...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 2
 /   Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Logaritmer och Exponentialekvationer

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

I den här lektionen lär du dig hur du löser exponentialekvationer med logaritmer. Vi går igenom vad en logaritm är, samt hur man använder dem för att lösa ekvationer.

Kort om logaritmer

Logaritmer gör det möjligt att lösa exponentialekvationer algebraiskt. Med hjälp av logaritmlagar kan skriva om ekvationer så att variabler som funnits i exponenten hamnar i basen. Det innebär att logaritmen är den inversa funktionen till exponentiering.

Logaritm lag
Men först repeterar vi vad en exponentialekvation är.

Exponentialekvation

I lektionen exponentialekvationer gick vi igenom vad som gör att en ekvation kallas exponentiell.

En exponentialekvation kännetecknas av att den okända variabeln är placerad i exponenten. 

Formeln för en exponentialekvation kan skrivas på följande vis.

 $C\cdot a^x=y$C·ax=y        där  $C,\text{ }a$C, a och $y$y är konstanter och $x$x vår variabel.

Ekvationen $10^x=1\text{ }000\text{ }000$10x=1 000 000 kan vi lösa genom att skriva en miljon som tiopotensen $10^6$106. Med hjälp av denna kunskap får vi att

$10^x=1\text{ }000\text{ }000$10x=1 000 000    ⇔   $10^x=10^6$10x=106  

och vi ser att om VL ska bli identiskt med HL måste $x=6$x=6.

Ekvationen svarar alltså på hur många gånger tio ska multipliceras med sig själv för att bli en miljon.

Men hur löser vi ekvationen ekvationen $37^x=12$37x=12 ? Alltså hur många gånger ska trettiosju multipliceras med sig själv för att bli lika med tolv? Det är inte lika lätta att ta reda på. Metoden vi nyss använde hjälper oss inte.

För exponentialekvationer fungerar inte samma metoder som för potensekvationer, det vill säga ekvationer där den okända variabeln är i exponenten istället för i basen.

Tidigare har vi löst exponentialekvationerna grafiskt, alltså genom att ritat upp två grafer, en för HL och en för VL, och läst av skärningspunktens $x$x-värde. Nu ska vi lära oss logaritmer, vilket är en algebraiskt metod för att lösa exponentialekvationer!

Vad är en logaritm?

Man anser att det var skotten John Napier som uppfann logaritmer. Den ursprungliga nyttan med logaritmer var att förenkla långa jobbiga beräkningar, genom att ersätta långa sekvenser av multiplikationer med sekvenser av additioner som var mindre tidskrävande att lösa. Logaritmen definieras så här.

Logaritmen av ett tal $y$y är den exponent $x$x man måste upphöja basen $a$a till, för att få talet $y$y. 

Med matematik skriver vi det så här.

 $a^x=y$ax=y     ⇔      $x=\log_a(y)$x=loga(y)   där  $y>0$y>0 

En logaritm kan man tänka sig ungefär som en motsatt operation till upphöjt till, vi kallade det i början av lektionen för den inversa funktionen till exponentiering. Vi använder alltså logaritmen för att kunna lösa en ekvation där variabeln är i exponenten, en exponentialekvation.

Den vanligaste logaritmen

Vårt talsystem, det decimala talsystemet, är uppbyggt på basen tio. Därför är det vanligt att man använder tiologaritmen, alltså  $\log_{10}$log10 för att lösa exponentialekvationer. Det är så vanligt att man till och med gett det en egen beteckning, $\lg$lg eller  $\log$log. Så $\log_{10},\text{ }\log$log10, log och $\lg$lg är tre olika sätt att skriva exakt samma sak. Vi får då sambandet

 $10^x=y$10x=y     ⇔      $x=\lg y$x=lgy   där  $y>0$y>0 

Logaritmer är alltså bara definierade för positiva tal. Ekvivalensen gäller eftersom att $\lg10^x=x$lg10x=x. Vi tittar på det strax.

Hur använder vi nu detta för att lösa exponentialekvationer då?

