Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 5
/ Talteori
Aritmetikens fundamentalsats och primtalsfaktorisering
Innehåll
Aritmetikens fundamentalsats
Aritmetikens fundamentalsats säger att
Alla heltal $n > 1$ kan på ett entydigt sätt skrivas som en produkt av primtal.
Det här innebär att det finns exakt ett sätt att faktorisera talet med hjälp av primtal, primtalsfaktorisera. Ordningen på faktorerna spelar ingen roll. Det ses ändå som samma, den enda möjliga, primtalsfaktoriseringen.
Definitionen av Primtal
De positiva heltalen kan delas upp i primtal och sammansatta tal. De sammansatta talen är produkter av primtal i olika kombinationer och kan därför primtalsfaktoriseras. I kursen matematik 1 introducerade vi primtal och sammansatta tal. Gå gärna tillbaka till den lektionen om du vill repetera grunderna.
Primtal
Ett heltal $p$ är ett primtal om $p>1$ och endast är delbart med $1$ eller $p$.
Med andra ord, ett primtal är ett heltal större än ett som endast är delbart med talet ett och sig självt.
Det finns som sagt oändligt många primtal. Här är primtalen mellan $1$ och $100$.
$ 2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,$ $\,19,\,23,\,29,\,31,\,37,\,$ $41,\,43,\,47,\,53,\,59,\,61,\,$ $67,\,71,\,73,\,79,\,$ $83,\,89,\,97$
Definitionen av Sammansatta tal
Ett positivt heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Talet är sammansatt av multiplikation mellan primtal. På grund av detta kan vi dela upp alla sammansatta tal i faktorer. Vi säger att vi primtalsfaktoriserar.
Sammansatta tal
Ett sammansatt tal är ett heltal större än $1$1, som förutom sig självt och talet $1$, har ytterligare en delare.
Delare och delbarhet
Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten vi får när vi dividerar två heltal, också är ett heltal. Som vi tidigare nämnde kan alla heltal delas upp i primtal och sammansatta tal. De har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet $1$.
Heltalet $a$a är delbart med ett heltal $b\ne0$b≠0 om kvoten $\frac{a}{b}$ab är ett heltal.
Vi kan då säga att "$b$ delar $a$" eller att "$b$ är en delare till $a$", vilket skrivs som $ b \, | \, a $.
Exempelvis delar talet $2$ talet $28$ då $\frac{28}{2}=$282 =$14$14 , eftersom kvoten är ett heltal och vi säger att $ 2 \, | \, 28 $, som vi uttalar som "$2$ delar $28$" eller "$2$ är en delare till $28$".
Delaren som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. En äkta delare $d$d, definieras som delbart med något heltal, utöver talen $\pm1$±1 och $\pm d$±d , alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken.
Delbarhet för primtal och sammansatta tal.
Alla primtal är alltid och endast delbara med sig själva och talet $1$.
Alla sammansatta tal är alltid delbara med sig själva och talet $1$, samt talets alla primtalsfaktorer och alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera primtalsfaktorerna.
Om vi exempelvis har talet $6$6 så är detta tal delbart med $6$6 och $1$1, samt med talen $2$2 och $3$3 . Detta beror på att talet $6$ är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna $6=2\cdot3$6=2·3 och är därmed delbart med sig själv och talet $1$1, samt talets primtalsfaktorer.
Delbarhetsregler
När vi ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om vi har Delbarhetsreglerna klart för sig.
Delbarhetsregler
Talet är delbart med...
$2$ då talet är jämnt.
$3$ då talets siffersumma är delbar med $3$.
$4$ då det tal som bildas av de två sista siffrorna är delbart med $4$.
$5$ då talets slutsiffra är $0$ eller $5$.
$6$ då villkoren för delbarhet med $2$ och $3$ är uppfyllda.
$8$ då det tal som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med $8$.
$9$ då talets siffersumma är delbar med $9$.
$10$ då talets slutsiffra är $0$.
$12$ då villkoren för delbarhet med $3$ och $4$ är uppfyllda.
Exempel 1
Primtalsfaktorisera talet $100$.
Lösning:
Vi delar upp talet steg för steg till vi endast har faktorer som är primtal.
$100 = 2⋅50$
$100 =2⋅2⋅25$
$100 = 2⋅2⋅5⋅5$
Faktoriseringen $2⋅5⋅2⋅5$ är densamma, bara med faktorerna i annan ordning.
