Matematik 2b

Algebra
Linjära ekvationssystem
Andragradsekvationer
Andragradsfunktioner
Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner
Statistik
Geometri
Sammanfattning begrepp och formler Matematik 2
Genomgångar nationella prov
Nationellt prov Ma2b VT 2022
- NP Ma2b vt 2022 Delprov B och C
- NP Ma2b vt 2022 Delprov D
Nationellt prov Ma2b VT 2016
- NP Ma2b vt 2016 Delprov B och C
- NP Ma2b vt 2016 Delprov D
Nationellt prov Ma2b HT 2015
- NP Ma2b ht 2015 Delprov B och C
- NP Ma2b ht 2015 Delprov D
Nationellt prov Ma2b VT 2015
- NP Ma2b vt 2015 Delprov B och C
- NP Ma2b vt 2015 Delprov D
Nationellt prov Ma2b HT 2014
- NP Ma2b ht 2014 Delpro B och C
- NP Ma2b ht 2014 Delprov D
Nationellt prov Ma2b VT 2014
- NP Ma2b vt 2014 Delprov B och C
- NP Ma2b vt 2014 Delprov D
Nationellt prov Ma2b HT 2013
- NP Ma2b ht 2013 Delprov B och C
- NP Ma2b ht 2013 Delprov D
Nationellt prov Ma2b VT 2013
Nationellt prov Ma2b HT 2012
Nationellt prov Ma2a VT 2012

Mina Kursgrupper
MV Kurser

00:00

Dela

/ Andragradsekvationer

Andragradsekvationer

Nollproduktmetoden

Name: Nollproduktmetoden - Andragradsekvationer (Ma 2) - Eddler
Brand: Eddler
Rating: 3.07 (45 reviews)

Författare:Simon Rybrand

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

I den här lektionen går vi igenom hur du löser andragradsekvationer med en metod som kallas nollproduktmetoden.

Metoden lämpar sig för alla andragradsekvationer skrivna i faktorform.

Så fungerar Nollproduktmetoden

Nollproduktmetoden bygger på att vi får en produkt med värdet noll, om en eller flera av faktorerna är lika med noll.

Matematiskt kan vi beskriva detta som att om $a·b=0$ gäller att $a=0$ och/eller $b=0$ .

Med hjälp av denna kunskap kan du ta fram lösningen till ekvationen, eftersom du vet att om en av faktorerna är lika med noll, så är även produkten lika med noll.

Exempel 1

Lös ekvationen $\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$ (x−2)(x+1)=0

Lösning

Om en av faktorerna är lika med noll, är hela produkten lika med noll. Uttrycket i VL består av två faktorer. Nämligen de två parenteserna. Om någon av parenteserna antar värdet noll, kommer produkten anta värdet noll.

Så lösningen till ekvationen får vi om

$(x-2)=0$ eller om $(x+1)=0$ .

Den första parentesen, som alltså är detsamma som den första faktorn, $(x-2)$ får värdet noll då $x=2$ x=2. Detta är en av lösningarna till ekvationen.

Den andra parentesen, som alltså är detsamma som den andra faktorn, $(x+1)$ får värdet noll då $x=-1$ x=−1 . Detta är den andra lösningen till ekvationen.

Nollproduktmetoden ger därmed att ekvationens lösning är

$\begin{cases} x_1=2 \\ x_2=-1 \end{cases}$

Vi kan kontrollera våra lösningar för att vara på den säkra sidan.

Då $x=2$ x=2 får vi att VL= $(2-2)(x+1)=0\cdot(x+1)=0$ =HL. Lösningen stämmer!
Då $x=-1$ x=−1 får vi att VL= $(x-2)((-1)+1)=(x-2)\cdot 0=0$ =HL. Lösningen stämmer!

Faktorisera innan Nollproduktmetoden

För att kunna använda nollproduktmetoden måste ena ledet bestå enbart av faktorer och andra vara lika med noll. Detta kallas att ekvationen står i faktorform.

Ibland behöver du därför skriva om ekvationen innan du använder nollproduktmetoden. Är ena leden lika med noll fixar du det andra genom att faktorisera, alltså bryta ut något gemensamt ur termerna, så att det bildas två eller fler faktorer i ena ledet.

Nollproduktmetoden lämpar sig extra bra på andragradsekvationer som saknar en konstantterm.

Alltså ekvationer på följande allmänna from.

$ax^2+bx=0$

där $a$ och $b$ är konstanter skilda från noll.

Men i kommande lektioner kommer vi gå igenom hur vi kan faktorisera alla andragradsekvationer. Men i nuläget fokuserar vi på att använda metoden på de ekvationer som saknar konstantterm eller redan står i faktorform.

