Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik Nivå 1
/ Träddiagram
Träddiagram
Innehåll
Träddiagram används för att beräkna sannolikheter i flera steg där flera vägar är möjliga.
I ett träddiagram redovisas alla olika utfall för att förenkla beräkning av sannolikheter i flera steg. Det kommer till störst nytta då det finns olika grenar, vilket motsvarar olika möjliga vägar, att nå fram till det önskade resultatet.
Sannolikheten för en gren
Genom att leta reda på den gren som motsvarar det önskade utfallet kan vi beräkna sannolikheten för just den kombination av utfall som motsvarar grenen. Den gör vi med hjälp av multiplikationsprincipen.
Multiplikationsprincipen
Multiplikationsprincipen säger att sannolikheten längs en gren ges av produkten av sannolikheterna längs grenen.
Vi tittar på ett exempel där detta kan tillämpas.
Exempel 1
Kasta en tärning fyra gånger. Hur stor är sannolikheten att få en sexa alla fyra kasten?
Lösning
Det finns bara ett resultat som du önskar varje kast. Nämligen att tärningen ska visa en sexa. Det är detta vi kallar för det gynnsamma utfallet. Det finns alltså ett gynnsamt utfall i varje kast.
De finns sex möjliga resultat, det vi kallar möjliga utfall. Det är resultaten att tärningen visar en etta, två trea fyra femma eller en sexa.
Sannolikheten blir då
$P\left(\text{slå en sexa}\right)=$P(slå en sexa)= $\frac{\text{Önskad händelse}}{\text{Möjliga händelser}}=\frac{1}{6}$Önskad händelseMöjliga händelser =16
Med hjälp av ett träddiagram kan vi förtydliga sannolikheten av att få fyra sexor i rad.
Som du ser blir det en ganska komplext träddiagram. Man kan med fördel förenkla det genom att inte utveckla de grenar som inte är gynnsamma. Alltså så fort man stöter på ett utfall som ger att grenen inte är gynnsam, så ”kapar” med den. Alltså låter bli att rita ut resten av förgreningarna. Så här.
Enligt multiplikationsprincipen får vi sannolikheten genom att multiplicera sannolikheterna längs grenen. Vi får då att
sannolikheten att slå fyra sexor i rad är
$P\left(\text{Fyra sexor i rad}\right)=$P(Fyra sexor i rad)= $\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\left(\frac{1}{6}\right)^4\approx$16 ·16 ·16 ·16 =(16 )4≈ $7,7\cdot10^{-4}$7,7·10−4 vilket motsvarar ca $0,8‰$0,8‰ chans.
Varje ny förgrening motsvarar resultatet av ett försök och summan av var förgrenings sannolikheter ska vara $1$1 om hela utfallsrummet är med i träddiagrammet.
Flera gynnsamma grenar
Om flera grenar är gynnsamma får vi den totala sannolikheten genom att addera sannolikheten för alla gynnsamma grenar med varandra.
Sannolikheten i ett träddiagram
Sannolikheten för en händelse fås i ett träddiagram genom att summera de gynnsamma grenarnas sannolikheter.
Vi tittar på ett exempel där flera grenar motsvarar det önskade resultatet, det vill säga är gynnsamma.
Exempel 2
Kasta två tärningar. Hur stor är sannolikheten att få åtminstone en fyra?
Lösning
Vi ritar ett träddiagram för att åskådliggöra de olika utfallen.
Det finns tre utfall som är gynnsamma.
Händelsen A={Ej en fyra, En fyra}
Händelsen B={En fyra, Ej en fyra}
Händelsen C={En fyra, En fyra}
Vi får sannolikheten för varje gren med multiplikationsprincipen. Sedan adderar vi de gynnsamma grenarna för att få den totala sannolikheter för att få åtminstone en fyra.
$P\left(\text{åtminstone en fyra}\right)=$P(åtminstone en fyra)= $\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{11}{36}$56 ·16 +16 ·56 +16 ·16 =1136
vilket motsvarar ca $30\%$30% chans.
Komplementhändelse
I exemplet ovan ser vi att endast en gren inte är gynnsam. Nämligen den gren som motsvarar att man inte får någon fyra alls.
Vid beräkning av sannolikhet är det ibland enklare att beräkna sannolikheten för den utfall som inte är gynnsamt.