Att lösa exponentialekvationer med logaritmer

Vi böjar nu med att studera hur vi kan använda logaritmen, för att lösa en exponentialekvation. Vi tar vårt exempel $10^x=100$10x=100  igen och ställer en särskild fråga för att lösa ekvationen.

”Vad ska basen tio upphöjas till för att bli hundra?”. Det fiffiga är då, att svaret Två. ger oss lösningen till ekvationen. Alltså är logaritmen av $100$100 lika med två. Matematiskt skriver vi det så här.

 $\lg100=\lg10^2=2$lg100=lg102=2 

Lösningen på ekvationen  $a^x=y$ax=y  kan vi hitta genom att upprepa frågan

”Vad ska basen a upphöjas till för att bli y?”.  Jo, x.

Vi tar ett exempel till ställer frågan för att lösa ekvationen $10^x=1\text{ }000\text{ }000$10x=1 000 000.

”Vad ska basen tio upphöjas till för att bli en miljon?”. Då är svaret Sex. Det svaret ger oss att, logaritmen av  $1\text{ }000\text{ }000$1 000 000 lika med sex. Matematiskt skriver vi det så här.

Exempel 2

Lös ekvationen  $10^x=1\text{ }000\text{ }000$10x=1 000 000 

Lösning

Eftersom att $1\text{ }000\text{ }000=10^6$1 000 000=106 och  $\lg10^x=x$lg10x=x kan vi lösa ekvationen så här.

  $10^x=1\text{ }000\text{ }000$10x=1 000 000    logaritmera båda leden

 $\lg10^x=\lg1\text{ }000\text{ }000$lg10x=lg1 000 000    skriv om HL till en tiopotens

 $\lg10^x=\lg10^6$lg10x=lg106     skriv om VL och HL då du vet att $\lg10^x=x$lg10x=x 

 $x=6$x=6   

Om $x=6$x=6 är $VL=HL$VL=HL vilket då är en lösning till ekvationen.

Man kan med fördel hoppa över skrivningen mellan de två likhetstecknen i lösningen och istället direkt skriva  $\lg1\text{ }000\text{ }000=6$lg1 000 000=6 och $\lg100=2$lg100=2.

Men vi gjorde så här för att förtydliga att exponenten är lösningen!

En omatematisk beskrivning av logaritmer

Man skulle lite barnsligt och omatematiskt kunna beskriva tiologaritmen som att den ”äter upp” basen tio så att bara exponenten blir kvar. När basen försvinner ”ramlar” exponenten ner i basen och ”förvandlas” till lösningen på ekvationen.

På liknande sätt skulle vi kunna beskriva hur basen tio ”befriar” den okända variabeln $x$x då den är ”fångad” av logaritmen. Genom att flytta upp logaritmen och ”dess fångade tal” i exponenten och tillsätta basen tio, ”befrias” talet som är ”tillfångataget” av logaritmen. Både basen tio och logaritmen i exponenten ”går upp i rök” och där med åter lämnar talet som var ”tillfångataget” själv och på så sätt ”förvandlas” till lösningen på ekvationen.

Tänk bara på att gör man något i ena leden måste man göra exakt det samma i det andra!

Logaritmens graf

En hjälp att förstå logaritmer kan vara att studera dess graf och se sambandet mellan punkternas koordinater. Den blåa grafen motsvara funktionen  $y=10^x$y=10x.  Den ger oss möjlighet att både lösa ekvationer där $x$x så väl som $y$y är okända. Detta eftersom att grafen visar att vi kan skriva alla positiva heltal som en tiopotens.

Vi vet att $10=10^x$10=10x ger lösningen $x=1$x=1. Vi kan läsa av detta i grafen genom att leta reda på punkten där  $y=10$y=10 och avläsa tillhörande $x$x-värdet. På samma sätt kan vi lösa ekvationen  $3,98=10^x$3,98=10x och få lösningen $x=0,6$x=0,6.

Logaritmens graf

När vi söker värdet på $y=10^{0,6}$y=100,6  får vi att $y\approx3,98$y3,98. Det innebär då i omvänd ordning, att ekvationen $0,6=\lg y$0,6=lgy har lösningen $y\approx3,98$y3,98, då logaritmen står för ”det tal tio ska upphöja till för att bli..”

