Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 5
/ Talteori
Kongruens
Så fungerar kongruenta tal
Man kan likna kongruens vid något som återkommer om och om igen enligt ett visst mönster. I det här fallet är det tal som återkommer.
Om du tänker dig att du står på siffran 12 på en tallinje och hoppar hopp med steglängden 3 åt vänster på denna tallinje så kommer du först att komma till siffran 9, sedan siffran 6 följt av 3 och sedan 0 och så vidare. Vi skulle då kunna säga att 12 är kongruent med 6 modulo 3 eller att 12 är kongruent med 3 modulo 3. Med matematiskt språk så skrivs detta enligt följande.
$12 \, ≡ \, 9 \, ≡ \, 6 \, ≡ \, 3 \, ≡ 0\, (\text{mod} \, 3)$
Tecknet $≡$ uttalas ”kongruent med” och ”mod” uttalas modulos. Vi skulle uttala det som ” $12$12 är kongruent med $9$9 och $6$6 och $3$3 och $0$0 modulo $3$3”. Denna kongruens kan man använda föra tt skriva om stora tal till mindre, mer hanterbara.
Vi kommer att utnyttja att alla heltal som har samma rest när de divideras med samma heltal är kongruenta.
$a ≡ b \, (\text{mod} \, c)$ utläses som ” $a$a är kongruent med $b$b modulo $c$c”
Definitionen av kongruens
Själva definitionen av kongruens är följande
Två heltal $a$ och $b$ är kongruenta om de har samma rest vid division med heltalet $n > 1$. Då säger man att dessa tal är kongruenta modulo $c$c vilket skrivs som $a ≡ b \, (\text{mod} \, c)$.
För att konkretisera definitionen kan vi ta ett exempel.
$34 ≡ 22 \, (\text{mod} \, 4)$ då
$ \frac{34}{4} = {8} $ rest $2$ och $ \frac{22}{4} = {5}$ rest $2$.
Dvs talen har samma rest vid division med $4$4 .
Exempel i videon
- Visar att både $30$ och $9$ får resten $2$ vid division med $7$ och att de därmed är kongruenta.
- Vilket av följande tal är kongruent med 7 modulo 3? A: 21, B: 20, C: 19.
- Bestäm heltalet $a$ om $20 ≤ a ≤ 40$ samt att $a ≡ 6 \, (mod \, 7)$ och $a ≡ 2\, (mod\, 8)$.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
Vilket av följande tal är kongruent med $22$ modulo $7$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruens Matematik 5 TalteoriRättar... -
2. Premium
Ange ett heltal $x > 2$ så att $12 ≡ 2$ (mod $x$).
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruens Matematik 5 TalteoriRättar...3. Premium
Vilka två av följande fyra påståenden är ekvivalenta?
A) $56 ≡ 11$ (mod $5$)
B) $56 ≡ 2$ (mod $6$)
C) $56$ och $11$ har samma rest vid division med talet $5$.
D) $56$ och $5$ har samma rest vid division med heltalet $2$.Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruens Matematik 5 TalteoriRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Bestäm talet $a$ så att $a ≡ 1$ (mod $5$) och $a ≡ 3$ (mod $7$), $20 ≤ a ≤ 40$.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruens Matematik 5 TalteoriRättar...5. Premium
Vad innebär kongruensen $a ≡ 0$ (mod $11$)?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruens Matematik 5 TalteoriRättar...c-uppgifter (2)
-
6. Premium
För de positiva heltalen $a$, $b$ och $c$ gäller att $ \frac{a}{c} = \text{5 rest d} $ och $ \frac{b}{c} = \text{10 rest d} $. Vilket påstående stämmmer?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruens Matematik 5 TalteoriRättar... -
7. Premium
Vilket eller vilka av följande alternativ uttrycker ”samtliga helttal $x$ som är kongruenta med $2$ modulo $6$”?
A) $x=6n+2$, där $n$ är ett heltal
B) $x+2=6n$, där $n$ är ett heltal
C) $x-2=6n$, där $n$ är ett heltalSvar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruens Matematik 5 TalteoriRättar...a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Ett visst år är den $1$ augusti en tisdag. Vilken veckodag infaller julafton samma år?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Kongruens Matematik 5 TalteoriRättar... -
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Robin Bardakci
Hej,
Spelar det någon roll om det är exempelvis 22≡1 (mod 7) eller 1≡22 (mod 7)
Alltså kan 22 vara kongruent med 1 och 1 vara kongruent med 22.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
22 och 1 är kongruenta med varandra modulo fem, och det gäller som en likhet, att det inte spelar någon roll vad som är i VL och HL. Men ofta är syftet eller uppgiften att förenkla uttrycket och då innebär det att du vill svara med så låga positiva värden på modulon som möjligt, dvs resten vid division med fem i detta fall.
Erik Martines Sanches
I andra stycket säger texten att 12 är kongruent med 6 modulo 3, men exemplet visar 12≡9(mod3). Båda är sanna men det kanske underlättar att skriva exemplet som i texten.
Simon Rybrand (Moderator)
Vi förtydligar det stycket, tack för kommentaren.
Adam Johansson
Hej,
Jag har problem att riktigt förstå detta, finns det något annat sätt att förklara?
Adam
Simon Rybrand (Moderator)
Har du något exempel som du jobbar med som vi kan utgå ifrån?
Maria Falah
Hej!
hur blir det här frågan: 1^3+2^3+3^3+4^3…..+100^3 (mod4)?
Simon Rybrand (Moderator)
Kika gärna på reglerna för kongruensräkning, där finns regeln
$ a^t ≡ b^t\, (mod\, n) $ där t är ett positivt heltal.
Med hjälp av denna kan du exempelvis skriva om
$ 4^3 ≡ 0 \,(mod\, 4) $
$ 5^3 ≡ 1^3 \,(mod\, 4) $
$ 6^3 ≡ 2^3 \,(mod\, 4) $
$ 7^3 ≡ 3^3 \,(mod\, 4) $
$ 8^3 ≡ 0 \,(mod\, 4) $
$ 9^3 ≡ 1^3 \,(mod\, 4) $
osv…
På detta vis kan du skriva om alla tal i summan och förenkla, kommer du vidare själv här?
Maria Falah
Tack så mycket för hjälpen!
Men på facit det står ”summan av 1^3+2^3+3^3+4^3…..+100^3 (mod4) är kongruent med 25(1^3+2^3+3^3+4^3…..+100^3 (mod4))?
Varför ifrån kommer 25?
Simon Rybrand (Moderator)
Det står inte att det är kongruent med $ 25(1^3+2^3+3^3+4^3)$? Eftersom att alla tal är kongruenta med dessa fyra potenser och eftersom att 100/4 = 25?
(tänk också på att $ 1^3+2^3+3^3+4^3 = 100 $)
Endast Premium-användare kan kommentera.