00:00
00:00
KURSER  / 
Övningsgeneratorn
/  Övningsgeneratorn

Sannolikheter i flera steg

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Här lär du dig att beräkna sannolikheter i flera steg och multiplikationsprincipen för sådana sannolikheter.

Så fungerar sannolikheter i flera steg

En sannolikhet i flera steg kan sägas vara en sannolikhet där flera saker skall ske i följd, t.ex. att du slår tre ettor i följd när du kastar tärning eller missar bussen två gånger i rad. Då använder man den så kallade Multiplikationsprincipen för att beräkna den totala sannolikheten för att alla gynnsamma händelser ska inträffa i följd.

Multiplikationsprincipen

Om sannolikheten för en första händelse är P(A)P(A) och följande händelse är P(B)P(B) så är sannolikheten för att de bägge sker i följd P(A)P(B)P(A)\cdot P(B)

Vi kan utöka till ännu fler önskade händelser i följd, genom att multiplicera var händelses sannolikhet med varandra.

Exempel 1

Ange sannolikheten för att slå tre ettor i följd när du kastar en tärning.

Lösning

När man skriver en tärning menar man underförstått att det är en helt vanlig tärning och den har sex unika sidor. Det innebär att sannolikheten för att få den sida med en prick att hamna uppåt, vilket innebär att slå en etta, är 16\frac{1}{6}16 .

Med multiplikationsprincipen får vi sannolikheten för att denna händelse ska upprepa sig tre gånger i följd, genom att multiplicera sannolikheten för vart kast med varandra. Vi får

P(Tre ettor)= P( \text{Tre ettor} ) = 161616=1216\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{216}16 ·16 ·16 =1216  

Det kan även vara bra att veta att sannolikheten i ett sådant här exempel inte påverkas om man kastar tre tärningar samtidigt eller samma tärning tre gånger efter vartannat. Detta efter som att varje kast med tärningen är helt oberoende av det föregående kastet. Resultatet på tärningskastet är obundet till tiden.

Däremot finns det tillfällen då händelsens tidpunkt påverkar sannolikheten av utfallet.

Oberoende händelser

Man kan dela upp olika händelser i oberoende och beroende. Och precis som det låter så är varje utfall till en oberoende händelser inte beroende av tidigare utfall. Vanliga exempel på detta är att kasta en tärning eller snurra på ett lyckohjul. Dessa händelser är oberoende.

Exempel 2

Du kastar en tärning och får en sexa! Du kastar igen och undrar: ”Har min chans minskat eller ökat nu eftersom att jag fick en sexa förra kastet?” Vilket påstående stämmer bäst?

A. Din chans har minskat, eftersom att att händelsen H={Fa˚ en sexa}H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}H={Få en sexa} är en beroende händelse.

B. Din chans har ökat, eftersom att att händelsen H={Fa˚ en sexa}H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}H={Få en sexa} är en beroende händelse.

C. Din chans är oförändrad, eftersom att att händelsen H={Fa˚ en sexa}H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}H={Få en sexa} är en oberoende händelse.

Lösning

Alternativ C stämmer bäst. Kommande kast med en tärning påverkas inte av tidigare kast och händelsen H={Fa˚ en sexa}H=\left\{\text{Få en sexa}\right\}H={Få en sexa}  är därför en oberoende händelse.

Beroende händelser

En beroende händelse är en händelse där utfallet påverkas av en andra händelser. Vanlig exempel på detta är att dra ett antal kort efter varandra i en kortlek eller ta godisbitar ur en påse. Utfallet på nästa händelse, ex ta en godis ur påsen, kommer att påverkas av vilka godisar du redan tagit från påsen och därmed påverka sannolikheten att du får just den bit du hoppats på.

Exempel 3

Du tar en godis ur din godis påse som bara innehåller två hallonbåtar och tio lakritsbåtar. Du får en lakrisbåt! Du tar en till och undrar: ”Har min chans att få en lakritsbåt till minskat eller ökat nu eftersom att jag fick en lakritsbåt förra gången?” Vilket påstående stämmer bäst?

A. Din chans har minskat, eftersom att att händelsen H={Fa˚ en lakritsba˚t}H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}H={Få en lakritsbåt} är en beroende händelse.

B. Din chans har ökat, eftersom att att händelsen H={Fa˚ en lakritsba˚t}H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}H={Få en lakritsbåt} är en beroende händelse.

