...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matematik
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Tillämpning – Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Tillämpning - Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 99 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

I den här lektionen går vi inte igenom någon ny teori utan fokuserar på hur man kan tillämpa potensekvationer, exponentialekvationer och logaritmer i vardagsproblem.

Tillämpning Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Många tillämpningar handlar om upprepad procentuell förändring. Därför är det viktigt att du känner till begreppet förändringsfaktor.

Beroende på om det är förändringsfaktorn eller antal förändringar som är okänt använder du olika lösningsmetoder.

skillnaden på potensfunktion och Exponentialfunktion

  • Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
  • Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.

Tips vid problemlösning

Det är klokt att att ha en strategi vid sin problemlösning. Det är också viktigt att man försöker förstå alla begrepp och informationen som problemet innehåller. Man kan behöva läsa uppgiften flera gånger för att bli säker på sin sak. Ett exempel på en strategi kan vara denna.

Strategi vid Problemlösning

  1. Skriv ner den information du fått i några punkter
  2. Skriv ner huvudfrågan till problemet och uppskatta ett rimligt svar
  3. Om det är givande; rita en figur eller graf som beskriver ditt problem
  4. Teckna ett uttryck eller en ekvation från informationen du fått i uppgiften
    4b. Om du inför egna variabler så ange vad de motsvarar med enhet
  5.  Beräkna värdet eller lös ekvationen
  6. Ange ett tydligt svar, med enhet om det anges, och jämför ditt svar med huvudfrågan och det du uppskattat som ett rimligt svar

Ju svårare problem ju viktigare blir det att du jobbar systematiskt och strukturerat med din problemlösning. Det kan tyckes ta lång tid och vara omständligt, men vill du nå framgång i problemlösning är det nödvändigt att det får ta tid och genomarbetas noggrant!

Tillämpning med Exponentialfunktioner

I tillämpning med exponentialekvationer söker vi ofta beräkna ett värde eller bestämma ett okänt antal förändringar. Ofta behandlar uppgifterna frågor om

  • hur stort funktionsvärdet var i början
  • hur lång tid dröjer det innan funktionen uppnår ett visst värde
  • vilket år funktionen antar ett visst värde

De olika variablerna och konstanterna i funktionen betyder oftast följande.

Begrepp

$y$y  motsvarar funktionsvärdet
$C$C motsvarar startvärdet, funktionens värde när  $x=0$x=0
$a$a motsvarar förändringsfaktorn
$x$x  motsvarar ofta antalet förändringar

Notera att $C$C och $a$a är konstanter i funktioner. Det vill säga det har ett numeriskt värde, tillexempel $100$100 eller $1,34$1,34. Det är bara $x$x och  $y$y som är variabler.

Vi tittar på ett exempel på Tillämning med exponentialfunktioner.

Exempel 1

När Dora fyllde ett år satte hennes mormor och morfar in $15\text{ }000$15 000 kr på ett bankkonto med räntan $1,5\%$1,5% per år.

Exponentiell funktion skrivbord

a) Gör en matematisk modell som beskriver hur summan $y$y kronor förändras med avseende på tiden $t$t år.

b) Beräkna algebraiskt hur många år det dröjer innan summan uppgår till $25\text{ }000$25 000 kronor förutsatt att räntan är den samma hela tiden.

Avrunda till svar till hela år.

Lösning

a) Vi gör en matematisk modell som beskriver situationen, där summan $y$y kronor förändras med avseende på tiden $t$t år och där insatsen är $15\text{ }000$15 000 kr med räntan $1,5\%$1,5% per år. Funktionen kan då se ut så här;

$y=15\text{ }000\cdot1,015^t$y=15 000·1,015t , eftersom att en ökning med $1,5\%$1,5% per år motsvarar förändringsfaktorn $1,015$1,015 och vi får summan på kontot genom att startvärdet multipliceras $t$t antal gånger med förändringsfaktorn.

b) Vi söker det värde på exponenten $t$t som ger att funktionens värde blir $25\text{ }000$25 000 kronor. Vi får då ekvationen
$25\text{ }000=15\text{ }000\cdot1,015^t$25 000=15 000·1,015t

Vi ska lösa den algebraiskt och använder då logaritmen.