I din räknare finns antagligen en automatisk funktion som tar fram detta värde så att vi slipper det tidsödande arbetet att läsa av en graf eller tabell, för att ta reda på olika logaritmvärden.

Så används logaritmer för att lösa exponentialekvationer

Så hur kan då detta användas för att lösa exponentialekvationer av typen  $a^x=b$ax=b  där vi har vårt okända tal i exponenten?
Det visar sig att vi med hjälp av logaritmer, kan skriva om exponentialekvationer så att de blir enkla att lösa.

När du har övat några gånger så kommer du snabbt kunna lösa exponentialekvationer genom att tillämpa metoden med logaritmer. Men det är bra att ha med dig den teori vi har gått igenom här, så att du har sett bakgrunden till vad logaritmer egentligen är.

Nedan visar vi hur vi kan skriva om en exponentialekvation och lösa den med kunskapen om logaritmer. 

Vanliga fel

Det är vanligt att man glömmer att dividera bort en eventuell koefficient innan man logaritmerar båda leden. Då blir det fel! Förenkla först så att du har potensen $a^x$ax själv i ena ledet, innan du sätter i gång och löser ekvationen med hjälp av logaritmen.
 
Ett annat vanligt fel är att man tror att $\frac{\lg A}{\text{ }\lg B}$lgA lgB   är det samma som $\lg$lg$\frac{A}{B}$AB . Det är det inte!
 
Det ser vi tex med hjälp av detta exempel.
 
 $\frac{\lg10^3}{\lg10^2}=\frac{3}{2}=$lg103lg102 =32 =$1,5$1,5 
 
som inte är det samma som
 
 $\lg\frac{10^3}{10^2}=\lg\frac{1000}{100}=$lg103102 =lg1000100 = $\lg10=1$lg10=1  

Beräkna logaritmer med din räknare

Exempel 2

Lös ekvationen  $37^x=12$37x=12

Lösning

Vi börjar med att skriva om både $37$37 och $12$12 så att de står på basen tio. Vi vet från teorin ovan att  $\lg37$lg37 är det tal vi upphöjer tio till för att få $37$37 och $\lg12$lg12 är det tal vi upphöjer tio till för att få $12$12 . Vi kan alltså skriva

$37=10^{\text{lg }37}$37=10lg 37  och  $12=10^{\text{lg }12}$12=10lg 12

Då kan vi skriva ekvationen som

 $\left(10^{\lg37}\right)^{^x}=10^{\lg12}$(10lg37)x=10lg12 

Med potensregeln $(a^x)^y=a^{x\cdot y}$(ax)y=ax·y kan vi skriva om VL.

$10^{x\cdot\text{lg }37}=10^{\text{lg }12}$10x·lg 37=10lg 12

Då VL= HL och båda leden har samma bas måste likhet även råda mellan exponenterna. Vi får alltså att

 $x\cdot\lg37=\lg12$x·lg37=lg12 

Dividera båda leden med  $\lg37$lg37 för att få variabeln  $x$x själv.

 $x=$x=$\frac{\text{ }\lg12}{\lg37}$ lg12lg37  

Detta är den exakta lösningen på ekvationen. I vassa fall väljer man att beräkna ett närmevärde med hjälp av räknaren och svara med det avrundade svaret  $x\approx0,69$x0,69 i stället.

Värt att nämna är att du inte behöver skriva om ekvationen på detta vis varje gång, utan utifrån detta exempel kan vi presentera logaritmlagen 

 $\lg x\text{ }^p=p\cdot\lg x$lgx p=p·lgx

Se i exempel nedan.

Exempel 3

Lös ekvationen  $10\cdot8^x=24$10·8x=24

Lösning

Vi löser ekvationen med logaritmer.