Vi tar nu ett exempel på när vi först faktoriserar för att se lösningarna.

Exempel

Exempel 2

Lös ekvationen $x^2+2x = 0$

Lösning

För att tillämpa nollproduktmetoden måste ena eden vara lika med noll och det andra bestå av faktorer. Vi faktorisera därför VL.

$x^2+2x = 0$ Bryt ut $x$ i VL

$x(x+2) = 0$

Nollproduktmetoden ger att om en eller flera av faktorerna, som i detta fall motsvarar de två parenteserna i VL, är lika med noll är hela produkten lika med noll. Detta gäller då

$\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=-2 \end{cases}$

För att tillämpa nollproduktmetoden måste alltså ena eden vara lika med noll och det andra bestå av faktorer. Vi tar ett exempel till direkt, där vi behöver göra båda dessa steg.

Exempel 3

Lös ekvationen $3x^2=27x$

Lösning

Ekvationen innehåller en andragradsterm, en förstagradsterm och saknar konstantterm och lämpar sig därför ypperligt för nollproduktmetoden. Vi skriver om den i faktorform.

$3x^2=27x$ Subtrahera båda leden med $27x$ för att få ena ledet lika med noll

$3x^2-27x=0$ Bryt ut $3x$ 3x i VL

$3x(x-9)=0$

Nollproduktmetoden ger att då en eller flera av faktorerna, i vårt fall parenteserna, är lika med noll är hela produkten lika med noll. Det ger oss att ekvationens lösningar är

$\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=9 \end{cases}$

Nu är det bara att börja öva!

I Matematik 3bc kommer vi utveckla användningsområdena av nollproduktmetoden, så det är bra om du redan nu, i Matematik 2abc, känner att du behärskar metoden.

Exempel i videon

Lös ekvationen $x^2-x=0$
Lös ekvationen $2x^2+8x=0$
Lös ekvationen $10x^2=-20x$
Lös ekvationen $(3x+2)(x-7)=0$

Nästa lektion: PQ – formeln

Kommentarer

Amir Ocuz

2023-05-27

förstår inte fra 15, hur det finns x3 också i lösningen

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

2023-05-31

Då det är en tredjegradsekvation kan det finnas tre unika lösningar.

Prova sätta in lösningarna $x_1=0$ , $x_2=2$ och $x_3=-2$ i ekvationen $2x^3-8x=0$ och se att de alla uppfyller likheten. Det ger att de alla är lösningar till ekvationen.

Johan Hiljanen

2023-03-14

Blir aldrig rätt hur man än skriver svaret
3x+9x^2=3x(1+3x) blir fel av systemet även om det är rätt svar.

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

2023-03-15

Hej Johan,
i just den uppgiften skulle du bara ange faktorn du bryter ut, inte det faktoriserade uttrycket.

Du kan se vilka olika alternativa svar som systemet accepterar genom att klicka på FACIT och sedan hålla musen över/klicka på Korrekta varianter.

Tuva Rodahl

2022-09-25

Hej
Varför får jag fel på övning 5 när jag skriver -2? När jag tittar i förklaringen så står det ju att svaret är -2?

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

2022-10-04

Hej Tuva,

kan det vara så att du svarat utan att ange $x=$ i ditt svar. Du måste alltid har med variabeln när du anger ditt svar när vi söker svaret på en ekvation. Prov igen och skriv $x=-2$ så tror jag att det ska bli rätt!

evertgoran

2021-10-08

Hej!

I uppgift 10, varför använder vi subtraktion för att flytta över 12x^2 till samma sida av = som 3x? Min uppfattning var att det var division man skulle använda för att göra det?

Tack på förhand!

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

2021-10-13

Hej,

Vi vill få ena ledet till noll för att kunna använda nollproduktmetoden. Vilket led vi gör till noll spelar mindre roll. Men enda sättet är att subtrahera båda leden med den term som vi vill ”få bort”.

Genom att subtrahera $3x$ i båda led får vi

$3x=12x^2$

$3x-3x=12x^2-3x$

$0=12x^2-3x$

Vi har nu fått ena ledet lika med noll. Resten av lösningen hittar du i förklaringen på uppgiften.

Skulle vi, som du föreslog, dividerat med $3x$ skulle vi istället få resultatet

$\frac{3x}{3x}=\frac{12x^2}{3x}$

$1=4x$

$x=\frac14$

vilket ger en av lösningarna. MEN. Vi förlorar lösningen $x=0$ . Lägg alltså på minnet att division med variabeln riskerar att någon lösning går förlorad! Bryt därför alltid i stället ut en eller flera variabler!