Eftersom att sannolikheten för alla utfall för en händelse är lika med $1$1, får vi att summan av den gynnsamma händelsen och alla de som inte är gynnsamma är lika med $1$1. Detta kan vi utnyttja ibland.
Låt oss återvända till exemplet ovan. Vi skulle sannolikheten att få åtminstone en fyra då vi kastade två tärningar. Som vi sa, så är det endast en gren som inte är gynnsam. Nämligen grenen som motsvarar att vi inte får någon fyra alls. Eftersom att summan av alla grenarna i träddiagrammet är lika med $1$1 får vi att $1-P\left(\text{Ingen fyra}\right)=P\left(\text{Åtminståne en fyra.}\right)$1−P(Ingen fyra)=P(Åtminståne en fyra.)
Dessa två händelser kassas varandras komplementhändelse.
Komplementhändelse
Om $A^c$Ac är komplementhändelse till händelse $A$A gäller att
$P\left(A\right)+P\left(A^c\right)=1$P(A)+P(Ac)=1
Vi beräknar exemplet om fyrorna ingen, fast nu med komplementhändelsen.
Exempel 3
Kasta två tärningar. Hur stor är sannolikheten att få åtminstone en fyra?
Lösning
Då $P\left(\text{Ingen fyra}\right)$P(Ingen fyra) är komplement händelse åt vår sökta händelse $P\left(\text{Åtminstone en fyra}\right)$P(Åtminstone en fyra) använder vi oss av komplementhändelsen för att beräkna uppgiften.
Vi ritar ett träddiagram för att åskådliggöra komplementhändelsen.
$P\left(\text{Ingen fyra}\right)$P(Ingen fyra) $=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$=56 ·56 =2536
Vi kan med hjälp av detta nu beräkna sannolikheten för åtminstone en fyra med hjälp av att vi vet att summan av dessa händelser ska vara lika med ett.
$1-$1− $P\left(\text{Ingen fyra}\right)=1-$P(Ingen fyra)=1− $\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{11}{36}$56 ·56 =1136
I detta exempel är det inte så stor skillnad i jobbet som krävs om man använder komplementhändelsen eller ej. Men i anda fall blir den nästan avgörande med denna kunskap för att inte trassla in sig i störa komplicerade träddiagram.
Exempel i videon
- Vilken är sannolikheten att vi får minst en dam när vi drar två kort ur en kortlek?
- Du skall skjuta straffar på målvakten Andreas Isaksson. Om du sätter två av tre straffar vinner du. Det är $40\,\%$ chans att sätta en straff. Vilken är sannolikheten att vinna?
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (8)
-
1. Premium
Du har fått i uppgift att ta upp kulor ur en påse som innehåller endast blå och röda kulor. Efter varje dragning lägger du tillbaka kulan som dragits. Utfallen visas i träddiagrammet.
Ange sannolikheten som fattas i träddiagrammet.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: begrepp kast med tärning Sannolikhet TräddiagramRättar...2. Premium
Träddiagrammet visar sannolikheten över att få par i fyror då du kastar två tärningar.
Hur stor är sannolikheten enligt träddiagrammet att den första tärningen visar en fyra?
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: begrepp kast med tärning Sannolikhet TräddiagramRättar...3. Premium
Beräkna med hjälp av träddiagrammet sannolikheten att få par i fyror då du kastar två träningar.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: kast med tärning Sannolikhet TräddiagramRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Vilket av alternativen motsvarar den blåmarkerade grenen i träddiagrammet.
Händelse $A=$A={Det regnar}
Händelse $B=$B= {Det regnar inte}
Händelse $C=$C= {Du tog med paraply}
Händelse $D=$D= {Du tog inte med paraply}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: sannolikhetslära Sannolikhetslära och statistik – Högstadiet statistik TräddiagramRättar...5. Premium
Sannolikheten för händelse $A$A är $0,6$0,6 och händelse $B$B är $0,4$0,4 .
Beräkna sannolikheten för den blåmarkerade grenen i träddiagrammet ovan.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Sannolikheten för händelse $A$A är $60\%$60% och händelse $B$B är $40\%$40% .
Beräkna sannolikheten för den blåmarkerade grenen i träddiagrammet ovan.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Beräkna den totala sannolikheten för de grönmarkerade grenarna.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
En slumpgenerator väljer ut att visa bilder på en skärm slumpmässigt.