$10\cdot8^x=24$10·8x=24                               dividera båda leden med  $10$10 

 $8^x=2,4$8x=2,4                                      ta logaritmen av båda leden

$\text{lg }8^x=\text{lg }2,4$lg 8x=lg 2,4                             skriv om VL med logaritmlagen  $\lg x\text{ }^p=p\cdot\lg x$lgx p=p·lgx 

 $x\cdot\lg8=\lg2,4$x·lg8=lg2,4                         dividera båda leden med $\lg8$lg8 

 $x=$x=  $\frac{\lg2,4}{\lg8}$lg2,4lg8  

vilket är ekvationens exakta lösning. Närmevärdet på lösningen är $x\approx0,42$x0,42

Exempel 4

Lös ekvationen  $3^x\cdot3^{2x}=10$3x·32x=10

Lösning

Vi löser ekvationen med logaritmer.

$3^x\cdot3^{2x}=10$3x·32x=10              förenkla VL med potenslagen $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ax·ay=ax+y

$3^{3x}=1$33x=1                    ta logaritmen av båda leden

 $\lg3^{3x}=\lg10$lg33x=lg10          skriv om VL med logaritmlagen $\lg x\text{ }^p=p\cdot\lg x$lgx p=p·lgx och beräkna HL

 $3x\cdot\text{ }\lg3=1$3x· lg3=1 

 $x=$x=  $\frac{1}{3\cdot\lg3}$13·lg3  

vilket är ekvationens exakta lösning. Närmevärdet på lösningen är  $x\approx0,699$x0,699

Logaritmer med olika baser

Det allmänna skrivsättet för logaritmen är  $\log_a\left(b\right)$loga(b). Vi beräknar med logaritmen det värde som motsvarar den exponent $x$x man upphöjer basen $a$a till, för att få talet $b$bVanligt är, som vi redan nämt, att använda logaritmen med basen tio. Med vi kan lika gärna använda en annan bas. Här följer några krångliga sätt att skriva talet tre på.

 $3=\lg10^3=\log_5\left(5^3\right)=\log_e\left(e^3\right)=\log_a\left(a^3\right)$3=lg103=log5(53)=loge(e3)=loga(a3)  eftersom att  $x=\log_a\left(a^x\right)$x=loga(ax) .

I matematik 3 kommer den naturliga logaritmen, som har basen $e$e, att introduceras och användas mycket. Men det tar vi då.

Nödvändiga förkunskaper

Potenser

En potens är ett uttryck av typen $kx^n$kxn, där $k$k och $n$n är konstanter och $x$x en variabel.  $x$x kallas för bas och $n$n för exponent. Tillsammans bildar de en potens.

Algebra

Det som förenklat kallas för bokstavsräkning, även om det är något missvisande.

Potenslagarna

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$am·an=am+n

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$aman =amn

$a^0=1$a0=1

$(a^m)^n=a^{m\cdot n}$(am)n=am·n

$(a\cdot b)^x=a^x\cdot b^x$(a·b)x=ax·bx

$a^{-x}=\frac{1}{a^x},\text{ }a\ne0$ax=1ax , a0

Viktiga begrepp

Exponentialfunktion

En funktion där den oberoende variabeln finns i exponenten. En exponentialfunktion skrivs på den allmänna formen $y=C\cdot a^{kx}$y=C·akx  där $C,\text{ }a$C, a och $k$k är konstanter  och $a>0$a>0 . Den oberoende variabeln betecknas här $x$x och den oberoende variabeln  $y$y. Exponentialfunktionen kännetecknas av att funktionsvärdets ändringstakt är proportionell mot funktionsvärdet.

Exempel i videon

Lös ekvationen  $5^x=3$
Lös ekvationen  $2^x=3$
Lös ekvationen  $3\cdot6^x=9$

Kommentarer

Alfred Zandhoff

log0,041/log0,8 = 14,3144 men erat svar säger att det blir 14,24

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Hej Alfred,

    jag tror felet uppstår i alla du avrundar kvoten $\frac{25}{600}$ till $0,041$ i din beräkning.

    Om du behåller alla decimaler på $\frac{25}{600}$ (skriv helt enkelt in kvoten) när du beräknar logaritmen för detta så kommer det ge svaret som är angivet i uppgiften.

    När man räknar med logaritmer kommer varje decimal att påverka värdet mycket. SÅ bäst är att inte avrunda förrän i slutet.

