Geometrisk talföljd - Ma 5

En talföljd är en följd av tal, ändligt eller oändligt många. Ofta upprepar talen sig enligt ett mönster som är olika för olika talföljder. Varje tal, som vi också kallar för ett element, har en bestämd plats i talföljden. För att kunna urskilja på vilken plats talet står ger vi varje tal ett index, en liten siffra som är nedsänkt efter $a$a :et. Det första talet i talföljden betecknas alltså $a_1$a₁ och det andra $a_2$a₂, tredje $a_3$a₃ osv. Vi har valt att använda bokstaven $n$n som index som en allmän beteckning för ett elements placering i talföljden. Vi talar om det  $n$n :te elementet eller talet och menar då det tal som står på plats $n$n, vilket kan motsvara vilken plats som helst i talföljden.

Det finns flera olika typer av talföljder varav den geometriska talföljden är en. I den här kursen är det just denna talföljd vi lär oss. Två andra ganska kända talföljder är den aritmetiska, där differensen mellan två på varandra följande tal är konstant. Den andra mest välkända är kanske Fibonacciföljden, där värdet på ett element motsvarar summan av de två föregående elementen.

För den geometriska talföljden gäller att kvoten $k$k, mellan ett element och det föregående elementet är konstant för hela talföljden. Detta kan vi använda både för att kontrollera om en talföljd är geometrisk eller om vi ska bestämma kvoten eller något ytterligare element i talföljden.

Den geometriska talföljden har antagligen blivit så känd eftersom den har många användningsområden. Det kanske mest kända användningsområdet är det som inom ekonomin kallas för ”ränta på ränta”.

För att beräkna vad vi kallar för ränta på ränta använder vi matematiskt en geometrisk talföljd. I de genomgångar vi har på geometriska talföljder har vi flera exempel på hur vi använder den geometriska talföljden för att räkna ut just sådana ekonomiska förlopp.

I en geometrisk talföljd får vi hela tiden nästa tal genom att multiplicera det nuvarande talet med det som kallas för kvoten k. Om vi till exempel har talföljden $2,\,6,\,18,\,54, ...$ så är den så kallade kvoten $3$3, för att nästa tal ges genom att multiplicera föregående tal med talet $3$3.

• Exempel på aritmetisk talföljd, geometrisk talföljd och Fibonaccis talföljd.
• Ange en formel för det n:te talet i talföljden $ 1, \,3, \,9, \,27, \,81, \,243, \,... $