Zohir Alamour

2021-09-08

Jag tror att det finns något fel med lössning och förklaring.
det står så här: a.(3/2)=-1/2 multiplicera med (3/2) båda led
det bordde stå divition med både led inte multiplikation

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

2021-09-14

Hej,

det står multiplicera med $\frac23$ , vilket är inversen till $\frac32$ . Division med bråk genomförs genom att multiplicera med det inverterade bråket.

Jag skrev om förklaringen lite för att förtydliga. Hoppas det gick att förstå.

Marcus

2020-01-13

Jag fick dessutom aldrig klart för mig, vad innebär alla dessa X3:or i svars alternativen i jämföresle till X1?

Marcus

2020-01-13

”Exempel 1
Lös ekvationen”

Ekvationen beskrivs inte utöver detta utanför lösningen.

Endast Premium-användare kan kommentera.

Träna mer

E
0/19
C
0/4
A
0/0

Totalpoäng

0/23

e-uppgifter (15)

1.
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Vilken är den största möjliga faktorn som går att bryta ut från $2x^2-4x$ 2x²−4x ?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $2x$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar. ( $2x$ )

Rättad
Rättar...
2.
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Vilken är den största möjliga faktorn som går att bryta ut från $36x-18x^2$ 36x−18x² ?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $18x$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar. ( $18x$ )

Rättad
Rättar...
3.
(1/0/0)
E C A

B

P

PL

M

R 1

K

Din vän har fått tillbaka ett läxförhör och frågar dig vad som blivit fel. Välj det alternativ du tycker stämmer bäst.
- Läraren har rättat fel. Uppgiften är rätt!
- Du kan inte bryta ut $4x$ !
- Du har tyvärr brytit ut $4x$ ur den andra termen på ett felaktigt sätt!
- Om du byter ut parentesen mot ett gångertecken så blir det rätt!
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_R Korrekt val.
- Rättad
Rättar...

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Vilken är den största möjliga faktorn som går att bryta ut från $3x+9x^2$ 3x+9x² ?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $3x$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar. ( $3x$ )

Rättad
Rättar...
5. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Ange vilken av ekvationerna nedan som har lösningen

$x_{_1}=3$ x_₁=3 och $x_{_2}=4$ x_₂=4
- $\left(x+3\right)\left(x+4\right)=0$
- $\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0$
- $\left(3+x\right)\left(4-x\right)=0$
- $3x\left(x+4\right)=0$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_P Korrekt val. ( $\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0$ )
- Rättad
Rättar...
6. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Ange vilken av ekvationerna nedan som har lösningen

$x_{_1}=2$ x_₁=2 och $x_{_2}=-5$ x_₂=−5
- $\left(x+2\right)\left(x-5\right)=0$
- $\left(x-2\right)\left(x+5\right)=0$
- $\left(2+x\right)\left(5-x\right)=0$
- $2x\left(x-5\right)=0$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_P Korrekt svar. ( $\left(x-2\right)\left(x+5\right)=0$ )
- Rättad
Rättar...
7. Premium
(2/0/0)
E C A

B 1

P 1

PL

M

R

K

Lös ekvationen $(x-2)(x-3)=0$ (x−2)(x−3)=0
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $x_1=2$ och $x_2=3$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Visar förståelse för att lösningarna ges då en av parenteserna antar värdet noll.
+1 e_P Redovisad lösning med korrekt svar. ( $x_1=2$ och $x_2=3$ )

Rättad
Rättar...
8. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

En av lösningarna till ekvationen

$3x^2+15x=0$ 3x²+15x=0 är $x_1=0$ x₁=0.

Vilken är den andra?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $x=-5$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Redovisad lösning med korrekt svar. ( $x=-5$ )

Rättad
Rättar...
9. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

En av lösningarna till ekvationen

$4x+2x^2=0$ 4x+2x²=0 är $x_1=0$ x₁=0

Vilken är den andra?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $x=-2$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Redovisad lösning med korrekt svar. ( $x=-2$ )

Rättad
Rättar...
10. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Lös ekvationen $x^2+10x=0$ x²+10x=0
- $\begin{cases} x_1=2 \\ x_2=-2 \end{cases}$
- $\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=-2 \end{cases}$
- $\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=-10 \end{cases}$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_P Korrekt svar.
- Rättad
Rättar...
11. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Lös ekvationen $x^2-3x=0$ x²−3x=0
- $x=0$
- $\begin{cases} x_1= 0 \\ x_2=-3 \end{cases}$
- $\begin{cases} x_1= 0 \\ x_2=3 \end{cases}$
- $x_1=0$ och $x_2=6$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 e_P Korrekt svar.
- Rättad
Rättar...
12. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Lös ekvationen $3x^2+6x=0$ 3x²+6x=0
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=-2 \end{cases}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar. ( $\begin{cases} x_1=0 \\ x_2=-2 \end{cases}$ )