$25\text{ }000=15\text{ }000\cdot1,015^t$25 000=15 000·1,015t         dividera båda led med $15\text{ }000$15 000 och förkorta VL

$\frac{5}{3}$53  $=1,015^t$=1,015t                                 logaritmera båda led

$\lg$lg$\frac{5}{3}$53  $=t\cdot\lg1,015$=t·lg1,015                  dividera båda led med $\lg1,015$lg1,015

$t=$t=$\frac{\frac{\lg5}{3}}{\lg1,015}$lg53 lg1,015 

$t\approx34$t34

Det tar ca $34$34 år innan det är $25\text{ }000$25 000 kr på kontot.

Tillämpning med Potensfunktioner

I tillämpning med potensfunktioner söker vi beräkna ett värde eller bestämma en okänt procentuell, ofta upprepad, förändring. Ofta behandlar uppgifterna frågor om

  • hur stort är den årliga procentuella förändringen
  • hur stor är förändringen av värdet under en viss tid
  • förändringen är konstant lika mycket (linjär förändring vilket också är en potensfunktion)

De olika variablerna och konstanterna i funktionen betyder oftast följande.

$y$y  motsvarar funktionsvärdet
$C$C motsvarar startvärdet, funktionens värde när  $x=0$x=0
$x$x motsvarar förändringsfaktorn
$a$a motsvarar ofta antalet förändringar

Notera igen att $C$C och $a$a är konstanter i funktioner. Det vill säga det har ett numeriskt värde, tillexempel $5\text{ }000$5 000  eller $16$16. Det är bara $x$x och  $y$y som är variabler.

Vi tittar på ett exempel på Tillämning med potensfunktioner.

Exempel 2

När Dora fyllde ett år satte hennes mormor och morfar in $15\text{ }000$15 000 kr på ett bankkonto.

Hur hög ränta måste hon få för att summan på kontot ska ha ökat till $25\text{ }000$25 000 kr när hon fyller $35$35 år?

Ange svaret med en decimals noggrannhet.

Lösning

Vi tecknar en ekvation som beskriver situationen. Startvärdet $15\text{ }000$15 000 ska multipliceras $34$34 antal gånger med förändringsfaktorn $x$x och då bli lika med $25\text{ }000$25 000 kronor. Vi får ekvationen

$15\text{ }000\cdot x^{34}=25\text{ }000$15 000·x34=25 000     dividera båda led med $15\text{ }000$15 000 och förkorta HL

$x^{34}=$x34=$\frac{5}{3}$53                             upphöj båda led till $\frac{1}{34}$134  

$x=$x= $\left(\frac{5}{3}\right)^{\frac{1}{34}}$(53 )134 

$x\approx1,015$x1,015

vilket motsvarar en årlig ränt på ca $1,5$1,5  %

Finn svaret med ekvationslösning

Du kan själv välja när du vill använda grafisk eller algebraisk lösning när du löser ekvationerna. Det bästa är att till en början växla mellan båda lösningsalternativen på många uppgifter för att blir riktigt säker och hitta sambanden mellan dessa två olika metoder.

