00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 4
/  Trigonometri och trigonometriska funktioner

Avstånd och områden i det komplexa talplanet

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Vi har tidigare sett att ett komplext tal kan beskrivas med en vektor, och att längden på denna vektor beräknas med hjälp av absolutbeloppet. Vi kan också använda absolutbelopp för att beskriva avstånd och områden i det komplexa talplanet.

Avstånd i det komplexa talplanet

I Matematik 3 såg vi att avståndet mellan två tal xxx och yyy på den reella tallinjen definieras som xy\left|x-y\right||xy|. Motsvarande definition gäller för avståndet mellan två tal i det komplexa talplanet.

Avståndet mellan zz och qq

Avståndet mellan de komplexa talen  zzz  och  qqq  ges av absolutbeloppet  zq|z-q||zq| 

Exempel 1

Ange avståndet mellan de komplexa talen  z=3+2iz=3+2iz=3+2i  och  q=2+iq=2+iq=2+i.

Lösning

Avståndet mellan de två komplexa talen  z=3+2iz=3+2iz=3+2i  och  q=2+iq=2+iq=2+i  ges av absolutbeloppet

 zq=(3+2i)(2+i)=|z-q|=|(3+2i)-(2+i)|=|zq|=|(3+2i)(2+i)|= 1+i=|1+i|=|1+i|= 12+12=\sqrt{1^2+1^2}=12+12= 2\sqrt{2}2

Om de komplexa talen  zzz  och  qqq  representeras av vektorer, motsvarar absolutbeloppet  zq|z-q||zq|  avståndet mellan vektorernas pilspetsar.

Områden i det komplexa talplanet

Absolutbelopp till komplexa tal används också för att beskriva områden i det komplexa talplanet.  Exempelvis beskriver  z05|z-0|\le5|z0|5  alla komplexa tal  zzz  som finns på ett avstånd mindre eller lika med  555  från origo. Detta kan förenklat skrivas som  z5|z|\le5|z|5  och ritas som följande område i det komplexa talplanet:

komplext-talplan-vektorer

Absolutbeloppet  z|z||z|  kan också tolkas som längden hos vektorn  z\vec{z}z.  z5|z|\le5|z|5  innebär då alla vektorer med utgångspunkt i origo och med längden  5\le55, vilket skulle motsvara området i figuren ovan.

Nedan följer ytterligare några exempel där vi beskriver områden i det komplexa talplanet

Exempel 2

Åskådliggör  z<3|z|<3|z|<3  i det komplexa talplanet.

Lösning

 z<3|z|<3|z|<3  kan skrivas som  z0<3|z-0|<3|z0|<3. Här söker vi alltså alla komplexa tal  zzz  som befinner sig på ett avstånd som är mindre än  333  från origo.

komplext-talplan-vektorer_2

Notera att vi använder en streckad linje för att markera den yttre cirkeln, eftersom absolutbeloppet skall vara mindre än och inte lika med  333. De tal som ligger på cirkelranden,  z=3z=3z=3,  ingår inte i det aktuella området.

Exempel 3

Åskådliggör  1Re z3-1\le\text{Re }z\le31Re z3  i det komplexa talplanet.

Lösning

Här söker vi alla  zzz  där den reella delen finns i intervallet större eller lika med  1-11  och mindre eller lika med  333. Detta område visas i bilden nedan.

omrade-komplexa-talplanet

Notera att vi använder en heldragen linje för att markera de yttre linjerna, eftersom  Re z=1\text{Re }z=-1Re z=1  och  Re z=3\text{Re }z=3Re z=3  ingår i det aktuella området.

Exempel 4

Åskådliggör  z+2i=3|z+2i|=3|z+2i|=3  i det komplexa talplanet.

Lösning

Vi kan skriva om  z+2i=3|z+2i|=3|z+2i|=3  som  z(2i)=3|z-(-2i)|=3|z(2i)|=3. Det innebär att vi söker alla  zzz  som ligger på avståndet  333  från  (2i)(-2i)(2i). Detta område är en cirkel med mittpunkt i  z=2iz=-2iz=2i,  och radien  333, vilket visas i bilden nedan. 

vektorer-avstand.komplexa-talplanet

Notera att det bara är punkterna cirkelranden som ingår i det aktuella området, och inte de som är innanför.

Exempel i videon

  • Visualisering av z=3+2iz = 3 + 2i och q=2+4iq = 2 + 4i som vektorer i det komplexa talplanet.
  • Beräkning av längden (absolutbeloppet) av vektorerna till z=3+2iz=3+2i och q=2+4iq=2+4i.
  • Beräkning av avståndet mellan z=1+5iz=1+5i och q=3+iq=3+i.
  • Markera området i det komplexa talplanet som beskrivs av z=2 |z| = 2  där zz är ett komplext tal.
  • Markera området i det komplexa talplanet som beskrivs av 1<z3 1< |z| ≤ 3 .