Rättad
Rättar...
13. Premium
(1/0/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K
M

Lös ekvationen $3x=12x^2$ 3x=12x²
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $\begin{cases} x_3=0 \\ x_2=\frac{1}{4} \end{cases}$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_P Korrekt svar. ( $\begin{cases} x_3=0 \\ x_2=\frac{1}{4} \end{cases}$ )

Rättad
Rättar...
14. Premium
(2/0/0)
E C A

B 1

P 1

PL

M

R

K

Lös ekvationen $(2x-8)(x-4)=0$ (2x−8)(x−4)=0
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $x=4$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_B Visar förståelse för att lösningarna ges då en av parenteserna antar värdet noll.
+1 e_P Korrekt svar. ( $x=4$ )

Rättad
Rättar...
15. Premium
(3/0/0)
E C A

B

P

PL 2

M

R 1

K

Anna spelar brännboll. Bollens bana i luften kan beskrivas med ekvationen $h\left(t\right)=8t-2t^2$ h(t)=8t−2t² , där $h$ h är bollens höjd i luften och $t$ t är tiden i sekunder efter att bollen slagits iväg. Modellen börjar dock gälla först efter $0,2$ 0,2 sekunder.

Efter hur många sekunder slår bollen i marken, om inte någon tar lyra?
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $4$ sekunder
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 e_PL Godtagbar ansats tex sätter $h\left(t\right)=0$ .
+1 e_PL Redovisad lösning med korrekt svar. ( $4$ sekunder)
+1 e_R Eleven visar förståelse för att $t=0$ inte är en lösning.

Rättad
Rättar...

c-uppgifter (3)

16. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K
M

Lös ekvationen $2x^3-8x=0$ 2x³−8x=0

Ange svaret med x=… , x=… , x=… osv.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $x_1=0$ , $x_2=2$ och $x_3=-2$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_P Redovisad lösning med korrekt svar. ( $x_1=0$ , $x_2=2$ och $x_3=-2$ )

Rättad
Rättar...
17. Premium
(0/1/0)
E C A

B

P 1

PL

M

R

K

Lös ekvationen $ax^2-bx=0$ ax²−bx=0
- $\begin{cases} x_3=a \\ x_2=b \end{cases}$
- $\begin{cases} x_3=0 \\ x_2=b \end{cases}$
- $\begin{cases} x_3= 0 \\ x_2=\frac{a}{b} \end{cases}$
- $\begin{cases} x_3=0 \\ x_2=\frac{b}{a} \end{cases}$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
- +1 c_P Korrekt svar.
- Rättad
Rättar...
18. Premium
(0/2/0)
E C A

B

P 1

PL 1

M

R

K

Bestäm $a$ a så att andragradsekvationen $(ax+\frac{1}{2})(3-x)=0$ (ax+12 )(3−x)=0 har en lösning $x=$ x= $\frac{3}{2}$ 32 .

Svara på formen a/b eller -a/b.
Svar:

Ditt svar:
Rätt svar: $a=-1/3$
(Korrekta varianter)
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
+1 c_PL Godtagbar anstat tex ersätter variabeln med dess värde.
+1 c_P Redovisad lösning med korrekt svar. ( $a=-\frac{1}{3}$ )

Rättad
Rättar...

Nästa lektion: PQ – formeln

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

PROVA GRATIS

Så hjälper Eddler dig:

Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

Eddler AB
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
info@eddler.se

Säker SSL-server

Vad är detta?

Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)

Förhandsvisning Latex:

Latexkod:

Matematik 2b

Välj kurs

KURSER /

Matematik 2b

/ Andragradsekvationer

Nollproduktmetoden

Författare:Simon Rybrand

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Så fungerar Nollproduktmetoden

Exempel 1

Lösning

Faktorisera innan Nollproduktmetoden

Exempel

Exempel 2

Lösning

Exempel 3

Lösning

Exempel i videon

Kommentarer

Amir Ocuz

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

Johan Hiljanen

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

Tuva Rodahl

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

evertgoran

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

Zohir Alamour

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

Marcus

Marcus

Endast Premium-användare kan kommentera.

1.

2.

3.

Allt du behöver för att klara av nationella provet

Allt du behöver för att klara av nationella provet

4. Premium

5. Premium

6. Premium

7. Premium

8. Premium

9. Premium

10. Premium

11. Premium

12. Premium

13. Premium

14. Premium

15. Premium

16. Premium

17. Premium

18. Premium

Eddler

VÅR TJÄNST

POPULÄRA KURSER

FÖRETAGSINFO

LADDAR DOKUMENT...

LADDAR GEOGEBRA...