Algebraisk lösning

För att lösa en exponentialekvation algebraiskt måste vi använda oss av logaritmer. Hur man gör det gick i igenom i lektionen exponentialekvationer och logaritmer. Sammanfattningsvis gäller att

$10^x=y$10x=y     ⇔      $x=\lg y$x=lgy   där  $y>0$y>0

$\lg x\text{ }^p=p\cdot\lg x$lgx p=p·lgx

Hur man gör när man löser en potensekvation gick i igenom vi lektionen Potensekvationer. Sammanfattningsvis gäller att

$\sqrt[n]{a^n}=a$nan=a

$\left(a^n\right)^{\frac{1}{n}}$(an)1n  $=a$=a

$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$a1n =na

Grafisk lösning

Med hjälp av digitala hjälpmedel kan vi finna lösningen genom att skriva in VL och HL som två olika funktioner och därefter använda verktygets  funktion för att bestämma deras skärningspunkt. Ekvationens lösning motsvaras av skärningspunktens $x$x -värdet. Hur man gör det gick i igenom i lektionen GeoGebra och Grafisk lösning.

Exempel i videon

  • Ett rymdskepps höjd $y$y över marken i ett tidsintervall kan beskrivas med funktionen $y=500\cdot1,22^t$y=500·1,22t där $t$t är tiden i sekunder efter uppskjutning. Efter hur många sekunder befinner sig rymdskeppet på 2000 meters höjd?
  • Ett företags aktiekurs sjunker exponentiellt med lika många procent under 3 år. År 2000 var den värd 82 kr och tre år senare 56 kr. Med hur
    många procent sjönk den per år?
  • Den radioaktiva isotopen Kol-14 har en halveringstid på 5 730 år. Forskaren Rodriguez har hittat ett fossil av ett djur där andelen Kol-14 var 10 % av ursprungsnivån. Hur gammalt är fossilet?

Kommentarer

Simon Jansson

Det går inte att skrivs in rätt svar. Ni får lägga in en mer omfångsrik lista för svar.

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Hej Simon,

    tack för att du säger till. Vi jobbar hela tiden med att lägga till fler svar som är korrekta.

    Det du som användare dock måste tänka på är att du alltid måste ha med en korrekt enhet. Du får inte rätt på uppgiften, varken på Eddler eller på prov, om du inte har angett svaret med korrekt enhet.

    Du hittar alla olika alternativ på svar som systemen ger rätt för genom att klicka på facit-> Korrekta varianter efter att du rättat uppgiften! Men fortsätt gärna höra av dig om du tycker att något fattas.

Christopher

Jag har fastnat med y(64)=10^20*2^-64/1

Hur går jag tillväga för att räkna ut detta?

Tacksam för svar 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Innan vi reder ut detta vill jag bara dubbelkolla, är det
    $ 10^{20}⋅2^{-64/1} $
    som du skall räkna ut? Eller missar jag någon parentes eller liknande?

Nicole Harrison

Hej jag förstår inte hur man får fram förändringsfaktorn som tex
i sista uppgiften a= 0,999879, men sen fick du fram att värdet minskar ca 0,012096% per år. Hur fick du fram det?

Sen förstår jag inte i början vart du fick = 0,50 C

Skulle vara tacksam av att få svar på det 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Kika gärna på den här videon om förändringsfaktor, då tror jag att det kommer att klarna kring det begreppet. Men kortfattat innebär tex en förändringsfaktor som är 0,9 att något minskar med 10 % om du multiplicerar med denna. Om förändringsfaktorn istället är 1,1 så ökar det med 10 % om du multiplicerar med denna.
    Om vi tänker oss att värdet från början är C så kommer hälften av detta att vara 0,5C.

Alexsandra Hedström

Jag skulle vilja veta hur jag löser dessa typer av problem.
Jag har startvärdet, procentuella ökningen och tiden och har ställt upp det som:
5,0 * 1,035^14 = X

Men förstår inte hur jag ska göra för att få fram X?

Tack på förhand,

    Simon Rybrand (Moderator)

    Eftersom att du har alla värden i vänsterledet kan du bara beräkna det på din räknare:
    $ 5,0⋅1,035^{14} ≈ 8,09 $

      Alexsandra Hedström

      Hur ska jag slå upphöjt till 14 på räknaren?