Karin Åkeby

cirkatecknet jag gör accepteras ej

    Anna Eddler Redaktör (Moderator)

    Jag har nu lagt till ett cirka tecken i data banken. Hoppas det ska fungera nu. Hör av dig igen om det inte fungerar.

Klara Österberg

Menade fråga 8!

Klara Österberg

Gällande fråga 7; hur slår jag ”3 log3” på räknaren? Jag får inte fram samma svar som er.

Lisa Johansson

Hej,

Min lärare tycker ibland att man ska lösa en log-ekvation algebraiskt. När ska jag göra detta och när ska jag använda räknaren? Kan man lösa de exemplen du tog här genom algebra?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Kan du ge mig ett exempel på en ekvation som du skall lösa algebraiskt? I videon visar vi en algebraisk metod med hjälp av logaritmer.

Cecilia Johansson

Hur löser jag följande ekvation:
Log(x^2+4x+3)-log(X+1)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är ingen ekvation då det saknas ett likhetstecken.

      Cecilia Johansson

      Sorry, skrev fel. Hur förenklar man så långt som möjligt?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Här kan du använda att det går att faktorisera $x^2+4x+3 = (x+3)(x+1)$ samt logaritmlagarna.
        $log(x^2+4x+3)-log(x+1)=log(\frac{x^2+4x+3}{x+1}) = $
        $log(\frac{(x+3)(x+1)}{x+1}) = log(x+3)$

Carl Lindell

Hej jag ska förenka följande. $3^x + 3^{x+3} = 3^x * (1+3) = 3^x * (4)$
Vet inte riktigt hur det blir så, finns någon regel för detta?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Får inte riktigt likadant som dig då jag får
    $3^x + 3^\left(x+3\right) =$
    ${3}^{\mathrm{x}}+{3}^{\mathrm{x}}\cdot{3}^{3}=$
    $3^x+9·3^x =$
    $10·3^x$

    Men det är iallafall potensregeln $ a^ba^c=a^{b+c} $ som används där.

Yvonne Westergren

Hej! Jag fastnade på detta talet på mitt prov idag: lg4x + lg2x -4 = 0.
Jag tänkte att man gångrar och får lg8x^2 – 4 = 0 ;
plussar 4’an och får lg8x^2 = lg4
sen 2*x*lg8 = lg4; x= (lg4/lg8)^1/2; x= 0,82 –vilket blev fel.

Ska det vara x = lg4/2*lg8 ; x = 0,33 istället? Eller är jag ute och cyklar fullständigt?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, några tips på vägen kan vara
    $log(4x)+log(2x)-4=0$
    $log(4x)+log(2x)=4$
    Använd logaritmlag
    $log(8x^2)=4$
    $log(\sqrt{8}x)^2=4$
    Logaritmlag igen
    $2log(\sqrt{8}x)=4$
    $log(\sqrt{8}x)=2$
    Sedan avlogaritmera

Berkan991

hej! på övning 7 så tar ni vill 10^15 – 10^13= 10^3

jag hade bara lärt mig om att man ska plussa exponent med exponent. Är det också för att det är en ”= tecken” och därför man tar minus??

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det är för att man där delar
    $9,3^x = \frac{10^{15}}{10^{12}}$
    Har fyllt ut förklaringen på den uppgiften så att du skall kunna följa dessa steg bättre.

Berkan991

så detta som ni har gått igenom är tiologaritmerna??

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ja precis, jämför gärna med den naturliga logaritmen.

Berkan991

men kan de komma upp ex. log(1005) ler något?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Då blir det mycket svårt att känna till värdet för tiologaritmen då
    $log(1005)≈3,0021660617565076762…$
    När man skriver $log(a)$ så kan du tolka det som att du får det tal som man upphöjer 10 med för att få a.
    Så när du skriver $log(100)$ så får du det tal som du upphöjer 10 med för att få 100, dvs 2.

Berkan991

hej!

när man ska beräkna logaritmer använder man sig av räknaren. Går det att räkna utan miniräknare?

