00:00
00:00
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Så fungerar kongruenta tal

Man kan likna kongruens vid något som återkommer om och om igen enligt ett visst mönster. I det här fallet är det tal som återkommer.

Om du tänker dig att du står på siffran 12 på en tallinje och hoppar hopp med steglängden 3 åt vänster på denna tallinje så kommer du först att komma till siffran 9, sedan siffran 6 följt av 3 och sedan 0  och så vidare. Vi skulle då kunna säga att 12 är kongruent med 6 modulo 3 eller att 12 är kongruent med 3 modulo 3. Med matematiskt språk så skrivs detta enligt följande.

129 63 0(mod3)12 \, ≡ \, 9 \,  ≡ \, 6 \, ≡ \, 3 \,  ≡ 0\, (\text{mod} \, 3)

Tecknet uttalas ”kongruent med” och ”mod” uttalas modulos. Vi skulle uttala det som ” 121212  är kongruent med 999 och 666 och 333 och 000 modulo 333”. Denna kongruens kan man använda föra tt skriva om stora tal till mindre, mer hanterbara.

Vi kommer att utnyttja att alla heltal som har samma rest när de divideras med samma heltal är kongruenta.

ab(modc)a ≡ b \, (\text{mod} \, c)  utläses som ” aaa är kongruent med bbb modulo ccc” 

Definitionen av kongruens

Själva definitionen av kongruens är följande

Två heltal aa och bb är kongruenta om de har samma rest vid division med heltalet n>1n > 1. Då säger man att dessa tal är kongruenta modulo ccc  vilket skrivs som ab(modc)a ≡ b \, (\text{mod} \, c).

För att konkretisera definitionen kan vi ta ett exempel.

3422(mod4)34 ≡ 22 \, (\text{mod} \, 4)

344=8 \frac{34}{4} = {8} rest 22 och 224=5 \frac{22}{4} = {5} rest 22.

Dvs talen har samma rest vid division med 444 .

Exempel i videon

  • Visar att både 3030 och 99 får resten 22 vid division med 77 och att de därmed är kongruenta.
  • Vilket av följande tal är kongruent med 7 modulo 3? A: 21, B: 20, C: 19.
  • Bestäm heltalet aa om 20a4020 ≤ a ≤ 40 samt att a6(mod7)a ≡ 6 \, (mod \, 7) och a2(mod8)a ≡ 2\, (mod\, 8).