Name: Lär dig Kongruensräkning - Talteori (Ma 5) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 4.23 (13 reviews)

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Regler vid kongruensräkning

Det finns framförallt fyra stycken räkneregler som vi kan använda när vi jobbar med kongruenser.

Om $a_1 ≡ b_1\, (\text{mod}\, c)$ och $a_2 ≡ b_2 \,(\text{mod}\, c)$ gäller att

1. $a_1 + a_2 ≡ b_1 + b_2 \,(\text{mod}\, c)$
2. $a_1\cdot a_2 ≡ b_1 \cdot b_2\, (\text{mod}\, c)$

Om $a≡ b\, (\text{mod}\, c)$ gäller att

3. $m\cdot a ≡ m\cdot b\, (\text{mod}\, c)$ för alla heltal $m$ .
4. $a^n ≡ b^n\, (\text{mod}\, c)$ för alla heltal $n\ge 0$ .

Användning av reglerna för kongruenser

Genom att använda räknereglerna för kongruens kan man underlätta beräkningen av stora tal.

Exempel 1

Förenkla $17+26\text{ }(\text{mod}\text{ }4)$ 17+26 (mod 4)

Lösning

Enligt första kongruensregeln gäller att

$17+26\text{ }≡\text{ }1+2\text{ }≡\text{ }3\text{ }(\text{mod}4)$ 17+26 ≡ 1+2 ≡ 3 (mod4)

eftersom att $17\text{ }≡\text{ }1\text{ }(\text{mod}4)$ 17 ≡ 1 (mod4)

och $26\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)$ 26 ≡ 2 (mod4)

Exempel 2

Förenkla $17\cdot26\text{ }(\text{mod}\text{ }4)$ 17·26 (mod 4)

Lösning

Enligt andra kongruensregeln gäller att

$17\cdot26\text{ }≡\text{ }1\cdot2\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)$ 17·26 ≡ 1·2 ≡ 2 (mod4)

eftersom att $17\text{ }≡\text{ }1\text{ }(\text{mod}4)$ 17 ≡ 1 (mod4)

och $26\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)$ 26 ≡ 2 (mod4)

Exempel 3

Förenkla $26^3\text{ }(\text{mod}\text{ }4)$ 26³ (mod 4)

Lösning

Enligt fjärde kongruensregeln gäller att

$26^3≡\text{ }2^3\text{ }≡\text{ }8\text{ }≡\text{ }0\text{ }(\text{mod}4)$ 26³≡ 2³ ≡ 8 ≡ 0 (mod4)

eftersom $26\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)$ 26 ≡ 2 (mod4) och $a^n ≡ b^n\, (\text{mod}\, c)$ för alla heltal $n\ge 0$ .

Resten noll, vilket vi fick i exempel 3, innebär för övrigt att $26^3$ 26³ är delbart med $4$ 4. Alla beräkningar i modulo $c$ c som ger resten $0$ 0 innebär att talet är delbart med $c$ c. Divisionen ger ju en heltalskvot med resten noll!

Exempel i videon

Bevis för att $a + c ≡ b + d \,(mod \,n)$ då $a ≡ b\, (mod\, n)$ och $c ≡ d\, (mod\, n)$ .
$a ≡ 4\, (mod\, 8 )$ och $b ≡ 5\, (mod\, 8)$ .
Bestäm
a) $a + b$
b) $ab$
c) $a^3$
Idag är det Torsdag. Bestäm vilken veckodag det är om 900 dagar.

Nästa lektion: Induktionsbevis

Kommentarer

Ali Ali

2024-11-13

Kongruens är så underbart! Tack för all hjälp bästa eddler!

med vänliga hälsningar, mattemästaren (2/3)

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

2024-11-14

Härligt att höra!

You go!

Tadeusz Adamaszek

2024-11-13

Detta är jättesvårt. Jag gillar inte det alls. Jag älskar eddler.

Mvh Mattemästaren 1/3

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

2024-11-14

Kämpa på!

