Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
Den primitiva funktionen och konstanten C
När man ska bestämma alla, eller som man brukar säga, samtliga primitiv funktion till en given funktion lägger man till en konstant. Ofta betecknas den med bokstaven CC i samband med primitiva funktioner.
Derivatan av en konstant är alltid lika med noll. Därför, när vi söker samtliga primitiva funktioner, lägger vi alltid till en konstant CC. Detta eftersom att vi när vi deriverar F(x)F(x), alltid kommer få f(x)ƒ (x) oavsett värdet på konstanten, eftersom att den försvinner vid derivering.
Man skiljer alltså på uppgiften att ta fram en primitiv funktion, där konstanten CC ges ett värde, och på samtliga primitiva funktioner, där du behåller variabeln CC som konstant. Det är dock bra att lägga till sig vanan att alltid sätta dit ett CC, så att du slipper avdrag när du missar den.
Hur påverkar en konstant grafen?
En konstant förskjuter grafen i höjdled uppåt och nedåt. Ingenting i sidled. Eftersom att derivatan motsvarar tangentens lutning i en punkt kommer derivatan vara identisk eftersom att tangentens lutning är den samma oavsett om hela kurvan förskjuts uppåt eller neråt.
Det är därför de funktioner som beskrivs av uttryck som är lika, förutom med en skillnad på kontanttermen, har samma derivata. Det i sin tur leder till att vi får samtliga primitiva funktioner genom att lägga till en konstant CC i uttrycket.
Vad är ett villkor?
Ett villkor är något som ska gälla. I samband med primitiva funktioner handlar det ofta om att du ska bestämma konstanten CC så att funktionen går i genom en given punkt eller har någon tangent med en bestämt lutning i en punkt.
Metod för att ta fram primitiva funktion med villkor
Idén med att beräkna primitiva funktioner med villkor är att bestämma konstanten CC. Detta kan vara en metod att följa.
- Ta fram en primitiv funktion.
- Lägg till en konstant CC.
- Använd villkoret för ställa upp en ekvation för att bestämma konstanten.
- Ange den fullständiga primitiva funktionen med den beräknade konstanten.
Exempel 1
Bestäm F(x)F(x) då f(x)=2xƒ (x)=2x och F(2)=3F(2)=3
Lösning
Enligt regeln ska vi addera exponenten med ett och sedan dividera med den nya exponenten. Till sist adderar vi en konstant. Vi får att den primitiva funktionen är
F(x)=x2+CF(x)=x2+C
Vi sätter nu in villkoret F(2)=3F(2)=3 för att bestämma CC.
3=22+C3=22+C
3=4+C3=4+C
C=−1C=−1
Vår sökta funktion är F(x)=x2−1F(x)=x2−1
Exempel 2
Bestäm F(x)F(x) då f(x)=3x2ƒ (x)=3x2 och F(2)=10F(2)=10
Lösning
Vi börjar med att bestämma samtliga primitiva funktioner.
F(x)=x3+CF(x)=x3+C
Genom att sätta in punkten (2, 10)(2, 10) i uttrycket kan vi bestämma CC.
10=23+C10=23+C
10=8+C10=8+C
C=2C=2
Den primitiva funktion F(x)F(x) som uppfyller villkoret F(2)=10F(2)=10 är F(x)=x3+2F(x)=x3+2
I kommande lektioner ska vi använda oss av dessa primitiva funktioner för att bestämma areor under kurvor. Dessa areor motsvarar olika saker i tillämpningen, tex hur långt en bil kört eller hur mycket man tjänat under en viss tidsperiod. Men mer om detta i kommande lektioner.
Exempel i videon
- Bestäm den primitiva funktion till f(x)=2x2+2 som uppfyller villkoret att F(1)=10.
- Bestäm den primitiva funktionen till f(x)=sinx+3cosx som uppfyller villkoret att F(0)=π.
Kommentarer
e-uppgifter (6)
1.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Vilket värde på CC uppfyller villkoret att F(3)=7F(3)=7 då F(x)=x2+CF(x)=x2+C ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm den primitiva funktion till f(x)=2x+3x2ƒ (x)=2x+3x2 som uppfyller villkoret att F(1)=−2F(1)=−2
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm den primitiva funktion till f(x)=2x3−9ƒ (x)=2x3−9 som uppfyller villkoret att F(2)=3F(2)=3
Svar:Ditt svar:Rätt svar: F(x)=0,5x4−9x+13(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Vilket värde på CC uppfyller villkoret att F(0)=F(0)= 4554 då F(x)=ex+CF(x)=ex+C?
