00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 5
/  Differentialekvationer

Homogena differentialekvationer av första ordningen

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Så löser du Homogena differentialekvationer av första ordningen

En homogen differentialekvation av första ordningen är en ekvation som innehåller förstaderivatan och som kan skrivas på formen y´ + ay = 0. Dvs de innehåller en förstaderivata och en konstant a framför funktionen´y. Här löser vi ekvationen genom att ta reda på funktionen y.

Homogen differentialekvation av första ordningen

Innehåller en förstaderivata och kan skrivas på formen y+ay=0 y'+ay = 0 .

och har den allmänna lösningen y=Ceaxy = Ce^{-ax}.

Metoden för att lösa dessa typer av ekvationer är att man först söker den så kallade allmänna lösningen för att därefter använda ett eventuellt villkor för att hitta den partikulära lösningen. En differentialekvation y´ + ay = 0 har den allmänna lösningen y = Ce-ax. Skall vi ta reda på konstanten C behöver vi ha ett villkor, tex att y(0) = 1.

Differentialekvation – ett exempel


Lös ekvationen y´ + 3y = 0 då y(0) = 10.

  1. Den allmänna lösningen är y = Ce-3x
  2. Vi har villkoret att y(0) = 10 så 10 = Ce0 ⇔ C = 10
  3. Den partikulära lösningen är y = 10e-3x

Exempel i videon

  • Lös differentialekvationen yy=0 y'-y=0 .
  • Ange partikulärlösning och allmän lösning till y6y=0y'-6y=0 om y(0)=1y(0)=1.
  • I ett badkar badar Sverker och där avtar temperaturen enligt differentialekvationen dydx=0,1y \frac{dy}{dx}=-0,1y där tt är tiden i minuter. När är temperaturen 40°C 40 \, °C om det från början var 50 °C 50 \, °C .