Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 5
/ Talteori
Kongruensräkning
Innehåll
Regler vid kongruensräkning
Det finns framförallt fyra stycken räkneregler som vi kan använda när vi jobbar med kongruenser.
Om $a_1 ≡ b_1\, (\text{mod}\, c)$ och $a_2 ≡ b_2 \,(\text{mod}\, c)$ gäller att
1. $a_1 + a_2 ≡ b_1 + b_2 \,(\text{mod}\, c)$
2. $a_1\cdot a_2 ≡ b_1 \cdot b_2\, (\text{mod}\, c)$
Om $a≡ b\, (\text{mod}\, c)$ gäller att
3. $m\cdot a ≡ m\cdot b\, (\text{mod}\, c)$ för alla heltal $m$.
4. $a^n ≡ b^n\, (\text{mod}\, c)$ för alla heltal $n\ge 0$.
Användning av reglerna för kongruenser
Genom att använda räknereglerna för kongruens kan man underlätta beräkningen av stora tal.
Exempel 1
Förenkla $17+26\text{ }(\text{mod}\text{ }4)$17+26 (mod 4)
Lösning
Enligt första kongruensregeln gäller att
$17+26\text{ }≡\text{ }1+2\text{ }≡\text{ }3\text{ }(\text{mod}4)$17+26 ≡ 1+2 ≡ 3 (mod4)
eftersom att $17\text{ }≡\text{ }1\text{ }(\text{mod}4)$17 ≡ 1 (mod4)
och $26\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)$26 ≡ 2 (mod4)
Exempel 2
Förenkla $17\cdot26\text{ }(\text{mod}\text{ }4)$17·26 (mod 4)
Lösning
Enligt andra kongruensregeln gäller att
$17\cdot26\text{ }≡\text{ }1\cdot2\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)$17·26 ≡ 1·2 ≡ 2 (mod4)
eftersom att $17\text{ }≡\text{ }1\text{ }(\text{mod}4)$17 ≡ 1 (mod4)
och $26\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)$26 ≡ 2 (mod4)
Exempel 3
Förenkla $26^3\text{ }(\text{mod}\text{ }4)$263 (mod 4)
Lösning
Enligt fjärde kongruensregeln gäller att
$26^3≡\text{ }2^3\text{ }≡\text{ }8\text{ }≡\text{ }0\text{ }(\text{mod}4)$263≡ 23 ≡ 8 ≡ 0 (mod4)
eftersom $26\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)$26 ≡ 2 (mod4) och $a^n ≡ b^n\, (\text{mod}\, c)$ för alla heltal $n\ge 0$.
Resten noll, vilket vi fick i exempel 3, innebär för övrigt att $26^3$263 är delbart med $4$4. Alla beräkningar i modulo $c$c som ger resten $0$0 innebär att talet är delbart med $c$c. Divisionen ger ju en heltalskvot med resten noll!
Exempel i videon
- Bevis för att $a + c ≡ b + d \,(mod \,n)$ då $a ≡ b\, (mod\, n)$ och $c ≡ d\, (mod\, n)$.
- $a ≡ 4\, (mod\, 8 )$ och $b ≡ 5\, (mod\, 8)$.
Bestäm
a) $a + b$
b) $ab$
c) $a^3$ - Idag är det Torsdag. Bestäm vilken veckodag det är om 900 dagar.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
$t ≡ 5$ (mod $10$) och $q ≡ 7$ (mod $10$). Bestäm $t + q$.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar... -
2. Premium
Bestäm det minsta positiva heltalet $q$ så att $ 11^5 ≡ q$ (mod $5$).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar...3. Premium
Ange alla lösningar i intervallet $4\le x\le10$4≤x≤10 då $x$x är ett positivt heltal och $19x≡21$19x≡21 (mod $4$4).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Om klockan är $14.00$ nu, vad är klockan om $5^{400}$ timmar?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar...c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Vilken rest fås då $26^{27}$ divideras med $8$?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar...6. Premium
Med hjälp av en av reglerna för kongruensräkning kan den sista siffran i talet $ 222^{15} $ bestämmas. Vilken är denna siffra?
Tips: Räkna modulo $10$.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar...7. Premium
$x ≡ 5$ (mod $6$) och $y ≡ 2$ (mod $6$). Bestäm $x^y$ (mod $6$).
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar...a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Vilket eller vilka av följande alternativ är korrekta?
A) $2^{5n}+1$ är delbart med $2$ för alla udda heltal $n≥1$.
B) $2^{5n}+1$ är delbart med $3$ för alla udda heltal $n≥1$.
C) $2^{5n}+1$ är delbart med $4$ för alla udda heltal $n≥1$.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar... -
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Linus Strid
Hej,
I exempel 1 & 2 undrar jag varför ni skriver ”då 17/6 = 6 rest 1” när man ska förenkla ett uttryck med (mod4)? Samma med 26/6. Dessutom undrar jag hur 17/6 = 6 rest 1? Jag får nämligen det till 2 rest 5.
Simon Rybrand (Moderator)
Vi korrigerar texten där.
Benjamin Kwingwa Lidman
Hej!
Jag undrar om a^3 = 4^3 är rätt och om det inte ska vara ska vara a^3 = b^3(5^3) eftersom att räkneregeln säger a^t ”är kongruent med” b^t så därmed är a^3 kongruent med 5^3
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Vilken uppgift syftar du på här?
Maria Falah
Hej!
jag förstår inte varför?
30≡2 (mod 7) är kongruenta.
eller är det: att 30/7= 4 rest 2
och 2/7= 0 rest 2?
har jag förstått rätt?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ett sätt att förstå det är att om du ”hoppar” med steglängden 7 från 30 och försöker komma så nära 0 som möjligt så hamnar du på 2.
Dvs $ 30-4⋅7 = 2 $ (4 hopp med steglängden 7).
Vi kan definiera kongruens som att två heltal a och b är kongruenta modulo n om de har samma rest vid division med heltalet n > 1. Det här säger samma sak som du nämner i ditt exempel, du har alltså förstått rätt 🙂
Mariam Hummadi
Hej hur beräknar man resten av, 3^100 mod 7 ?, och 15^100 mod 5?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
$ 15^{100} \bmod 5 ≡ 0^{100} \bmod 5 $ så där är resten 0. Tänk på att du kan räkna kongruensräkning för potenser.
Ofta så använder man potensregeln $ (a^b)^c = a^{bc} $ när man söker efter sätt att skriva om uttryck med hjälp av reglerna för kongruensräkning.
Ett sätt att skriva om det första uttrycket kan vara enligt följande:
$3^{100} \bmod 7 = \left(3^2\right)^{50} \bmod 7 =$
$9^{50} \bmod 7 ≡ 2^{50} \bmod 7 =$
$(2^5)^{10} \bmod 7 = 32^{10} \bmod 7 ≡$
$4^{10} \bmod 7 = (4^2)^5 \bmod 7$
$16^{5} \bmod 7 ≡ (2)^5 \bmod 7 =$
$32 \bmod 7 ≡ 4 \bmod 7$
Det blev något långt här ovan, möjligtvis finns det sätt att göra det mer effektivt för att se att resten är 4.
Mariam Hummadi
20 mod(8), hur fick vi 4 mod(8)?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Vi får det för att 20 ≡ 4 (mod 8)
Du kan tänka att
20-2⋅8 = 4.
Endast Premium-användare kan kommentera.