Svar:Ditt svar:Rätt svar: c=41(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...5. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm den primitiva funktion till f(x)=e2xƒ (x)=e2x som uppfyller villkoret F(0)=10F(0)=10
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(2/0/0)E C A B P 2 PL M R K Bestäm den primitiva funktion till f(x)=ƒ (x)=x44√x som uppfyller villkoret F(4)=16F(4)=16
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (2)
7. Premium
(1/1/0)E C A B P 1 1 PL M R K Bestäm den primitiva funktion till f(x)=12x3+4xƒ (x)=12x3+4x vars graf går genom punkten (1, 0)(1, 0).
Svar:Ditt svar:Rätt svar: f(x)=3x4+2x2−5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...8. Premium
(0/2/0)E C A B P PL 1 M 1 R K Mellan åren 20052005 och 20152015 ökade befolkningen i en stad exponentiellt enligt funktionen N′(t)=18e−0,18tN’(t)=18e−0,18t , tt år efter 20052005. År 20052005 bodde det 18 00018 000 invånare i staden.
Vilken beräkning nedan ger dig möjligheten att beräkna folkmängden år 20102010?
Träna på att själv ta fram modellen först utan att kolla på alternativen.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (2)
9. Premium
(0/0/4)E C A B P 1 PL 1 M 1 R 1 K I uppvisningssammanhang har piloter startat det stora passagerarflygplanet Boeing Dreamliner i princip vertikalt rakt uppåt. Liv vill prova att göra samma sak med sitt radiostyrda modellflygplan.
Antag att accelerationen i höjdled a(t)a(t) m/s² under tidsintervallet 0≤t≤50≤t≤5 kan beskrivas med funktionen a(t)=12+4ta(t)=12+4t där tt motsvarar antalet sekunder efter start.
Bestäm med hjälp av följande information en funktion som beskriver planets höjd h(t)h(t) över marken efter tt sekunder.
1) v(2)=25v(2)=25 m/s där v(t)v(t) är planets hastighet rakt uppåt efter tt sekunder.
2) h(0)=0h(0)=0 m där h(t)h(t) är planets höjd över marken efter tt sekunder.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: h(t)=6t2+32t3−7t(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...10. Premium
(0/0/4)E C A B 1 P 1 PL 1 M R K 1 Linjen y=64x−120y=64x−120 är en tangent till funktionen F(x)F(x). Bestäm F(x)F(x) då funktionen F(x)F(x) även är en primitiv funktion till f(x)=8x3ƒ (x)=8x3 .
Svar:Ditt svar:Rätt svar: F(x)=2x4−24(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Josefine Wessman
Jag skrev -x^2+6x+C men det visades som fel svar. Men i facit står det att jag kan skriva så. Blir förvirrat när det säger två olika saker!
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Josefine,
det beror kanske på att du inte skrev med F(X)= i ditt svar. Kan det varar därför?
Simon Rajak
Hej!
Jag har en fråga angående fråga 9?
Ni får att C = -8
Men hur det möjligt?
8 = 32 + C
C = -24
Den primitiva funktion skall väll vara?
F(x) = 2x^4-24
Eller har jag fel?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Definitivt fel i slutet av den uträkningen, vi ordnar detta. Tack för att du sade till!
Rasmus Mononen
Uppgift 5 och uppgift 8:
Svaret i uppgift 5 står idag som f(x), men det är en primitiv funktion som söks, och i genomgång skrivs primitiv funktion som F(x). Sen får man fel om man skriver x^1/2 istället för rotenurx.
I uppgift 8 är funktionen v(2)=25 given, men i funktionen är siffran 5 instoppad, vilket ger -85 istället för -7 som man får om man stoppar in siffran 2 i funktionen.
// Rasmus
Henning Wennberg
Hej, har fastnat på två uppgifter som jag hoppas ni kan hjälpa mig med.
1.Bestäm den primitiva funktionen F(x) till f(x)= (2x+1/2)^2?