Linus Strid

2022-03-10

Hej,
I exempel 1 & 2 undrar jag varför ni skriver ”då 17/6 = 6 rest 1” när man ska förenkla ett uttryck med (mod4)? Samma med 26/6. Dessutom undrar jag hur 17/6 = 6 rest 1? Jag får nämligen det till 2 rest 5.

Simon Rybrand (Moderator)

2022-06-20

Vi korrigerar texten där.

Benjamin Kwingwa Lidman

2017-04-22

Hej!
Jag undrar om a^3 = 4^3 är rätt och om det inte ska vara ska vara a^3 = b^3(5^3) eftersom att räkneregeln säger a^t ”är kongruent med” b^t så därmed är a^3 kongruent med 5^3

Simon Rybrand (Moderator)

2017-04-23

Hej
Vilken uppgift syftar du på här?

Maria Falah

2015-05-06

Hej!
jag förstår inte varför?
30≡2 (mod 7) är kongruenta.
eller är det: att 30/7= 4 rest 2
och 2/7= 0 rest 2?
har jag förstått rätt?

Simon Rybrand (Moderator)

2015-05-06

Hej
Ett sätt att förstå det är att om du ”hoppar” med steglängden 7 från 30 och försöker komma så nära 0 som möjligt så hamnar du på 2.
Dvs $30-4⋅7 = 2$ (4 hopp med steglängden 7).
Vi kan definiera kongruens som att två heltal a och b är kongruenta modulo n om de har samma rest vid division med heltalet n > 1. Det här säger samma sak som du nämner i ditt exempel, du har alltså förstått rätt 🙂

Mariam Hummadi

2015-04-16

Hej hur beräknar man resten av, 3^100 mod 7 ?, och 15^100 mod 5?

Simon Rybrand (Moderator)

2015-04-17

Hej
$15^{100} \bmod 5 ≡ 0^{100} \bmod 5$ så där är resten 0. Tänk på att du kan räkna kongruensräkning för potenser.
Ofta så använder man potensregeln $(a^b)^c = a^{bc}$ när man söker efter sätt att skriva om uttryck med hjälp av reglerna för kongruensräkning.
Ett sätt att skriva om det första uttrycket kan vara enligt följande:
$3^{100} \bmod 7 = \left(3^2\right)^{50} \bmod 7 =$
$9^{50} \bmod 7 ≡ 2^{50} \bmod 7 =$
$(2^5)^{10} \bmod 7 = 32^{10} \bmod 7 ≡$
$4^{10} \bmod 7 = (4^2)^5 \bmod 7$
$16^{5} \bmod 7 ≡ (2)^5 \bmod 7 =$
$32 \bmod 7 ≡ 4 \bmod 7$

Det blev något långt här ovan, möjligtvis finns det sätt att göra det mer effektivt för att se att resten är 4.

Mariam Hummadi

2015-03-25

20 mod(8), hur fick vi 4 mod(8)?

Simon Rybrand (Moderator)

2015-03-25

Hej
Vi får det för att 20 ≡ 4 (mod 8)
Du kan tänka att
20-2⋅8 = 4.

Matematik 5

Välj kurs

KURSER /

Matematik 5

/ Talteori

Kongruensräkning

Författare:Simon Rybrand

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Regler vid kongruensräkning

Användning av reglerna för kongruenser

Exempel 1

Lösning

Exempel 2

Lösning

Exempel 3

Lösning

Exempel i videon

Kommentarer

Ali Ali

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

Tadeusz Adamaszek

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

Linus Strid

Simon Rybrand (Moderator)

Benjamin Kwingwa Lidman

Simon Rybrand (Moderator)

Maria Falah

Simon Rybrand (Moderator)

Mariam Hummadi

Simon Rybrand (Moderator)

Mariam Hummadi

Simon Rybrand (Moderator)

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

LADDAR DOKUMENT...

LADDAR GEOGEBRA...