C. Din chans är oförändrad, eftersom att att händelsen H={Fa˚ en lakritsba˚t}H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}H={Få en lakritsbåt} är en oberoende händelse.

Lösning

Alternativ A stämmer bäst. Vilken godis du redan har tagit ur påsen kommer att påverka vilka godisar som finns kvar i påsen. Och då du tidigare fick en lakritsbåt, finns det en mindre andel lakritsbåtar kvar i påsen, vilken minskar sannolikheten att du får en sådan. Därför händelsen H={Fa˚ en lakritsba˚t}H=\left\{\text{Få en lakritsbåt}\right\}H={Få en lakritsbåt} är en beroende händelse.

Komplementhändelse

En händelse som motsvarar alla utfall som inte ingår i en given händelse kallas för komplementhändelse. Summan av en händelses sannolikhet och dess komplementhändelses sannolikhet är alltid 111.

Komplementhändelse

Om  AcA^cAc är komplementhändelse till händelse AAA gäller att

 P(A)+P(Ac)=1P\left(A\right)+P\left(A^c\right)=1P(A)+P(Ac)=1 

Med hjälp av komplementhändelsen kan beräkna sannolikheten för en händelse genom att subtrahera 111 med komplementhändelsen.

Exempel 4

Mats hör på radion att sannolikheten för regn på förmiddagen är 20 %20\text{ }\%20 %.

a) Vad är komplementhändelsen till P(Regn)P\left(\text{Regn}\right)P(Regn)?

b) Bestäm sannolikheten för komplementhändelsen.

Lösning

a) Komplementhändelsen till P(Regn)P\left(\text{Regn}\right)P(Regn) är  P(Inte regn)P\left(\text{Inte regn}\right)P(Inte regn). Frestas inte att tro att det innebär att solen kommer skina. De kan lika gärna vara molnigt. Händelsen anger endast regn vilket ger att summan av alla andra väder har det gemensamma att  det inte regnar.

b) Då sannolikheten för  P(Regn)=0,2P\left(\text{Regn}\right)=0,2P(Regn)=0,2  är komplementhändelsens sannolikhet

 10,2=0,81-0,2=0,810,2=0,8 

Så sannolikheten för att det inte kommer regna på förmiddagen uppskattas till 80 %80\text{ }\%80 %.

Om uppgiften kräver att du behöver beräkna flera olika sannolikheter för att hitta ditt svar kan det ibland vara mer effektivt att beräkna komplementhändelsen.

Exempel 5

I en byrålåda ligger röda, vita och blå sockor. Totalt finns det 19 stycken sockor varav 10 stycken är vita. Det finns dubbelt så många röda som blå sockor. Vilken är sannolikheten att man får upp en blå eller röd socka om man slumpmässigt tar ur en socka ur lådan?

Lösning

I stället för att beräkna sannolikheten för att få en blå socka eller en röd socka och addera dessa kan vi använda komplementhändelsen och spara lite arbete. Händelsen ”Få en vit socka” är komplementhändelse till händelsen ”Få en blå eller röd socka”. 

Vi får då att

 P(Fa˚ en vit socka)=P\left(\text{Få en vit socka}\right)=P(Få en vit socka)=1019\frac{10}{19}1019  

Och då summan av en händelse och komplementhändelsen är lika med 111 får vi att

 1P(Fa˚ en vit socka) =P(Fa˚ en bla˚ eller ro¨d socka) 1-P\text{(Få en vit socka) }=P\text{(Få en blå eller röd socka) }1P(Få en vit socka) =P(Få en blå eller röd socka)  

vilket ger oss sannolikheten

 11-1 1019=19191019=919\frac{10}{19}=\frac{19}{19}-\frac{10}{19}=\frac{9}{19}\approx1019 =1919 1019 =919  0,470,470,47  

Detta motsvarar ca 47 %47\text{ }\%47 % chans att få en blå eller röd socka.

De finns tillfällen då komplementhändelsen är bra mycket lättare att beräkna än händelsen i sig och man på så vis kan spara en massa tid och räknearbete genom att utnyttja detta. Vi tittar med på det i lektionen Träddiagram.

Exempel i videon

  • Vad är sannolikheten att dra två damer på raken ur en kortlek med 52 kort?
  • Pelle skall kasta tre tärningskast i följd. Vad är sannolikheten att han först får en femma, sedan en fyra och sist en sexa?
  • Du kastar en tärning tre gånger i följd, vad är sannolikheten att du får minst en tvåa?