        Simon Rybrand (Moderator)

        På de allra flesta räknare letar du efter symbolen ^ och skriver då
        tex $ 2^(14) $. Ibland letar du efter symbolen $ x^n $ eller $ x^b $ eller något liknande.
        På vår räknare här på hemsida (längst ned till höger) så kan du exempelvis skriva $ 2^14 $

nti_ma2

den linjära modellen går väl inte snabbast nån gång alls eftersom ökningen bara är 600 kr / år, jämfört då med en ökning på 4% som alltså ger 7200 kr / år. Eller tänker jag fel?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Det kanske är lite otydligt beskrivet i uppgiften men det som avses är att månadslönen ökar med 600 kr, dvs 12*600 per år. Dvs samma summa som den exponentiella utvecklingen i början. Det som då är lite snett beskrivet är att den linjära går snabbare i början vilket den inte gör. Vi får ta och uppdatera denna video.

frustas

hur räknar man som exemplet ovan en tolftedels roten ur något på räknaren :)???

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det beror ju lite på vilken räknare som du har men något som alltid går är att göra följande:
    Om du skall beräkna $\sqrt[12]{x}$ så är detsamma som att beräkna $x^{1/12}$

    På räknaren så kan du alltså beräkna:
    x^(1/12)

      frustas

      aha ganska logiskt när man ser det så 🙂 tack så mycket.

itgmatte

Hej skulle uppskatta hjälp med denna,

Fabrik måste minska utsläpp i sjöar och vattendrag med 20 % under de följande 4 åren,
a, hur stor bör den årliga utsläppsminskningen vara i % om man eftersträvar en lika stor relativ minskning under varje år?
b, Anta att samma årliga reduktionsmål tillämpas även efter en fyraårsperiod. Hur många år kommer det att ta innan utsläppen minskat till mindre än hälften av de ursprungliga?
Tack på förhand

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, sätt den nuvarande utsläppsnivån till C och att det efter fyra år skall vara 0,8C (dvs en minskning med 20 %). Vi sätter att utsläppen skall minska med a varje år. Då kan följande ekvation ställas upp och lösas:
    $ Ca^4 = 0,8C ⇔$
    $ a^4 = 0,8$

    Du kan göra på ett liknande sätt i b)

Absuge

Hej Simon!
En ökning med 50% på 10 år.
Hur kan man räkna?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan, vad är det du skall beräkna? Är det förändringen per år kanske? Du kan då tänka att du har startvärdet C och efter 10 år så har du 1,5C. Du kan då ställa upp ekvationen:
    $ 1,5C = C⋅x^{10} \Leftrightarrow $
    $ 1,5 = x^{10} \Leftrightarrow $
    $ x = \sqrt[10]{1,5} $

dontomas

Hur löser man uppgifter där x finns med på båda sidor om likhetstecknet, så som denna uppgift:

$ 2000*1,03^x = 1500*1,05^x $

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, här kan du logaritmera bägge sidor av ekvationen för att sedan använda logaritmlagarna för att lösa ut x.

    $ 2000⋅1,03^x = 1500⋅1,05^x⇔$(logaritmera)
    $ lg(2000⋅1,03^x) = lg(1500⋅1,05^x)⇔$(logaritmlag)
    $ lg2000 + lg1,03^x = lg1500 + lg1,05^x ⇔$ (logaritmlag)
    $ lg2000 + xlg1,03 = lg1500 + xlg1,05 ⇔ $
    $ lg2000 – lg1500 = xlg1,05 – xlg1,03 ⇔ $
    $ lg2000 – lg1500 = x(lg1,05 – lg1,03) ⇔ $
    $ x = (lg2000 – lg1500)/(lg1,05 – lg1,03) ⇔ $
    $ x = 14,959 $


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (9)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Antalet bakterier $B\left(t\right)$B(t) i en bakteriekultur ökar exponentiellt varje timme enligt funktionen $B\left(t\right)=1500\cdot1,065^t$B(t)=1500·1,065t.

