KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Avstånd och områden i det komplexa talplanet
Författare:Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
Vi har tidigare sett att ett komplext tal kan beskrivas med en vektor, och att längden på denna vektor beräknas med hjälp av absolutbeloppet. Vi kan också använda absolutbelopp för att beskriva avstånd och områden i det komplexa talplanet.
Avstånd i det komplexa talplanet
I Matematik 3 såg vi att avståndet mellan två tal xx och yy på den reella tallinjen definieras som ∣x−y∣|x−y|. Motsvarande definition gäller för avståndet mellan två tal i det komplexa talplanet.
Avståndet mellan z och q
Avståndet mellan de komplexa talen zz och qq ges av absolutbeloppet ∣z−q∣|z−q|
Exempel 1
Ange avståndet mellan de komplexa talen z=3+2iz=3+2i och q=2+iq=2+i.
Lösning
Avståndet mellan de två komplexa talen z=3+2iz=3+2i och q=2+iq=2+i ges av absolutbeloppet
∣z−q∣=∣(3+2i)−(2+i)∣=|z−q|=|(3+2i)−(2+i)|= ∣1+i∣=|1+i|= 12+12=√12+12= 2√2
Om de komplexa talen zz och qq representeras av vektorer, motsvarar absolutbeloppet ∣z−q∣|z−q| avståndet mellan vektorernas pilspetsar.
Områden i det komplexa talplanet
Absolutbelopp till komplexa tal används också för att beskriva områden i det komplexa talplanet. Exempelvis beskriver ∣z−0∣≤5|z−0|≤5 alla komplexa tal zz som finns på ett avstånd mindre eller lika med 55 från origo. Detta kan förenklat skrivas som ∣z∣≤5|z|≤5 och ritas som följande område i det komplexa talplanet:
Absolutbeloppet ∣z∣|z| kan också tolkas som längden hos vektorn z→z. ∣z∣≤5|z|≤5 innebär då alla vektorer med utgångspunkt i origo och med längden ≤5≤5, vilket skulle motsvara området i figuren ovan.
Nedan följer ytterligare några exempel där vi beskriver områden i det komplexa talplanet
Exempel 2
Åskådliggör ∣z∣<3|z|<3 i det komplexa talplanet.
Lösning
∣z∣<3|z|<3 kan skrivas som ∣z−0∣<3|z−0|<3. Här söker vi alltså alla komplexa tal zz som befinner sig på ett avstånd som är mindre än 33 från origo.
Notera att vi använder en streckad linje för att markera den yttre cirkeln, eftersom absolutbeloppet skall vara mindre än och inte lika med 33. De tal som ligger på cirkelranden, z=3z=3, ingår inte i det aktuella området.
Exempel 3
Åskådliggör −1≤Re z≤3−1≤Re z≤3 i det komplexa talplanet.
Lösning
Här söker vi alla zz där den reella delen finns i intervallet större eller lika med −1−1 och mindre eller lika med 33. Detta område visas i bilden nedan.
Notera att vi använder en heldragen linje för att markera de yttre linjerna, eftersom Re z=−1Re z=−1 och Re z=3Re z=3 ingår i det aktuella området.
Exempel 4
Åskådliggör ∣z+2i∣=3|z+2i|=3 i det komplexa talplanet.
Lösning
Vi kan skriva om ∣z+2i∣=3|z+2i|=3 som ∣z−(−2i)∣=3|z−(−2i)|=3. Det innebär att vi söker alla zz som ligger på avståndet 33 från (−2i)(−2i). Detta område är en cirkel med mittpunkt i z=−2iz=−2i, och radien 33, vilket visas i bilden nedan.
Notera att det bara är punkterna på cirkelranden som ingår i det aktuella området, och inte de som är innanför.
Exempel i videon
- Visualisering av z=3+2i och q=2+4i som vektorer i det komplexa talplanet.
- Beräkning av längden (absolutbeloppet) av vektorerna till z=3+2i och q=2+4i.
- Beräkning av avståndet mellan z=1+5i och q=3+i.
- Markera området i det komplexa talplanet som beskrivs av ∣z∣=2 där z är ett komplext tal.
- Markera området i det komplexa talplanet som beskrivs av 1<∣z∣≤3.
Kommentarer
e-uppgifter (5)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Bestäm absolutbeloppet för det komplexa talet z=4+3iz=4+3i.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(2/0/0)E C A B 1 P 1 PL M R K Beräkna längden på vektorn u=z+q→u=→z+→q om z=2+2iz=2+2i och q=2+iq=2+i
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilket alternativ beskriver det markerade området i figuren nedan
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(2/0/0)E C A B 1 P 1 PL M R K Vilket är avståndet mellan de två komplexa talen z=3+2iz=3+2i och q=−2+iq=−2+i ?