Ibland kan det vara svårare att se direkt hur ett tal kan primtalsfaktoriseras, då kan vi ta ett faktorträd till hjälp för detta. Då delar vi steg för steg upp talet i faktorer tills det endast finns primtal kvar.
Exempel 2
Primtalsfaktorisera talet $100$100 med hjälp av ett faktorträd.
Lösning
I bilden nedan ges ett exempel på hur just talet $100$100 kan primtalsfaktoriseras som $2⋅2⋅5⋅5$ i ett faktorträd.
Vi tänker; vilket tal ger produkten $100$100 om vi multiplicerar med $2$2? Hittar vi ett heltalssvar skriver vi talen i varsin ruta. I detta exempel är svaret $50$50.
Om vi inte hittar något heltal som ger produkten$100$100, försöker vi med primtalet $3$3 därefter $5,\text{ }7,\text{ }11...$5, 7, 11... tills vi hittar ett.
Om svaret inte är ett primtal tänker vi; vilket tal ger produkten $50$50 om vi multiplicerar med $2$2? Hittar vi ett heltalssvar skriver vi talen i varsin ruta. I detta exempel är svaret $25$25.
Om vi inte hittar något heltal som ger produkten vi sökte, försöker vi med primtalet $3$3 därefter $5,\text{ }7,\text{ }11...$5, 7, 11... tills vi hittar ett.
Om svaret inte är ett primtal tänker vi; vilket tal ger produkten $25$25 om vi multiplicerar med $2$2? Hittar vi ett heltalssvar skriver vi talen i varsin ruta. I detta exempel hittade vi inget, utan försöker med talet $3$3 först , utan resultat. Sedan $5$5 med svaret $5$5.
När vi till sist endast har primtal kvar i de "yttersta" rutorna har vi hittat våra primtalsfaktorer. Dessa skriver vi nu i storleksordning som en produkt.
Exempel i videon
- Primtalsfaktorisera $22$
- Primtalfaktoriser $28$
- Använd ett faktorträd och primtalsfaktorisera talet $460$.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Vilket av följande tal är ett primtal: $100$100, $101$101, $120$120
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 Primtal och primtalsfaktorisering TalteoriRättar...2. Premium
Primtalsfaktorisera talet $24$24.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 Primtal och primtalsfaktorisering TalteoriRättar...3. Premium
Hur många primtal $p$p finns det där $20<$20< $p<50$p<50
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 Primtal och primtalsfaktorisering TalteoriRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Primtalsfaktorisera talet $600$600 utan räknare.
Ange faktorerna i storleksordning med multiplikation (* eller $\cdot$· ) mellan varje faktor.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 Primtal och primtalsfaktorer Primtal och primtalsfaktorisering TalteoriRättar...c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Primtalsfaktorisera talet $4680$4680 utan räknare.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 Primtal och primtalsfaktorer Primtal och primtalsfaktorisering TalteoriRättar...6. Premium
Primtalsfaktorisera talet $-924$−924.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 Primtal och primtalsfaktorisering TalteoriRättar...7. Premium
Vilket eller vilka av följande påståenden stämmer?
A. $a-1$a−1 är alltid ett udda tal om $a$a är ett heltal.
B. $p-1$p−1 kan inte vara ett primtal om $p$p är ett primtal.
C. $2n+1$2n+1 är alltid ett udda tal om $n$n är ett heltal.Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 Primtal och primtalsfaktorisering TalteoriRättar...a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Vi har fått i uppgift att primtalsfaktorisera talet $143$143. Vilket påstående är korrekt och varför?
Vi behöver undersöka primfaktorer $p$p, där...
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Matematik 5 Primtal och primtalsfaktorisering TalteoriRättar...
-
-
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Constantin Barsom
Varför är inte detta svar på fråga 8 rätt p≤13 då 143 kan primtalsfakotriseras till 11*13
Sara Petrén Olauson
Hej! Det stämmer att $143$ kan primtalsfaktoriseras till $11\cdot 13$, men om du undersöker primfaktorerna upp till $p=11$ kommer du att hitta faktoriseringen $143=11\cdot 13$, och du behöver därför inte fortsätta längre.
Simeon Dahlin
Hej, Fråga fem ger felsvar när jag ger rätt svar enligt instruktionen.
Adam Lottkärr
Fråga 5 är felformulerad ang vilket tecken man ska använda sig av
Endast Premium-användare kan kommentera.