Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 5
/ Talteori
Kongruensräkning
Innehåll
Regler vid kongruensräkning
Det finns framförallt fyra stycken räkneregler som vi kan använda när vi jobbar med kongruenser.
Om $a_1 ≡ b_1\, (\text{mod}\, c)$ och $a_2 ≡ b_2 \,(\text{mod}\, c)$ gäller att
1. $a_1 + a_2 ≡ b_1 + b_2 \,(\text{mod}\, c)$
2. $a_1\cdot a_2 ≡ b_1 \cdot b_2\, (\text{mod}\, c)$
Om $a≡ b\, (\text{mod}\, c)$ gäller att
3. $m\cdot a ≡ m\cdot b\, (\text{mod}\, c)$ för alla heltal $m$.
4. $a^n ≡ b^n\, (\text{mod}\, c)$ för alla heltal $n\ge 0$.
Användning av reglerna för kongruenser
Genom att använda räknereglerna för kongruens kan man underlätta beräkningen av stora tal.
Exempel 1
Förenkla $17+26\text{ }(\text{mod}\text{ }4)$17+26 (mod 4)
Lösning
Enligt första kongruensregeln gäller att
$17+26\text{ }≡\text{ }1+2\text{ }≡\text{ }3\text{ }(\text{mod}4)$17+26 ≡ 1+2 ≡ 3 (mod4)
eftersom att $17\text{ }≡\text{ }1\text{ }(\text{mod}4)$17 ≡ 1 (mod4)
och $26\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)$26 ≡ 2 (mod4)
Exempel 2
Förenkla $17\cdot26\text{ }(\text{mod}\text{ }4)$17·26 (mod 4)
Lösning
Enligt andra kongruensregeln gäller att
$17\cdot26\text{ }≡\text{ }1\cdot2\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)$17·26 ≡ 1·2 ≡ 2 (mod4)
eftersom att $17\text{ }≡\text{ }1\text{ }(\text{mod}4)$17 ≡ 1 (mod4)
och $26\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)$26 ≡ 2 (mod4)
Exempel 3
Förenkla $26^3\text{ }(\text{mod}\text{ }4)$263 (mod 4)
Lösning
Enligt fjärde kongruensregeln gäller att
$26^3≡\text{ }2^3\text{ }≡\text{ }8\text{ }≡\text{ }0\text{ }(\text{mod}4)$263≡ 23 ≡ 8 ≡ 0 (mod4)
eftersom $26\text{ }≡\text{ }2\text{ }(\text{mod}4)$26 ≡ 2 (mod4) och $a^n ≡ b^n\, (\text{mod}\, c)$ för alla heltal $n\ge 0$.
Resten noll, vilket vi fick i exempel 3, innebär för övrigt att $26^3$263 är delbart med $4$4. Alla beräkningar i modulo $c$c som ger resten $0$0 innebär att talet är delbart med $c$c. Divisionen ger ju en heltalskvot med resten noll!
Exempel i videon
- Bevis för att $a + c ≡ b + d \,(mod \,n)$ då $a ≡ b\, (mod\, n)$ och $c ≡ d\, (mod\, n)$.
- $a ≡ 4\, (mod\, 8 )$ och $b ≡ 5\, (mod\, 8)$.
Bestäm
a) $a + b$
b) $ab$
c) $a^3$ - Idag är det Torsdag. Bestäm vilken veckodag det är om 900 dagar.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
$t ≡ 5$ (mod $10$) och $q ≡ 7$ (mod $10$). Bestäm $t + q$.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar... -
2. Premium
Bestäm det minsta positiva heltalet $q$ så att $ 11^5 ≡ q$ (mod $5$).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar... -
-
3. Premium
Ange alla lösningar i intervallet $4\le x\le10$4≤x≤10 då $x$x är ett positivt heltal och $19x≡21$19x≡21 (mod $4$4).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar... -
-
4. Premium
Om klockan är $14.00$ nu, vad är klockan om $5^{400}$ timmar?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar... -
c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Vilken rest fås då $26^{27}$ divideras med $8$?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar... -
-
6. Premium
Med hjälp av en av reglerna för kongruensräkning kan den sista siffran i talet $ 222^{15} $ bestämmas. Vilken är denna siffra?