    Hur många bakterier finns det vid försökets början?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Antalet bakterier, $B\left(t\right)$B(t), i en bakteriekultur ökar exponentiellt varje timme enligt funktionen $B\left(t\right)=1500\cdot1,065^t$B(t)=1500·1,065t .

    Med hur många procent ökar antalet bakterier varje timme?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP

    Jimmy har köpt en ny bil för $280\text{ }000$280 000 kr. Bilens värde visar sig minska med $12\text{ }\%$12 % per år.

    Hur mycket är bilen värd efter fyra år?

    Avrunda till hela tusental.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 99 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M 1
    R
    K
    M NP

    Du köper en guldtacka för $10\text{ }000$10 000 kr och räknar med att priset kommer att stiga med $2,2\text{ }\%$2,2 % per år.

    När är din guldtacka värd $15\text{ }000$15 000 kronor?

    Avrunda till hela år.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M 1
    R
    K
    M NP

    Lisa sätter in $5000$5000 kr på ett sparkonto med en fast årlig ränta på $2,1\%$2,1%. Hur många år dröjer det innan pengarna på kontot har dubblerats?

    Lös uppgiften både algebraiskt och grafiskt och avrunda till hela år.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP

    Du har haft tur och vunnit $5000$5000 kronor på ett lotteri. Du sparar dessa pengar i en räntefond med den planerade årsräntan på $3,3\text{ }\%$3,3 %.

    När har dina pengar ökat så pass mycket att du kan ta ut $7000$7000 kronor?

    Ange svaret med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M 1
    R
    K
    M NP

    Du har satt in pengar på ett konto och om du inte sätter in några mer pengar och räntan är konstant så kommer summan på kontot växa exponentiellt. Hur stor är räntan på kontot om du satte in $20\text{ }000$20 000 kr och det är $20\text{ }505$20 505 kr efter fem år?

    Ange svaret med en decimals nogrannhet och procent tecken.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M 1
    R
    K
    M NP

    Befolkningen i Sverige växer med ca $1,1\text{ }\%$1,1 % per år. I januari 2017 var det $10$10 miljoner invånare i Sverige.

    Under vilket år kan vi antas passera $11$11 miljoner invånare om tillväxten fortsätter med samma hastighet?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (3/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M 3 2
    R
    K
    M NP

    Ett av Sveriges miljömål är att minska koldioxidutsläppet. År$1990$1990 var koldioxidutsläppet $7,29\cdot10^7$7,29·107 ton.
    År $2011$2011 hade utsläppet minskat till $6,63\cdot10^7$6,63·107 ton. Anta att koldioxidutsläppet har minskat enligt det exponentiella sambandet

     $y=C\cdot a^x$y=C·ax 

    där $y$y motsvarar koldioxidutsläppet i ton och $x$x motsvarar antalet år efter $1990$1990.

    a) Bestäm konstanten $C$C i sambandet ovan. Endast svar krävs.

    b) Beräkna den årliga procentuella minskningen mellan år $1990$1990 och år $2011$2011.

    Målet är att minska koldioxidutsläppet med $40\text{ }\%$40 % från år $1990$1990 till år $2020$2020.

    c) Anta att den årliga procentuella minskningen är $1\text{ }\%$1 % från och med år $2011$2011 då utsläppet var $6,63\cdot10^7$6,63·107 ton. Hur många år kommer det att ta, räknat från år $2011$2011, innan koldioxidutsläppet är $40\text{ }\%$40 % lägre än år $1990$1990?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (14)

  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP

    Under senare tid har vildsvinsstammen i Sverige fördubblats vart tredje år.

    Vildsvinsstammen kan beskrivas med en exponentiell modell  $y=15\text{ }000\cdot2^{\frac{x}{3}}$y=15 000·2x3   där $y$y är antalet vildsvin och $x$x är antal år efter år $2000$2000

    a) Hur många vildsvin fanns det år $2010$2010 enligt modellen?

    b) Hur många procent per år växer vildsvinsstammen enligt modellen?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/1/0)
    E C A
    B
    P 1 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Koncentrationen av vätejoner i naturen påverkar både vattnet och marken omkring oss. pH-skalan som beskriver denna koncentration är logaritmisk.

