omkrets=π·d=π·2r
$Area=\pi\cdot r^2$Area=π·r2
Exempel på omkretsberäkningar
Exempel 1
En cirkel har radien $2,5$2,5 dm, beräkna dess omkrets.
Lösning
Om radien är $2,5$2,5 cm så är diametern $2\cdot2,5=5$2·2,5=5 dm.
Då gäller att omkretsen är $\pi\cdot5\approx3,14\cdot5=15,7$π·5≈3,14·5=15,7 dm.
Exempel 2
Använd figuren och beräkna cirkelns omkrets.
Lösning
Om vi mäter antalet rutor från botten till toppen så ser vi att det är 4 rutor lodrätt. Då två rutor är 1 cm så har cirkeln diametern $d=2\text{ }cm$d=2 cm.
Då gäller att omkretsen är $\pi\cdot2\approx3,14\cdot2=6,28$π·2≈3,14·2=6,28 cm.
Exempel på areaberäkningar
Exempel 3
En cirkel har radien $12$12 cm, vilken är dess area?
Lösning
Vi använder formeln för cirkelns area och får
$Area=\pi\cdot12^2\approx3,14\cdot144=452,16\text{ }cm^2$Area=π·122≈3,14·144=452,16 cm2
Exempel 4
En cirkel har omkretsen $10$10 cm, vilken är dess area?
Lösning
Vi vet att omkretsen är $10$10 cm så då är diametern $\frac{10}{\pi}\approx3,18$10π ≈3,18 cm.
Radien är då $\frac{3,18}{2}=1,59$3,182 =1,59 cm.
Vi använder formeln för cirkelns area och får
$Area=\pi\cdot1,59^2\approx3,14\cdot2,5281\approx7,94\text{ }cm^2$Area=π·1,592≈3,14·2,5281≈7,94 cm2
Cirkelsektor och cirkelbåge
Det finns förstås en hel del fler begrepp, definitioner och satser som är viktiga att känna till om cirkeln. De allra viktigaste och mest grundläggande är att kunna beräkna en cirkels omkrets och area och känna till vad radie, diameter och mittpunkt är. Dessutom kan det i alla fall vara bra att känna till vad en cirkelsektor är för något.
Cirkelsektor
En cirkelsektor kan liknas vid en utskuren tårtbit ur en tårta. Dvs sektorn är en del av cirkeln där storleken (area, vinkel och båge) på sektorn beror på vinkeln $v$v. Arean som cirkelsektorn har är $\frac{v}{360^{\circ}}\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)$v360∘ ·(Hela cirkelns area).
Så om cirkelsektorn har en vinkel som är $45^{\circ}$45∘ så är sektorns area $25\text{ }\%$25 % av hela cirkelns area. Vi kan skriva det här som
$\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)=\frac{1}{4}\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)=0,25\cdot\left(\text{Hela cirkelns area}\right)$90∘360∘ ·(Hela cirkelns area)=14 ·(Hela cirkelns area)=0,25·(Hela cirkelns area) .
Vi kan sammanfatta det här i en formel för cirkelsektorns area.
Cirkelsektorns area
$area=\frac{v}{360^{\circ}}\cdot\pi r^2$area=v360∘ ·πr2
Exempel i videon
- Bestäm cirkelns omkrets och area (se bild i video).
- Peter har ritat ut en halvcirkel med hjälp av en passare. Han mäter avståndet mellan passarens två spetsar till 6 cm. Vilken area har halvcirkeln?
Kommentarer
e-uppgifter (6)
1. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken formel beräknar en cirkels omkrets?
($r=radie\text{ }och\text{ }d=diameter$r=radie och d=diameter)
Rättar...2. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilken formel beräknar en cirkels area? ($r=radie\text{ }och\text{ }d=diameter$r=radie och d=diameter)
Rättar...3. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (1/1/0)E C A B P 1 PL 1 M R K Vilken av de geometriska figurerna nedan har störst omkrets? Rektangeln eller cirkeln?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (2/0/0)E C A B 1 P 1 PL M R K Beräkna cirkelns area.
Rättar...5. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (2/0/0)E C A B 1 P 1 PL M R K Beräkna cirkelns area.
Rättar...6. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt Har figur A större area än figur B? (Svara med Ja eller Nej)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Rättar...c-uppgifter (2)
7. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)E C A B P 1 PL M R 1 K Olle och Arvid jämför två olika geometriska figurer.
Arvid säger: Cirkeln är störst
Olle säger: Rektangeln är störst
Vem av dem har rätt?
Rättar...8. Premium
Rapportera fel Ändra till korrekt (0/2/0)E C A B P 1 PL 1 M R K En cirkel har arean $12\text{ }m^2$12 m2. Vilken är dess radie? (Avrunda $\pi\approx3,14$π≈3,14 när du löser uppgiften samt ange ditt svar med två decimaler.)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Rättar...
Det finns inga befintliga prov.
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Hans Persson
Sista frågan. I uppgiften står arean=12 m^2. I lösningen har man räknat i cm^2.
Dessutom får man fel om man anger längdenhet i svaret, vilket känns konstigt.
Simon Rybrand (Moderator)
Har korrigerat detta, tack för att du sade till!
Endast Premium-användare kan kommentera.