2 .Bestäm den primitiva funktion F(x) till f (x) = 2 − e^-x som uppfyller villkoret F(0) = −1.
Tack på förhand!
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, kan dessa tips hjälpa dig vidare?
1. Utveckla först kvadraten, dvs räkna ut vad du får när du har upphöjt till 2.
2. Den primitiva funktion är F(x)=2x+e−x och lös sedan ekvationen F(0)=−1
sofia_becklund@hotmail.com
Men vart kommer fyran ifrån i 4+C= 10?
Haha fattar inte 🙂
Och vad menar du med ”det andra villkoret”?
Mvh
Pedro Veenekamp
Villkoret säger att f(2)=10m då sätter vi x=2 i funktionen f(x)=2x+C
Alltså f(2)=2*2+C=4+C som blir då 10 -> 10= 4+C
Andra villkoret är att primitiva funktionen av f(x) som representeras F(x) är lika med 20 när x=5 -> F(5)=20
sofia_becklund@hotmail.com
Hej!
Jag har fastnat på en uppgift som ser ut såhär:
Om en funktion f vet man följande: f´(x)=2, f(2)= 10 och F(5)=20. Bestäm F.
Hur ska jag bestämma F?
Mvh
Simon Rybrand (Moderator)
Eftersom att du vet derivatan så kan du ta primitiv funktion och få fram att
f(x)=2x+C⇔
Använd nu villkoret att f(2)=10 och ställ upp ekvationen
4+C=10⇔
C=6
Då får vi att f(x)=2x+6
Sedan tar du primitiv funktion på detta igen och använder det andra villkoret, säg till om du behöver mer hjälp med detta.
Simon Lundblad Roth
Hej, har problem med denna. Skulle jag kunna få lite vägledning.
Bestäm den primitiva funktion F(x) till funktionen f(x)=x+x^3/3, som uppfyller villkoret F(-1)=1
Simon Rybrand (Moderator)
Primitiv funktion:
f(x)=x+3x3
F(x)=2x2+12x4+C
Ta reda på konstanten C
F(−1)=1⇔
21+121+C=1⇔
126+121+C=1⇔
127+C=1
C=1−127=1212−127=125
Den primitiva funktionen blir
F(X)=2x2+12x4+125
Gitte Timan
Exemplen med primitiva funktionen till sinx och cosx hör inte hemma i Ma3c
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, vi skall kika på att plocka bort trigonometriska funktioner ur denna video, det är en kvarleva från Matematik D.
yussuf
Bra video, men sista exemplet är inte uppdaterat med trean så det blir F(x)= – cos x + 3 sin x + pi +1. Jag fastnade lite och funderade på detta så därför detta påpekande:)
Simon Rybrand (Moderator)
Bra att du sade till, vi har missat detta! Videon är uppdaterad och förnyad.
nti_ma3
Hej varför blir det F(x)= -cos x + sin x + pi + 1, borde det inte var 3 sin x, eftersom f(x)=sin x + 3 cos x?
MvH Fredrik
nti_ma3
Nu var jag otydlig, menar alltså F(x)= – cos x + 3 sin x + pi +1.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, jepp det stämmer som du säger, vi har missat att ta med 3:an där i slutet. Vi uppdaterar videon så fort som möjligt. Tack för att du påpekade detta!
Cressell
Hej,
på testa dig själv-delen undrar jag varför primitiva funktionen av sin(2x) blir -cos 2x/2 och inte bara -cos2x? Varför ska man även dela det med konstanten framför variabeln, ifall det finns en sådan?
Cressell
Hittade svaret när jag såg videon om Kedjeregeln 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Bra att höra! 🙂
soulpat
03:40 in i videon. Blir inte -cos(pi)=1? Det står -1 i videon.
Jag tänker såhär: -(-1)=1
soulpat
Nu tänkte jag helt fel. Glöm min fråga 🙂
BE
Hej! Jag undrar vart 3an framför sin försvinner?
/ BE
Simon Rybrand (Moderator)
Hej BE, om det är från uppgiften i videon som du ställer frågan så försvinner trean framför sinus genom att sin0 = 0. Dvs för att när du multiplicerar 3 med 0 så får du 0. Var det så du menade?
BE
Alright, nu hänger jag med! Tack! 🙂
Endast Premium-användare kan kommentera.