    Sambandet mellan pH-värdet och vätejonkoncentrationen kan skrivas
      $y=-\lg x$y=lgx 
    där $y$y är pH-värdet och $x$x är vätejonkoncentrationen i mol/dm$^3$3.

    a) Bestäm pH-värdet då vätejonkoncentrationen är $1,2\cdot10^{-4}$1,2·104 mol/dm$^3$3.     Endast svar krävs.

    b) Under en laboration mättes pH-värdet i ett regnvattenprov till $5,60$5,60.

        Beräkna koncentrationen av vätejoner i regnvattenprovet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M 1
    R
    K
    M NP

    Antalet bakterier i en bakteriekultur växer exponentiellt. Med hur många procent per timme ökar antalet bakterier om det var $500$500 bakterier till att börja med och det efter ett dygn är ca $3000$3000 bakterier?

    Ange svaret med en decimals noggrannhet och med enheten ”procent per timme”.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/2/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M 2
    R
    K
    c M NP

    Magnituden M är ett mått på hur starkt en stjärna lyser och kan beräknas med hjälp av formeln  $M-5=a-5\text{lg}\left(\frac{r}{3\cdot10^{16}}\right)$M5=a5lg(r3·1016 )  där $r$r är avståndet i meter från jorden till stjärnan och a en konstant för en specifik stjärna, se tabell nedan.

    a) Beräkna magnituden M för stjärnan Sirius A.

    b) Beräkna avståndet r till stjärnan Proxima Centauri.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M 1
    R
    K
    M NP

    Värdet på en känd tavla tros fördubblas på $13$13 år. Efter hur många år har värdet fyrdubblats?

    Avrunda och svara i hela år.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M 1
    R
    K
    M NP

    Shanghai i Kina är en av de städer som växer snabbast i världen. Mellan år $2000$2000 och $2010$2010 ökade befolkningen med nästan $66\text{ }\%$66 %.

    Om tillväxthastigheten fortfarande är densamma, hur många år tar det för stadens befolkning att fördubblas?

    Avrunda till hela år.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 16. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/2/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP

    I friidrott tävlar deltagarna i tiokamp i tio olika grenar. För att kunna summera resultaten från dessa grenar räknas resultatet i varje gren om till poäng.

    Vid poängberäkning i grenen spjut används följande formel:

     $P=10,14\left(D-7\right)^{1,08}$P=10,14(D7)1,08 

    där $P$P är antalet poäng och $D$D är uppmätt resultat i meter.

    Ashton Eaton, världsrekordhållare i tiokamp, vann OS-guld i London $2012$2012.
    I spjut satte han då personligt rekord med ett kast på $61,96$61,96 m.

    a) Beräkna hur många poäng Eaton fick i spjut med sitt kast på $61,96$61,96 m.

    Eatons totalpoäng vid OS i London var $8869$8869 poäng. Silvermedaljören Trey Hardee fick totalt $8671$8671 poäng. I spjut kastade Hardee $66,65$66,65 m.

    b) Hur långt hade Hardee behövt kasta i spjut för att slå Eatons totalpoäng $8869$8869? Utgå från att hans resultat i de andra grenarna är oförändrade.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 17. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL 1
    M 1
    R
    K
    M NP

    Under $30$30 år, mellan $1985-2015$19852015, så skövlades $15\text{ }\%$15 % av Amazonas regnskog.

    Om regnskogen skövlas i samma takt – hur lång tid dröjer det innan hälften av regnskogen försvunnit?

