Linjär approximation

Exempel 1a

Bestäm en linjär approximation till $ f(x) = \frac{8}{x} $ kring $ x = 2 $. Bestäm sedan ett närmevärde till $ f(2,01) $ med hjälp av approximationen och beräkna felet som uppstår med en räknare.

Lösning

En tangent $ L(x) $ i punkten $\left(a,\text{ }f\left(a\right)\right)$(a, ƒ (a)) till en funktion $f(x)$ kan allmänt skrivas som

$L(x) = f(a) + f'(a)(x-a) $

Vi börjar med att bestämma punkten.

$ f(2) = \frac{8}{2} = 4 $  ger tangeringspunkten $\left(2,4\right)$(2,4) 

Vi tar nu fram derivatan till funktionen för att kunna sätta in den i tangentens ekvation.

$ f'(x) = -\frac{8}{x^2} $

Sedan beräknar vi derivatans värde för  $x=2$x=2 vilket är tangeringspunktens $x$x -värde.

$ f'(2) =-\frac{8}{4} = -2  $

Vi bestämmer nu vår tangents ekvation med värdena ovan och får att

$ L(x) = 4 + (-2)(x-2) = 4 - 2(x-2) $

Vi beräknar nu närmevärdet till $ f(2,01)$ genom att sätta in  $x=2,01$x=2,01 i tangentens ekvation.

$ f(2,01)= 4-2(2,01-2)= $ $ 4-2⋅0,01=4-0,02=3,98 $

Om vi beräknar $ f(2,01) $ med räknare ges svaret $ f(2,01)≈3,9800995 $

Felet blir därmed differensen mellan dessa värden, alltså ungefärligt $3,9800995-3,98 = 0,0000995$

Ett väldigt litet fel, vilket visar att linjär approximation kan vara en bra metod för att bestämma närmevärdet till vissa funktioner.

Exempel 1b

Bestäm en linjär approximation till $ f(x) = \frac{8}{x} $ kring $ x = 2 $. Bestäm sedan ett närmevärde till $ f(2,01) $ med hjälp av approximationen och beräkna felet som uppstår med en räknare.

Lösning

För att GeoGebra ska ta fram en tangents ekvation behöver du en funktion och en punkt på funktionen. Vi börjar med att skapa dessa.

Skriv in funktionen  $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{8}{x}$8x  i inmatningsfältet och tryck sedan enter. Grafen ritas upp.

Sedan skriver vi $f\left(2\right)$ƒ (2) i nästa inmatningsfält för att beräkna $y$y -koordinaten tillhörande  $x=2$x=2 och trycker enter för att sedan skriva in punkten $\left(2,\text{ }4\right)$(2, 4) i ännu ett nytt inmatningsfält. Självklart kan du beräkna punktens koordinater för hand i stället om du vill. Men alla funktionsvärden är inte lika lätta att beräkna.

GeoGebra ritar så här långt grafen till funktionen  $f$ƒ  och punkten $\left(2,\text{ }4\right)$(2, 4) som den här kallar $A$A. 

Nu klickar vi på ikonen och väljer Tangent i menyn som kommer upp.

Du skapar sedan en tangent i punkten$\left(2,\text{ }4\right)$(2, 4) genom att klicka på först punkten och sedan funktionen, eller tvärtom.

Då ritar GeoGebra ut tangenten och anger dess ekvation. Genom att högerklicka i inmatningsfältet kan du välja på vilken form du vill ha tangentens ekvation.

Genom att sedan be GeoGebra att beräkna funktionsvärdet för tangentens ekvation då  $x=2,01$x=2,01 får vi den linjära approximationen. Sist beräknar vi differensen mellan det faktiska värdet och den linjära approximationen. Om du får värdet noll är det för att du har för få värdesiffror. Gå då in under inställningar och ändra till fler.