    Simon Rybrand (Moderator)

    I vissa fall kan det fungera, tex gäller att tiologaritmerna
    $ log(1) = 0 $
    $ log(10) = 1 $
    $ log(100) = 2 $
    $ log(1000) = 3 $
    $ … $
    I andra fall kan det vara mycket svårt och då behövs en räknare.

Anna Ljung Fd Bergstrand

Jag har en räknare Casio fx-82 solar och vet ej hur man får tredje eller fjärde roten ur..
Mvh Anna

Anna Ljung Fd Bergstrand

Hej! Hur löser jag 52=281×10^x?
x^1/3=3 och 3,5x^4=32

Tre olika tal är detta; tacksam för svar snarast.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Den första ekvationen är en exponentialekvation som du löser med logaritmer enligt:
    $52=281·10^x$
    dela med 281
    $0,185=10^x$
    logaritmera
    $lg(0,185)=lg(10)^x$
    logaritmlag
    $lg(0,185)=xlg(10)$
    När du räknar ut lg(10) får du 1
    $lg(0,185)=x$
    $x≈-0,73$
    Den andra uppgiften är en ekvation som du kan lösa genom att upphöja bägge leden med 3.
    I den tredje ekvationen får du först dela med 3,5 och sedan ta fjärderoten ur. Tänk på att du kan få både positiva och negativa rötter.

      Anna Ljung Fd Bergstrand

      Hej! Menar du då att om jag ska upphöja med 3 är att jag gångrar med 3? Vad händer sen? Fjärderoten ur; hur gör man det?
      Tack på förhand
      Anna

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej
        Nej inte multiplicera med 3 utan upphöja med 3, dvs att
        $ x^{1/3}=3 $
        Upphöj nu med 3
        $ (x^{1/3})^3=3^3 $
        Här används potenslagen $ (a^b)^c=a^{bc} $
        $ x^{3/3}=27 $
        $ x=27 $
        Känner inte till exakt hur fjärde roten ur tas på din räknare men det är samma sak att ta upphöjt till en fjärdedel. Dvs
        $ \sqrt[4]{a}=a^{1/4} $ så du kan lika väl använda dig av det.

frustas

Har du något bra tips på hur man löser ekvationer som ser ut såhär?
2^x⋅4^x=512?

Tack för bra hjälp

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, ja det har jag 🙂

    Du kan skriva om $ 4^x = 2^{2x} $ med hjälp av potensreglerna. Då får du ekvationen

    $ 2^x⋅2^{2x}=512 ⇔ $
    $ 2^{x+2x}=512 ⇔ $
    $ 2^{3x}=512 ⇔ $
    $ 8^{x}=512 $
    Härifrån kommer du vidare med att logaritmera alternativt genom att inse att $8^3 = 512$.

soderslatts

hej,
hur löser man detta,
5^x=2^x+3?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ett sätt kan vara att ställa upp det som
    $ 5^x – 2^x = 3 $
    Vi vet att 5 – 2 = 3 så om x = 1 så kommer vänsterledet att vara lika med högerledet.
    Eller menade du ekvationen $ 5^x = 2^{x+ 3} $?

nti_ma2

Hur hade du räknat ut:

3*2^x=15 ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    $ 3*2^x=15 $ (dividera med 3)
    $ 2^x=5 $ (logaritmera)
    $ lg2^x=lg5 $ (logaritmlag)
    $ xlg2=lg5 $ (dividera med lg2)
    $ x=\frac{lg5}{lg2} $

sebastian.hasselgren

Om jag har lg(2x)=3.1
Hur ska jag gå till vägar med ett sådant uttryck?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du kan exempelvis använda logaritmlagen
    $ lg(AB) = lgA + lgB $
    så att du får
    $ lg(2)+lgx = 3,1$
    $ 0,3 + lgx = 3,1$
    $lgx=2,8$
    $x = 10^{2,8} ≈ 630 $
    eller gå direkt på sista steget enligt
    $ lg(2x) = 3,1$
    $ 2x = 10^{3,1} $
    $ 2x = 1258 $
    $ x ≈ 630 $

      sebastian.hasselgren

      Många tack Simon!

komvux_boras

4 lg 4x=0, 24

    Simon Rybrand (Moderator)