    Avrunda till hela tiotal år.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 18. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP

    Bananflugor förökar sig väldigt snabbt. En hona lägger ca $500$500 ägg åt gången och det tar ca $10$10  dagar för äggen att förvandlas via larv och puppa till färdig fluga. 
    Man kan anta att ungefär hälften av nästa generation är honor, alla ägg blir dock inte flugor och många dör innan de blir könsmogna.

    En flugkolonis förökning skulle därför kunna beskrivas med modellen  $f(x)=2\cdot218^{\frac{x}{3}}$ƒ (x)=2·218x3   där $f(x)$ƒ (x) motsvarar antalet bananflugor efter $x$x dygn.

    Hur lång tid skulle det potentiellt kunna ta innan en frukt med en honas ägg i, ökat till $1\text{ }000\text{ }000$1 000 000 om omständigheterna är gynnsamma?

    Ange svaret med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 19. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M 3
    R
    K
    M NP

    På hösten då fisket av hummer inleds, auktioneras fångsten ut till högstbjudande.
    Jämförpriset i kr/kg kan då bli väldigt högt.

    Vid auktionen år $2009$2009 blev högsta jämförpriset för hummer  $1130$1130 kr/kg och år $2012$2012 hade det högsta jämförpriset ökat till $102\text{ }000$102 000 kr/kg.

    Anta att ökningen av högsta jämförpriset har varit exponentiell.

    a) Med hur många procent per år har högsta jämförpriset på hummer ökat?

    b) Vad borde högsta jämförpriset för hummer bli vid auktionen år $2014$2014 om det skulle följa samma årliga procentuella utveckling som under perioden år $2009$2009 till år $2012$2012?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 20. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP

    Sid har varm choklad i en kopp. Efter hur många minuter är temperaturen $63°C$63°C om temperaturen följer modellen $T\left(x\right)=84\cdot0,75^x$T(x)=84·0,75x under de fem första minuterna?

     $T(x)$T(x) anger temperaturen i koppen och $x$x motsvarar antalet minuter sedan chokladen hälldes upp i koppen.

    Försök först lösa problemet utan räknare.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 21. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M 1
    R 1
    K
    M NP

    Studera följande tre fall. Vilket av fallen kan matematiskt beskrivas med en exponentialfunktion?

    Skriv upp en matematisk modell för vart och en av fallen när du läser igenom dem.

    Fall 1: Ann vill beräkna $t$t stycken tröjors totala  kostnad, $y$y kr, efter att en rabatt på $x\%$x% har dragits av från det ursprungliga priset $C$C kr. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna den totala kostnaden y kr.

    Fall 2: Zoe vill beräkna hur lång tid, $t$t timmar, det tar innan kaffet har temperaturen $y°C$y°C om temperaturen förändras med förändringsfaktorn $x$x varje timme och hade starttemperaturen $C\text{ }°C$C °C. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna antalet timmar innan temperaturen är $y\text{ }°C$y °C.

    Fall 3:  Max vill beräkna förändringsfaktorn $x$x som motsvarar den konstanta procentuella ökning som hans aktier behöver hålla för att han ska ha dubblat sin insats $C$C kronor efter $t$t månader. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna den procentuella ökningen.

    Träna även på att motivera ditt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 22. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/3/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M 2
    R
    K 1
    c M NP

    Ett exemplar av ett känt datorföretags första datormodell såldes under år $2013$2013. I samband med försäljningen kunde man läsa följande i en tidningsnotis:

    Priset för datorn har därmed tusenfaldigats, sedan den ursprungligen såldes $1976$1976. Den tillverkades för hand av företagets båda grundare, ledaren Steve Jobs och programmeraren Steve Wozniak, hemma i Jobs garage. ( TT 26 maj 2013)

    Enligt tidningsnotisen såldes datorn år $2013$2013 till ett pris som var tusen gånger så stort som priset år $1976$1976. Anta att den procentuella prisökningen varit lika stor varje år. Beräkna den årliga procentuella prisökningen mellan år $1976$1976 och år $2013$2013 för datorn.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 23. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/4/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M 3
    R
    K 1
    M NP

    Det största djur som någonsin funnits på jorden är blåvalen. Under de senaste hundra åren har antalet blåvalar minskat kraftigt på grund av jakt.

