00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 2
BC
/  Geometri
Geometri

Randvinkelsatsen

Författare:Simon Rybrand Anna Karp
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Randvinkelsatsen beskriver förhållandet mellan en medelpunktsvinkel och en randvinkel i en cirkel. Den säger att medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som randvinkeln.

Med denna sats kan vi beräkna vinklar och genomföra bevis. Vi börjar med att definiera några begrepp innan vi tittar närmre på satsen.

Randvinkeln i en cirkel är en vinkeln mellan två kordor som träffar varandra i en punkt som ligger på cirkeln.

Medelpunktsvinkeln är vinkeln i cirkelns medelpunkt mellan radierna till två punkter på cirkelns periferi.

 Utifrån dessa två begrepp kan vi nu definiera randvinkelsatsen som beskriver ett enkelt samband mellan dessa.

Randvinkelsatsen

 $y=2x$y=2x 

Medelpunktsvinkeln $y$y är dubbelt så stor som randvinkeln $x$x på samma cirkelbåge.

Observera att detta samband endas gäller för randvinklar och medelpunktsvinklar som utgår från samma cirkelbåge.

Exempel 1

Exempel 1 randvinkelsatsen

Bestäm vinkeln $y$y.

Lösning

Randvinkelsatsen säger att $y$y är dubbelt så stor som $x$x. Det ger att

 $y=2\cdot32^{\circ}=64^{\circ}$y=2·32∘=64∘ 

Följden av randvinkelsatsen blir därför att randvinkeln $x$x är hälften så stor som medelpunktsvinkeln $y$y. Det kan vi skriva så här.

 $x=\frac{y}{2}$x=y2 

Ett viktigt villkor

Vi vill göra dig uppmärksam på att randvinkelsatsens samband bara gäller för vinklar som utgår från samma cirkelbåge. Med det menas de vinklar vars vinkelbenen utgår från samma punkter på cirkeln.

Dess utom gäller att en randvinkeln alltid återfinns på den del av cirkeln som inte ingår i cirkelbågen.

Många randvinklar till samma medelpunktsvinkel

På en cirkelbåge finns bara en enda medelpunktsvinkel, men oändligt många randvinklar. Eftersom att de alla är dubbelt så stora som medelpunktsvinkeln är de alla lika stora.

Exempel 2

Bestäm vinkeln xxx.

Lösning

Randvinkelsatsen säger att alla randvinklar som tillhör samma vinkelbåge är lika stora.

Det ger att x=48∘x=48^{\circ}x=48∘ 

Exempel 3

Bestäm vinklarna xxx och zzz.
Exempel 2 randvinkelsatsen

Lösning

Här gäller att xxx och zzz har samma medelpunktsvinkel som är 110∘110^{\circ}110∘.

Dvs  x=z=1102=55∘x=z=\frac{110}{2}=55^{\circ}x=z=1102 =55∘ 

Olika sätt att rita ut Randvinkelsatsen – Olika fall

Man kan rita ut dessa vinklar på cirkeln på lite olika vis. För alla fall så gäller randvinkelsatsen. Det kan dock vara bra att du har sett dessa fall för att känna igen att randvinkelsatsen gäller.

Randvinkelsatsens olika fall

I alla figurer gäller att y=2xy=2xy=2x.

Figur 1

I figur 1 har vi det klassiska fallet av randvinkelsatsen. Bägge vinklars ben utgår från samma punkter på cirkeln.

Figur 2

I figur 2 sammanfaller randvinkelns- och medelpunktsvinkeln ena ben med varandra.

Figur 3

I figur 3 skär två av benen varandra.

Figur 4

I figur 4 så befinner sig medelpunktsvinkeln ”på andra sidan”. Randvinkelsatsen kan där inte gälla på samma vinkelsida som i övriga figurer. Detta för att randvinkeln befinner sig på den sidans cirkelbåge. Sambandet gäller dock fortfarande men på det sättet som det är utritat i figuren.

Exempel 3

Bestäm vinklarna xxx och yyy.
Exempel 3

Lösning

 xxx är inte medelpunktsvinkel till yyy.

Istället kan vi använda att ett helt varv på cirkeln är 360∘360^{\circ}360∘.

 x=360−250=110∘x=360-250=110^{\circ}x=360−250=110∘ 

 yyy är randvinkel till den medelpunktsvinkeln 250∘250^{\circ}250∘. 

 y=y=y= 250∘2\frac{250^{\circ}}{2}250∘2          beräkna HL

 y=125∘y=125^{\circ}y=125∘ 

Nästa lektion: Topptriangelsatsen

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server