00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2
A
/  Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Exponentialekvationer

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

En exponentialekvation kännetecknas av att den okända variabeln är placerad i exponenten. 

I den här lektionen introducerar vi begreppen exponentialekvationer och exponentialfunktion och kopplar samman dessa så att du förstår deras likheter och olikheter.

Vad är en exponentialekvation?

När vi vill multiplicera talet tio med sig själv tusen gånger skriver vi det effektivast som en potens, 10100010^{1000}101000 . Men hur skriver vi då om vi vill multiplicera talet tio med sig själv ett okänt antal gånger? Jo, då kan vi skriva det som 10x10^x10x, där xxx motsvarar antalet tior som multiplicerats med varandra.

Låt säga att vi nu vill veta hur många gånger tio ska multipliceras med sig själv, för att produkten ska bli en miljon. Vi kan då teckna likheten  10x=1 000 00010^x=1\text{ }000\text{ }00010x=1 000 000. En sådan ekvation kallar vi för en exponentialekvation.

En exponentialekvation kännetecknas av att den okända variabeln är placerad i exponenten. 

Formeln för en exponentialekvation kan skrivas på följande vis.

 Cax=yC\cdot a^x=yC·ax=y        där  C, aC,\text{ }aC, a och yyy är konstanter och xxx vår variabel.

Kan du lösningen på ekvationen 10x=1 000 00010^x=1\text{ }000\text{ }00010x=1 000 000? Vi vet att om man multiplicerar tio med sig själv sex gånger blir produkten en miljon. Vi kan skriva en miljon som tiopotensen 10610^6106. Med hjälp av denna kunskap kan vi nu lösa ekvationen.

10x=1 000 00010^x=1\text{ }000\text{ }00010x=1 000 000    ⇔   10x=10610^x=10^610x=106

och vi ser att om VL ska bli identiskt med HL, måste x=6x=6x=6.

Lösningar av enkla exponentialekvationer

Exempel 1

Lös ekvationen 2x=16 2^x = 16

Lösning

En ”enklare” exponentialekvation som denna kan lösas med prövning. Du ”ser” helt enkelt lösningen med hjälp av dina tidigare kunskaper i matematik.

Här gäller att x=4x = 4 eftersom att 24=2222=16 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 .

Men självklar är det så att det finns exponentialekvationer som inte går att se lösningen direkt på. Därför behöver vi framöver lära oss en generell algebraisk metod för att lösa exponentailekvationer på. Den metoden kallas för logaritmer och behandlas i i Matematik 2. i matematik 1 nöjer i oss med att lösa exponentialekvationer av lite enklare slag med hjälp av huvudräkning, potensregler och grafisk lösning.

Exempel 2

Lös ekvationen 22x=64 2⋅2^x = 64 

Lösning

Vi löser ekvationen med hjälp av prövning.

22x=64 2⋅2^x = 64       dividera både leden med  222 
2x=32  2^x = 32         

Vi undersöker vilket tal fem ska upphöjas till för bli 323232 och får att

x=5 x = 5 eftersom att 25=32 2^5 = 32

Exempel 3

Lös ekvationen 100x=10 100^x = 10  

Lösning

Vi löser ekvationen med hjälp av prövning.

100x=10 100^x = 10   

Vi undersöker vilket tal hundra ska upphöjas till för bli  101010  och får att

x=12 x = \frac{1}{2} eftersom att 1001/2=100=10 100^{1/2} = \sqrt{100} = 10

Så löser du en exponentialekvation grafiskt

Ett annat sätt att lösa exponentialekvationer är en grafisk lösning. Genom att skriva om ekvationen så att ena leden endast består av en konstant kan du finna lösningen i det xxx-värde som motsvarar den punkt som har ett yyy-värde som har samma värde som konstanten. 

Ovan ser vi grafen till funktionen  y=5 0001,02xy=5\text{ }000\cdot1,02^xy=5 000·1,02x . Men hjälp av grafen kan vi tex se att det xxx -värde som ger att funktionen har yyy -värdet 10 00010\text{ }00010 000 är  x=33,5x=33,5x=33,5  vilket därmed motsvarar lösningen till ekvationen  10 000=5 0001,02x10\text{ }000=5\text{ }000\cdot1,02^x10 000=5 000·1,02x 

Digitala hjälpmedel som hjälp vid ekvationslösning

Med hjälp av ett digitalt hjälpmedel, som GeoGebra eller en grafräknare kan vi finna lösningen genom att skriva in VL och HL som två olika funktioner och därefter använda verktygets funktion för att bestämma deras skärningspunkt. Ekvationens lösning motsvaras av skärningspunktens xxx -värdet.

Bild av grafräknarens skärm

Här har du en bild av grafräknare vi har i vår tjänst. Du hittar den här till höger genom att trycka på symbolen  här till höger på sida.

Exempel i videon

  • Lös ekvationen 2x=4 2^x = 4
  • Lös ekvationen 3x=27 3^x = 27
  • Lös ekvationen 5x=125 5^x = 125
  • Lös ekvationen 10002x=32000 1000 \cdot 2^x = 32000
  • Lös ekvationen 0,52x=1 0,52^x = 1
  • Lös ekvationen 2x=2,2 2^x = 2,2
  • Du sätter in 10 00010\text{ }00010 000 kr på banken med räntan 3%3\%3% per år. När har du 15 00015\text{ }00015 000 kr på ditt konto?