    År $1900$1900 fanns det ungefär $239\text{ }000$239 000 blåvalar i världshaven och hundra år senare var antalet ungefär $2\text{ }300$2 300. Anta att antalet blåvalar minskar exponentiellt med tiden.

    Figuren visar graferna till tre funktioner $f$ƒ  , $g$g och $h$h där $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) , $y=g\left(x\right)$y=g(x) och $y=h\left(x\right)$y=h(x). De tre funktionerna representerar tre olika modeller för hur blåvalarnas antal kan ha minskat under $1900$1900 -talet.

     $y$y  är antalet blåvalar och $x$x är antal år från år $1900$1900 .

    Anta att den årliga procentuella förändringen av antalet blåvalar var konstant under $1900$1900 -talet och fortsätter att vara konstant under $2000$2000 -talet.

    a) Vilken av de tre modellerna representerar då hur blåvalarnas antal minskar efter år  $1900$1900?

    Motivera ditt svar.

    b) Bestäm hur många blåvalar det finns kvar år $2065$2065 om den årliga procentuella förändringen av antalet blåvalar fortsätter att vara konstant.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (5)

  • 24. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/1)
    E C A
    B
    P
    PL 1 1
    M
    R
    K
    M NP

    Vid en jordbävning kan man beräkna hur mycket energi som frigörs med formeln  $M=\frac{2}{3}\left(lgE-4,4\right)$M=23 (lgE4,4) där $E$E motsvarar den frigjorda energin i joule och $M$M magnituden på jordbävningen (d.v.s hur ”stor” den är).

    Hur många miljarder bananers energi motsvarar en jordbävning med magnituden $8\text{ }M$8 M, om en banan innehåller ca $110$110 kcal vilket motsvarar ca $460$460 kJ?

    Svara med ett heltal.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 25. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/2)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M 1
    R 1
    K 1
    M NP

    Du har just börjat ett nytt jobb och din startlön är $23\text{ }000$23 000 kronor i månaden. Du får välja på om du vill ha en konstant eller procentuell årlig löneökning. 
    Den konstanta löneökningen är $6000$6000 kr per år och den procentuella är $2\%$2% per år.

    Ställ upp två modeller som visar de olika löneutvecklingarna och jämför grafiskt.
    Välj sedan det alternativ nedan du tycker stämmer bäst.

    Träna på att motivera ditt svar.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 26. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/2)
    E C A
    B 1 2
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP

    Figuren visar grafen till funktionen $f$ƒ  där $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) 

    a) Använd grafen och bestäm $a$a om $f\left(a\right)=-1$ƒ (a)=1 

    b) Använd grafen och bestäm $f\left(b\right)$ƒ (b) då  $f\left(b-1\right)=4$ƒ (b1)=4 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 27. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/2)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M 1
    R
    K 1
    M NP

    Lufttrycket avtar exponentiellt med höjden över havet.

    Lufttrycket vid havsytan är $1\text{ }013$1 013 mbar. På Kebnekaises topp, $2097$2097 meter över havet, är lufttrycket $775$775 mbar.

    Bestäm lufttrycket på Mount Everests topp som ligger $8848$8848 meter över havet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 28. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/2)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M 1
    R
    K 1
    c M NP

    För att åldersuppskatta arkeologiska fynd används den så kallade Kol-14-metoden. Man mäter den andel Kol$-14$14 som finns kvar i ett föremål och får då en uppskattning av hur gammalt det är genom att utgår från halveringstiden vilken är $5730$5730 år.

    Hur gammalt är ett fynd som innehåller $25$25 % av den ursprungliga halten Kol $-14$14?

    Halveringstid innebär hur lång tid det tar innan den ursprungliga mängden av ett ämne halverats.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare