...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 5
 /   Talteori

Kongruens

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Så fungerar kongruenta tal

När två stycken tal är kongruenta så finns det ett tal som du kan dividera dessa tal med så att du får samma rest. Då brukar man säga att dessa tal är kongruenta. Man kan likna kongruens vid något som återkommer om och om igen enligt ett visst mönster. I det här fallet är det tal som återkommer.

Om du tänker dig att du står på siffran 12 på en tallinje och hoppar hopp med steglängden 3 på denna tallinje så kommer du först att komma till siffran 9, sedan siffran 6 följt av 3 och sedan 0. Vi skulle då kunna säga att 12 är kongruent med 6 modulo 3 eller att 12 är kongruent med 3 modulo 3. Med matematiskt språk så skrivs detta enligt:

$12 ≡ 9 \, (mod \, 3)$
$12 ≡ 6 \, (mod \, 3)$
$12 ≡ 3 \,(mod \, 3)$
$12 ≡ 0 \,(mod \, 3)$

Tecknet $≡$ uttalas ”kongruent med” och ”mod” uttalas modulos.

Definitionen av kongruens

Själva definitionen av kongruens är följande:

Två heltal $a$ och $b$ är kongruenta om de har samma rest vid division med heltalet $n > 1$. Då säger man att dessa tal är kongruenta modulo n vilket skrivs som $a ≡ b \, (mod \, n)$.

För att konkretisera definitionen kan vi ta ett exempel.

$34 ≡ 22 \, (mod \, 4)$ då

$ \frac{34}{4} = \text{8 rest 2} $ och $ \frac{22}{4} = \text{5 rest 2} $.

Dvs talen har samma rest vid division med 4.

Exempel i videon

  • Visar att både $30$ och $9$ får resten $2$ vid division med $7$ och att de därmed är kongruenta.
  • Vilket av följande tal är kongruent med 7 modulo 3? A: 21, B: 20, C: 19.
  • Bestäm heltalet $a$ om $20 ≤ a ≤ 40$ samt att $a ≡ 6 \, (mod \, 7)$ och $a ≡ 2\, (mod\, 8)$.

Kommentarer

Erik Martines Sanches

I andra stycket säger texten att 12 är kongruent med 6 modulo 3, men exemplet visar 12≡9(mod3). Båda är sanna men det kanske underlättar att skriva exemplet som i texten.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi förtydligar det stycket, tack för kommentaren.

Adam Johansson

Hej,
Jag har problem att riktigt förstå detta, finns det något annat sätt att förklara?
Adam

    Simon Rybrand (Moderator)

    Har du något exempel som du jobbar med som vi kan utgå ifrån?

Maria Falah

Hej!
hur blir det här frågan: 1^3+2^3+3^3+4^3…..+100^3 (mod4)?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kika gärna på reglerna för kongruensräkning, där finns regeln
    $ a^t ≡ b^t\, (mod\, n) $ där t är ett positivt heltal.
    Med hjälp av denna kan du exempelvis skriva om
    $ 4^3 ≡ 0 \,(mod\, 4) $
    $ 5^3 ≡ 1^3 \,(mod\, 4) $
    $ 6^3 ≡ 2^3 \,(mod\, 4) $
    $ 7^3 ≡ 3^3 \,(mod\, 4) $
    $ 8^3 ≡ 0 \,(mod\, 4) $
    $ 9^3 ≡ 1^3 \,(mod\, 4) $
    osv…
    På detta vis kan du skriva om alla tal i summan och förenkla, kommer du vidare själv här?

      Maria Falah

      Tack så mycket för hjälpen!
      Men på facit det står ”summan av 1^3+2^3+3^3+4^3…..+100^3 (mod4) är kongruent med 25(1^3+2^3+3^3+4^3…..+100^3 (mod4))?

      Varför ifrån kommer 25?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Det står inte att det är kongruent med $ 25(1^3+2^3+3^3+4^3)$? Eftersom att alla tal är kongruenta med dessa fyra potenser och eftersom att 100/4 = 25?
        (tänk också på att $ 1^3+2^3+3^3+4^3 = 100 $)


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande tal är kongruent med $22$ modulo $7$?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange ett heltal $x > 2$ så att $12 ≡ 2$ (mod $x$).

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilka två av följande fyra påståenden är ekvivalenta?

    A) $56 ≡ 11$ (mod $5$)
    B) $56 ≡ 2$ (mod $6$)
    C) $56$ och $11$ har samma rest vid division med talet $5$.
    D) $56$ och $2$ har samma rest vid division med heltalet $5$.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm talet $a$ så att $a ≡ 1$ (mod $5$) och $a ≡ 3$ (mod $7$), $20 ≤ a ≤ 40$.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad innebär kongruensen $a ≡ 0$ (mod $11$)?

    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    För de positiva heltalen $a$, $b$ och $c$ gäller att $ \frac{a}{c} = \text{5 rest d} $ och $ \frac{b}{c} = \text{10 rest d} $. Vilket påstående stämmmer?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket eller vilka av följande alternativ uttrycker ”samtliga helttal $x$ som är kongruenta med $2$ modulo $6$?

    A) $x=6n+2$, där $n$ är ett heltal
    B) $x+2=6n$, där $n$ är ett heltal 
    C) $x-2=6n$, där $n$ är ett heltal

    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M1
    R
    K

    Ett visst år är den $1$ augusti en tisdag. Vilken veckodag infaller julafton samma år?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se