00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3
BC
/  Primitiva funktioner och integraler

Primitiva Funktioner med villkor

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Den primitiva funktionen och konstanten C 

När man ska bestämma alla, eller som man brukar säga, samtliga primitiv funktion till en given funktion lägger man till en konstant. Ofta betecknas den med bokstaven CCC i samband med primitiva funktioner. 

Konstanten C och primitiva funktioner

Derivatan av en konstant är alltid lika med noll. Därför, när vi söker samtliga primitiva funktioner, lägger vi alltid till en konstant CCC. Detta eftersom att vi när vi deriverar F(x)F\left(x\right)F(x), alltid kommer få f(x)f\left(x\right)ƒ (x) oavsett värdet på konstanten, eftersom att den försvinner vid derivering.

Primitiva funktioner

Man skiljer alltså på uppgiften att ta fram en primitiv funktion, där konstanten  CCC  ges ett värde, och på samtliga primitiva funktioner, där du behåller variabeln  CCC som konstant. Det är dock bra att lägga till sig vanan att alltid sätta dit ett CCC, så att du slipper avdrag när du missar den.

Hur påverkar en konstant grafen?

En konstant förskjuter grafen i höjdled uppåt och nedåt. Ingenting i sidled. Eftersom att derivatan motsvarar tangentens lutning i en punkt kommer derivatan vara identisk eftersom att tangentens lutning är den samma oavsett om hela kurvan förskjuts uppåt eller neråt.

Förskjutning av kurva i höjdled

Det är därför de funktioner som beskrivs av uttryck som är lika, förutom med en skillnad på kontanttermen, har samma derivata. Det i sin tur leder till att vi får samtliga primitiva funktioner genom att lägga till en konstant  CCC i uttrycket.

Vad är ett villkor?

Ett villkor är något som ska gälla. I samband med primitiva funktioner handlar det ofta om att du ska bestämma konstanten CCC så att funktionen går i genom en given punkt eller har någon tangent med en bestämt lutning i en punkt.

Metod för att ta fram primitiva funktion med villkor

Idén med att beräkna primitiva funktioner med villkor är att bestämma konstanten  CCC. Detta kan vara en metod att följa.

  1. Ta fram en primitiv funktion.
  2. Lägg till en konstant CCC.
  3. Använd villkoret för ställa upp en ekvation för att bestämma konstanten.
  4. Ange den fullständiga primitiva funktionen med den beräknade konstanten.

Exempel 1

Bestäm F(x)F\left(x\right)F(x) då  f(x)=2xf(x)=2xƒ (x)=2x  och  F(2)=3F\left(2\right)=3F(2)=3 

Lösning

Enligt regeln ska vi addera exponenten med ett och sedan dividera med den nya exponenten. Till sist adderar vi en konstant. Vi får att den primitiva funktionen är

 F(x)=x2+CF(x)=x^2+CF(x)=x2+C 

Vi sätter nu in villkoret  F(2)=3F\left(2\right)=3F(2)=3 för att bestämma  CCC.

 3=22+C3=2^2+C3=22+C 
 3=4+C3=4+C3=4+C 
 C=1C=-1C=1 

Vår sökta funktion är  F(x)=x21F\left(x\right)=x^2-1F(x)=x21 

Exempel 2

Bestäm F(x)F\left(x\right)F(x) då f(x)=3x2f(x)=3x^2ƒ (x)=3x2 och F(2)=10F\left(2\right)=10F(2)=10 

Lösning

Vi börjar med att bestämma samtliga primitiva funktioner.

  F(x)=x3+CF(x)=x^3+CF(x)=x3+C 

Genom att sätta in punkten (2, 10)\left(2,\text{ }10\right)(2, 10) i uttrycket kan vi bestämma  CCC.

 10=23+C10=2^3+C10=23+C 
 10=8+C10=8+C10=8+C 
 C=2C=2C=2 

Den primitiva funktion F(x)F\left(x\right)F(x) som uppfyller villkoret F(2)=10F\left(2\right)=10F(2)=10  är F(x)=x3+2F\left(x\right)=x^3+2F(x)=x3+2 

I kommande lektioner ska vi använda oss av dessa primitiva funktioner för att bestämma areor under kurvor. Dessa areor motsvarar olika saker i tillämpningen, tex hur långt en bil kört eller hur mycket man tjänat under en viss tidsperiod. Men mer om detta i kommande lektioner.

Exempel i videon

  • Bestäm den primitiva funktion till f(x)=2x2+2 f(x)=2x^2+2 som uppfyller villkoret att F(1)=10 F(1)=10 .
  • Bestäm den primitiva funktionen till f(x)=sinx+3cosx f(x)=sinx+3cosx som uppfyller villkoret att F(0)=πF(0)=\pi.