    $ 4 lg 4x=0,24$ (/4)
    $ lg4x=0,06$
    $ 4x = 10^{0,06}$
    Sedan löser du ut x.

komvux_boras

tack för hjälpen men jag förstår inte riktigt var har du fått
2lgx?????!!!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du kan summera
    lgx + lgx = 2lgx

komvux_boras

Hej! Hur löser jag denna ekvation?
2^3+lgx-2^2+lgx=2

    Simon Rybrand (Moderator)

    Här kan det vara bra att förenkla vänsterledet först:
    $ 2^3+lgx-2^2+lgx=2 $
    $ 2lgx + 4 = 2 $
    Sedan löser du ut x:
    $ 2lgx + 4 = 2 $ (-4)
    $ 2lgx = -2 $ (/2)
    $ lgx = -1 $ (10^)
    $ x=\frac{1}{10} $

viktorrydberg

Varför flyttar man ner x ? Det står ju för att man ska höja upp log 3 tex inte att man ska multiplicera den??

Tacksam för svar!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, anledningen till att man ”flyttar ner” x är för att kunna lösa ut vad x är och då används just logaritmlagen
    $ lgA^x = x⋅lgA $
    vilket gör att x kan lösas ut.

folkuniv

Hej!
Det står att denna film bara riktar sig till ma 2c, men eleverna behöver lösa denna typ av ekvationer även i ma 2b.
/Klara, Folkuniversitetet

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan Klara, vi lägger in detta så även 2b står med anvisningarna, tack för din feedback!

carinaa

10^x=150
log(10)=log(150)
x*log(10)=log(150)
x=log(150)/log(10)

sen då?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Du har i princip nått fram till svaret och behöver endast beräkna log150/log10 för att få fram x. Jag skulle dock ha ställt upp det enligt:
    $10^x = 150 \Leftrightarrow $
    $log10^x = log150 \Leftrightarrow $
    $xlog10 = log150 \Leftrightarrow $
    $x = \frac{log150}{log10} = 2,176 $

Mia_A

lgx=lg5+lg15

Hur gör jag?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Mia, där är det lämpligt att använda logaritmlagen:
    $ lgA + lgB = lg(A \cdot B) $
    Se gärna denna video:
    /logaritmlagarna-och-logaritmekvationer

asa_meijer

Tack för hjälpen!!

asa_meijer

Hej! Hur löser jag denna exponentialekvation,
$ 15*3^{2x} = 225 $ eftersom det är upphöjt till 2x ??

    Simon Rybrand (Moderator)

    Den löser du egentligen på samma vis som när du bara har x. Skillnaden blir en division i slutet av lösningen.

    $ 15*3^{2x} = 225 $ (/15)
    $ 3^{2x} = 15 $ (logaritmera)
    $ lg 3^{2x} = lg 15 $ (logaritmlag)
    $ 2x lg 3 = lg 15 $ (/lg3)
    $ 2x = \frac{lg 15}{lg 3} $
    $ 2x = 2,465 $ (/2)
    $ x = 1,233 $

komvux_boras

Tack för bra sida och hjälp vid studier!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vad bra att det har hjälpt dig, fortsatt lycka till.

annab87

okej, tack nu stämmer det=)

annab87

Hej, hur ska man knappa in detta på räknaren? Det ser ut så här i mitt fönster på räknare: log(7/log(2 och sen blir svaret 1.366488. Knappar jag in fel? Parateserna går ej få bort!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Anna, jag vet inte riktigt vilken räknare du använder men det ser ut som om du behöver avsluta parantesen när du har klickat på log knappen. Så när du trycker tex log och får
    log(
    Här skriver du in din siffra och en avslutande parantes så att du får
    log(7)
    Hela uttrycket skriver du i som
    log(7)/log(2)


Endast Premium-användare kan kommentera.

