Kapiteltest - Derivata och Integraler MA5

Volymförändringen hos ett klot kan beskrivas med sambandet  $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$dVdt =dVdr ·drdt  

Ange vilket alternativ som beskriver  $\frac{dr}{dt}$drdt  .

Bestäm ett närmevärde utan räknare till $\sqrt{26}$√26 med hjälp av linjär approximation.

Ett område begränsas av  $y=3$y=3 ,  $y=\sqrt{x}$y=√x samt  $y$y-axeln. Beräkna den volym som bildas då detta område roteras runt  $x$x-axeln i intervallet  $0\le x\le6$0≤x≤6 .

Ange exakt svar.

Derivera  $y=\tan^2\left(3x\right)$y=tan²(3x) .

Kurvan till  $y=-x^2+5x-4$y=−x²+5x−4  roteras runt  $y$y-axeln. Beräkna den volym som genereras där  $y\ge0$y≥0 .

Ange exakt svar.

Bestäm  $\int x^2\cdot e^x\text{ }dx$∫x²·e^x dx  och förenkla så långt som möjligt.

En behållare, full med vätska, har formen av en kon där basytans diameter är lika stor som höjden. Konen är vänd så att spetsen är nedåt och töms på vätska med hastigheten $10$10 cm³/s.

Med vilken hastighet sjunker vätskenivån i behållaren när vätskeytans diameter är $5,0$5,0 cm?

Avrunda till två decimaler och svara med enheten cm/s.

Bestäm  $\int\frac{\ln x}{x}\text{ }dx$∫lnxx ‍ dx  och förenkla så långt som möjligt.

Kurvan till funktionen $y=$y= $\frac{1}{2x}$12x   roteras runt  $x$x -axeln i intervallet $x\ge1$x≥1 . Bestäm rotationsvolymen som bildas.

Ett rätblock har en kvadratisk bottenyta med sidan $2a$2a och höjden $b$b. En pyramid har en kvadratisk bottenyta med sidan $2x$2x och höjden $y$y. Rätblocket placeras inuti pyramiden. Bestäm pyramidens minsta möjliga volym och uttryck denna i $a$a och $b$b.