Inhomogena Differentialekvationer av första ordningen

Exempel 1

Lös ekvationen  $y'=-4y+8x-4$y'=−4y+8x−4 med villkoret  $y\left(0\right)=2$y(0)=2 

Lösning

Lösningen till den inhomogena ekvationen ges av $y=y_h+y_p$y=y_h+y_p 

Vi skriver om ekvationen genom att samla alla termer med $y$y och dess derivator i VL för att tydligare se den motsvarande homogena ekvationen och $f\left(x\right)$ƒ (x).

Vi får

 $y'=-4y+8x-4$y'=−4y+8x−4

$y'+4y=8x-4$y'+4y=8x−4 

vilket ger att den motsvarade homogena ekvationen är  $y'+4y=0$y'+4y=0 och  $f\left(x\right)=8x-4$ƒ (x)=8x−4 

Den homogena lösningen $y_h$y_h till den motsvarande homogena ekvationen $y'+4y=0$y'+4y=0  är   $y_h=Ce^{-4x}$y_h=Ce^−4x 

Antag att partikulärlösningen är  $y_p=ax+b$y_p=ax+b eftersom  $f\left(x\right)$ƒ (x) är linjär.
Då är  $y'_p=a$y'_p=a  och insättning av dessa i differentialekvationen ger

 $y'+4y=8x-4$y'+4y=8x−4 
 $a+4(ax+b)=8x-4$a+4(ax+b)=8x−4 
 $a+4ax+4b=8x-4$a+4ax+4b=8x−4 

Vi skriver om VL för att samla ihop konstanttermerna och variabeltermerna för att lättare bestämma värdet på $a$a och  $b$b. 

 $4ax+a+4b=8x-4$4ax+a+4b=8x−4 

För att få likhet mellan VL och HL måste koefficienterna framför $x$x vara lika i VL och HL och även konstanterna vilket ger oss följande ekvationssystem 

$\begin{cases} 4a = 8 \,\,\,(1) \\ a + 4b = -4\,\,\,(2) \end{cases} $

Bestämmer $a$a i (1)

$4a=8$4a=8 
$a=2$a=2 

Bestämmer $b$b i (2) då  $a=2$a=2 

$2+4b=-4$2+4b=−4 
$4b=-6$4b=−6 
$b=-1,5$b=−1,5  

Vi får att

$\begin{cases} a = 2\\ b = -1,5 \end{cases}$

Alltså är  $y_p=2x-1,5$y_p=2x−1,5 

Den fullständiga lösningen  $y=y_h+y_p$y=y_h+y_p är då  $y=Ce^{-4x}+2x-1,5$y=Ce^−4x+2x−1,5 

Till sist bestämmer vi $C$C med hjälp av villkoret  $y\left(0\right)=2$y(0)=2 

 $2=Ce^{-4\cdot0}+2\cdot0-1,5$2=Ce^−4·0+2·0−1,5 
 $2=C\cdot1+0-1,5$2=C·1+0−1,5
 $C=3,5$C=3,5 

vilket ger oss lösningen  $y=3,5e^{-4x}+2x-1,5$y=3,5e^−4x+2x−1,5