Tips: Räkna modulo $10$.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar... -
-
7. Premium
$x ≡ 5$ (mod $6$) och $y ≡ 2$ (mod $6$). Bestäm $x^y$ (mod $6$).
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar...
a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Vilket eller vilka av följande alternativ är korrekta?
A) $2^{5n}+1$ är delbart med $2$ för alla udda heltal $n≥1$.
B) $2^{5n}+1$ är delbart med $3$ för alla udda heltal $n≥1$.
C) $2^{5n}+1$ är delbart med $4$ för alla udda heltal $n≥1$.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruensräkning Matematik 5 TalteoriRättar... -
Ali Ali
Kongruens är så underbart! Tack för all hjälp bästa eddler!
med vänliga hälsningar, mattemästaren (2/3)
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Härligt att höra!
You go!
Tadeusz Adamaszek
Detta är jättesvårt. Jag gillar inte det alls. Jag älskar eddler.
Mvh Mattemästaren 1/3
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Kämpa på!
Linus Strid
Hej,
I exempel 1 & 2 undrar jag varför ni skriver ”då 17/6 = 6 rest 1” när man ska förenkla ett uttryck med (mod4)? Samma med 26/6. Dessutom undrar jag hur 17/6 = 6 rest 1? Jag får nämligen det till 2 rest 5.
Simon Rybrand (Moderator)
Vi korrigerar texten där.
Benjamin Kwingwa Lidman
Hej!
Jag undrar om a^3 = 4^3 är rätt och om det inte ska vara ska vara a^3 = b^3(5^3) eftersom att räkneregeln säger a^t ”är kongruent med” b^t så därmed är a^3 kongruent med 5^3
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Vilken uppgift syftar du på här?
Maria Falah
Hej!
jag förstår inte varför?
30≡2 (mod 7) är kongruenta.
eller är det: att 30/7= 4 rest 2
och 2/7= 0 rest 2?
har jag förstått rätt?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ett sätt att förstå det är att om du ”hoppar” med steglängden 7 från 30 och försöker komma så nära 0 som möjligt så hamnar du på 2.
Dvs $ 30-4⋅7 = 2 $ (4 hopp med steglängden 7).
Vi kan definiera kongruens som att två heltal a och b är kongruenta modulo n om de har samma rest vid division med heltalet n > 1. Det här säger samma sak som du nämner i ditt exempel, du har alltså förstått rätt 🙂
Mariam Hummadi
Hej hur beräknar man resten av, 3^100 mod 7 ?, och 15^100 mod 5?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
$ 15^{100} \bmod 5 ≡ 0^{100} \bmod 5 $ så där är resten 0. Tänk på att du kan räkna kongruensräkning för potenser.
Ofta så använder man potensregeln $ (a^b)^c = a^{bc} $ när man söker efter sätt att skriva om uttryck med hjälp av reglerna för kongruensräkning.
Ett sätt att skriva om det första uttrycket kan vara enligt följande:
$3^{100} \bmod 7 = \left(3^2\right)^{50} \bmod 7 =$
$9^{50} \bmod 7 ≡ 2^{50} \bmod 7 =$
$(2^5)^{10} \bmod 7 = 32^{10} \bmod 7 ≡$
$4^{10} \bmod 7 = (4^2)^5 \bmod 7$
$16^{5} \bmod 7 ≡ (2)^5 \bmod 7 =$
$32 \bmod 7 ≡ 4 \bmod 7$
Det blev något långt här ovan, möjligtvis finns det sätt att göra det mer effektivt för att se att resten är 4.
Mariam Hummadi
20 mod(8), hur fick vi 4 mod(8)?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Vi får det för att 20 ≡ 4 (mod 8)
Du kan tänka att
20-2⋅8 = 4.
Endast Premium-användare kan kommentera.