Visa medaljer Visa timer Starta timer automatiskt Lämna in vid tidsslut Rätta en uppgift i taget Redigera övning
Tid kvar
00:00
  • E
    0/0
  • C
    0/0
  • A
    0/0
Totalpoäng
0/0

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (20)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Bestäm utan räknare $\lg10$lg10.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Bestäm utan räknare $\lg1000$lg1000 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Bestäm utan räknare  $\lg10^9$lg109 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Bestäm utan räknare  $\lg10^{-6}$lg106 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Bestäm utan räknare $\lg0,01$lg0,01

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen $10^x=100$10x=100 utan räknare.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen $10^x=0,001$10x=0,001  utan räknare.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen $\lg x=5$lgx=5 utan räknare.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M

    Linda säger att logaritmen för $2500$2500 måste vara större än två men mindre än tre. Har hon rätt eller fel?

    Lös utan räknare och motivera ditt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen $\lg x=-1$lgx=1 utan räknare.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen  $\lg x=1,5$lgx=1,5 

    Svara med ett närmevärde med tre värdesiffror.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen $5^x=3$5x=3

    Svara exakt. NpMa2b vt2015

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen  $10^x=600$10x=600 

    Svara med ett närmevärde med tre värdesiffror.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen $5^x=10$5x=10,

    Svara med ett närmevärde med två decimaler.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen $6^x=0,1$6x=0,1

    Svara med ett närmevärde med två decimaler.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 16. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M

    Lisa har gjort följande uträkning för att lösa ekvationen $2\cdot4^x=15$2·4x=15

    Steg 1      $4^x=7,5$4x=7,5 

    Steg 2     $x\cdot\lg4=\lg7,5$x·lg4=lg7,5 

    Steg 3      $x=\lg\left(\frac{7,5}{4}\right)$x=lg(7,54 ) 

    Steg 4      $x\approx0,273$x0,273 

    Finns det något fel och i så fall i vilket steg?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 17. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen $2\cdot3^x=17$2·3x=17

    Avrunda till två decimaler.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 18. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen $7\cdot2,5^x=49$7·2,5x=49 

    Avrunda till två decimaler.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 19. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M

    Befolkningen i en kuststad förväntas öka med  $1,3\text{ }\%$1,3 %  per år de kommande tjugo åren. Du vill räkna ut hur länge det dröjer till staden beräknas ha $100\text{ }000$100 000 invånare om man idag är  $87\text{ }500$87 500 personer som bor i staden.

    Du ställer därför upp följande ekvation där $x$x antal år som går från idag.

     $87\text{ }500\cdot1,013^x=100\text{ }000$87 500·1,013x=100 000 

    Hur lång tid tar det? 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 20. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen  $600\cdot0,8^x=25$600·0,8x=25 

    Svara med två decimaler

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (11)

  • 21. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Skriv talet sju som en potens med basen tio.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 22. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Beräkna  $10^{-x}$10x om  $\text{ }\lg x=0$ lgx=0 

    NpMa2b vt15

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 23. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R 1
    K
    M

    Bestäm utan räknare om HL är  $>,<$>,< eller $=$= än VL.

    a)  $10^{3,5}\text{ }$103,5       $\left[\text{ }?\text{ }\right]$[ ? ]    $1000$1000 

    b)  $10^{-1,5}$101,5    $\left[\text{ }?\text{ }\right]$[ ? ]     $0,1$0,1 

    c)  $10^{-0,5}$100,5     $\left[\text{ }?\text{ }\right]$[ ? ]    $-0,5$0,5 

    d)  $2\cdot10^{-3}$2·103   $\left[\text{ }?\text{ }\right]$[ ? ]     $0,002$0,002 

    Vilket tecken ska stå i rutorna?

    Motivera ditt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 24. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen $3^x\cdot3^{2x}=0,012$3x·32x=0,012 .

    Ange svaret med tre decimalers noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 25. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen $6-2\cdot4^{2x+1}=-12$62·42x+1=12

    Ange svaret med två decimalers noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 26. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen och svara med ett närmevärde med två decimaler

     $10^x+10^x+10^x=27$10x+10x+10x=27 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 27. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M

    Beräkna utan räknare

     $\lg\frac{1}{100}+\lg\sqrt{10}$lg1100 +lg10 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 28. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Lös ekvationen $4\text{ }\lg2x=3,6$4 lg2x=3,6 

    Ange svaret med två decimaler.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 29. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M

    Bestäm utan räknare