Kapiteltest - Differentialekvationer

Ange den allmänna lösningen till differentialekvationen  $2y’+10y=0$2y’+10y=0 .

Ange den allmänna lösningen till differentialekvationen  $y”+18x=40x^3+12x^2$y”+18x=40x³+12x² .

Vilket eller vilka av följande påståenden är korrekt(a)?

 $A.$A.    $y=3\cos4x$y=3cos4x  är en lösning till differentialekvationen  $y”+16y=0$y”+16y=0 .

 $B.$B.   Differentialekvationen  $y’-8y=0$y’−8y=0  har den allmänna lösningen  $y=Ce^{8x}$y=Ce^8x .

 $C.$C.   Differentialekvationen  $y”+32y’=0$y”+32y’=0  har den karakteristiska ekvationen  $r^2+32=0$r²+32=0 .

 $D.$D.    $y’-y^2=x^2$y’−y²=x²  är en separabel differentialekvation.

En viss bilmodell minskar lika mycket varje år procentuellt sett och på fem år har värdet halverats. Beskriv förändringen med en differentialekvation.

En lösningskurva till ekvationen  $y’-2x-y=0$y’−2x−y=0  går genom punkten $\left(0,1\right)$(0,1). Bestäm med hjälp av Eulers stegmetod ett närmevärde till $y\left(0,4\right)$y(0,4). Välj steglängden $h=0,1$h=0,1  och avrunda svaret till två decimaler.

En metallskena som värms upp utvidgar sig så att längdökningen (med avseende på temperaturen) är proportionell mot skenans aktuella längd. När temperaturen är $0^{\circ}C$0^∘C är skenan $1,0$1,0 meter lång. Vid  $15^{\circ}C$15^∘C har längden ökat med $0,85$0,85 cm. Vilken temperatur krävs för att skenan ska utvidgas till $1,1$1,1 meter?

Enligt Newtons avsvalningslag är avsvalningshastigheten för en vätska proportionell mot temperaturskillnaden mellan vätskan och dess omgivning.

Bea blandar en kopp snabbkaffe med hjälp av kokande vatten i sitt kök där det är $21^{\circ}C$21^∘C. Efter $3$3 minuter har kaffet svalnat till $85^{\circ}C$85^∘C . Hon tycker att kaffet är lagom varmt efter $10$10 minuter. Vilken temperatur har det då? Bestäm temperaturen i hela $^{\circ}C$^∘C och svara utan enhet.

Vilket alternativ är en lösning till differentialekvationen  $y’=\frac{1}{y^3}\cdot e^{2x}$y’=1y³ ·e^2x ?
Motivera ditt svar.

En vikt är upphängd i en fjäder och svänger vertikalt kring jämviktsläget. Rörelsen kan beskrivas med differentialekvationen  $y”=-ky$y”=−ky , där $y$y är avståndet i meter till jämviktsläget efter $t$t sekunder och $k$k är fjäderkonstanten. Då tidtagningen börjar är vikten vid jämviktsläget. Bestäm viktens maximala fart.

I figuren visas en differentialekvation. Bestäm  $y\left(1\right)$y(1) om  $y\left(0\right)=7$y(0)=7 . Förenkla så långt som möjligt.