Avrunda svaret till en decimal.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(2/0/0)E C A B 1 P 1 PL M R K Vilket av de komplexa talet z=7+8iz=7+8i och q=−9+5iq=−9+5i ligger närmast det komplexa talet w=2iw=2i?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (3)
6. Premium
(0/2/0)E C A B 1 P PL M R 1 K Anna och Vera skall åskådliggöra ∣z+i∣=1|z+i|=1 i det komplexa talplanet. Anna ritar ut området med en grön cirkel och Vera med en blå. Vem av dem har gjort rätt och vad har den andra gjort fel?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(0/1/0)ME C A B P PL M R 1 K Två tal, zz och qq , är markerade i det komplexa talplanet. Vad innebär olikheten ∣z∣>∣q∣|z|>|q| ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Olikheten innebär att z ligger längre bort från origo än vad q gör.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(0/1/0)E C A B 1 P PL M R K Vilket av nedanstående alternativ beskriver det rödmarkerade området i det komplexa talplanet?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (1)
9. Premium
(0/0/2)ME C A B P PL 2 M R K Ange två villkor som tillsammans beskriver alla markerade punkter zz i figuren.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Se lösning och figur under Förklaring.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Elliot Myrsten
I sista exemplet skriver du ”När man skall beskriva ett avstånd så görs det med ∣z−a∣, dvs det är avståndet mellan punkten a och z.”
Så om ∣z−a∣ formeln stämmer, varför blir det inte ∣z−2i∣ isåfall? Det skapas ett extra minus tecken från ingenstans framför tvåan enligt ∣z – (-2i)∣?
Sara Petrén Olauson
Om uppgiften hade varit att beskriva avståndet mellan z och 2i hade detta skrivits ∣z−2i∣. Men i exempel 4 handlar det istället om att tolka vad ∣z+2i∣ betyder. För att se vilket avstånd uttrycket motsvarar skriver vi om det på formen ∣z−a∣, vilket ger: ∣z+2i∣=∣z−(−2i)∣ De dubbla minustecknen ersätter plustecknet i det ursprungliga uttrycket.
Hoppas att det blev tydligare nu!
Shagi
Åskådliggör |z+2i|=3
i det komplexa talplanet.
Vi kan skriva om |z+2i|=|z–(−2i)|z
2Iz 2i . Då gäller att vi söker alla z som ligger på avståndet 3 från (−2i) 2i. Detta område, en cirkel med radien 3 och origo i (0,-2i) visas i bilden nedan.
Hej det jag inte förstår är varför man skriver om (z+2i) till z-(-2i) och sen lägger punkten på -2i och inte från början på 2i . Varför blir det fel om man lägger det på 2i och har avstånd 3 från origo. Det är exempel 4.
Mvh shagufa.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
När man skall beskriva ett avstånd så görs det med ∣z−a∣, dvs det är avståndet mellan punkten a och z. Så här får vi skriva om absolutbeloppet så att att vi har minus där först så att det blir enklare att se vilket avstånd som menas. Dvs att
∣z+2i∣=∣z−(−2i)∣
Leila
Tack!
NISSE-MA
Hej!
Förstår inte riktigt sista exemplet. Är inte -3, -4 osv också mindre än 2? :s
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, här är det viktigt att förstå att ett absolutbelopp alltid ger ett ett positivt svar då det är en längd som vi jobbar med. I det här fallet så handlar det också om längden på alla vektorer som är mindre, eller lika med, 2 vilket gör att vi måste beskriva just detta område. Så visst är -3 och -4 mindre än talet 2 men vektorn från origo till dessa tal är större än 2.
Gina
Videon fungerar inte på slutet, den bara laddar.
Och jag svarade inget, men det stod bra jobbat ändå!
Är rätt svar 5,1?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, när vi testar videon här så fungerar den, kontakta oss gärna så hjälper vi gärna dig vidare för att hitta vart felet kan ligga.
Ja det stämmer att absolutbeloppet är
26≈5,1. Vi håller på att uppdatera dessa testuppgifter så att det blir mer och bättre förklaringar på dessa.
ebbit
Runt 6.20 – 144+196 är inte 244! Annars är videon (och alla andra jag kollat på) sjukt bra och lättförstådd! Man lär sig verkligen av att kolla på dem.
Simon Rybrand (Moderator)
(uppdatering: videon är åtgärdad)
Hej och tack för din kommentar, bra att du reagerade på felet och kommenterade. Detta skall vi åtgärda så snart som möjligt.
/Simon
joawes
Videon fungerar inte:(
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Joawes, vi testade videon och den fungerar från vår sida för vanliga webbläsare. Dock var det problem med uppspelning via mobil vilket är ordnat nu.
Endast Premium-användare kan kommentera.