Här är sannolikheten för olika händelser.Händelsen A={Visar en apa} har sannolikheten $P(A)=0,4$P(A)=0,4
Händelsen B={Visar en björn} har sannolikheten $P(B)=0,1$P(B)=0,1
Händelsen C={Visar en cirkushund} har sannolikheten $P(C)=0,2$P(C)=0,2
Händelsen D={Visar en delfin} har sannolikheten $P(D)=0,3$P(D)=0,3Träddiagrammet visar sannolikheten för hur utfallet av vilka bilder som generatorn slumpar ut ser ut.
Beräkna sannolikheten för händelsen H={Apa, Apa, Delfin}.Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...c-uppgifter (3)
-
9. Premium
Per skjuter tre straffar. P(T) står för sannolikheten för ett mål. P(M) står för sannolikheten för en miss.
Vilken sannolikhet skulle kunna beskrivas med de grönmarkerade grenarna i trädiagrammet nedan?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
10. Premium
Du och en kompis kastar mynt. Ni får tre kast vardera i varje omgång och får ni minst två klavar så får ni en poäng.
Vilken är sannolikheten att få en poäng en omgång?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
11. Premium
Vilken av de händelserna nedan beskrivna, skulle kunna redovisas med detta träddiagram?
1) Det finns tre tomater och en morot i en skål. Siv tar en grönsak slumpvis ur skålen och äter upp de. Sen tar hon en grönsak till ur skålen och äter upp den med. Hon tar sedan en tredje grönsak ur skålen och äter upp. Rita ett träddiagram som åskådliggör sannolikheten för vilka grönsaker Siv ätit upp.
2) Det finns $75$75 turkosa kulor och 1 mörkblå kula i en burk. Sven drar en kula slumpvis ur burken. Han lägger tillbaka den igen i burken. Sen drar han en kula till. Lägger tillbaka den med innan han drar en tredje kula. Rita ett träddiagram som åskådliggör sannolikheten för vilka färger kulorna Sven tagit ur burken hade.
3) My kastar tre pilar mot tavlan. Det är en fjärde dels chans för varje pil att hon träffar mitten på piltavlan. Rita ett träddiagram som åskådliggör sannolikheten för hur många pilar som träffade och inte träffade mitten.
4) Ali lägger tre straffar mot tomt mål. Det är 0,75% chans att han missar. Rita ett träddiagram som åskådliggör sannolikheten för hur många mål Ali träffade och missade.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Sannolikhet sannolikhetslära TräddiagramRättar...a-uppgifter (1)
-
12. Premium
Vilken är sannolikheten att du får minst två spaderkort när fyra stycken kort slumpmässigt dras ur en kortlek med $52$52 kort?
Rita ett träddiagram som hjälp för att lösa uppgiften.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Komplementhändelse Sannolikhet sannolikhet i flera steg sannolikhetslära TräddiagramRättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
August Kullenberg
Inte en chans att Isaksson är så bra på straffar…
Camilla
Hej
Tycker att uppgift 3 är förvirrande. Det är ju bara en av de grönmarkerade vägarna i träddiagrammet som stämmer in på rätt svarsalternativ.
Såg också att uppgift 8 är felformulerad.
Det frågas efter sannolikheten att få två spaderkort. Inte mer eller mindre.
Men inget av svarsalternativen stämmer och i förklaringen så visade det sig att det är ”minst två spaderkort” som sannolikheten ska räknas ut för.
houda shaaban
hej,
jag tror att det är ngt fel i övning nummer 1 .ni har multiplicerat andra väg som 0,75 . 0,25.0,25
och den är egentligen 0,75.0,75.0,25.
då resultatet blir fel.
P(gröna grenar)=
0,75⋅0,75⋅0,75= 0,421875
0,75⋅0,75⋅0,25=0,140625
0,75⋅0,25⋅0,75=0,140625
0,25⋅0,75⋅0,75=0,140625
0,75⋅0,75⋅0,75+ 0,75⋅0,75⋅0,25+0,75⋅0,25⋅0,75+ 0,25⋅0,75⋅0,75=
0,421875 + 0,140625 + 0,140625 + 0,140625 ≈ 0,849375 ≈ 0,85
Moa Nordin
Hej! jag funderar på fråga 1. Jag førstår inte vart 0,75×0,25×0,25 kommer ifrån. Jag hittar inga sådana vägar i diagrammet. Om man føljer leden till de grøna prickarna så ser jag bara att det kan bli 0,75×0,75×0,75 + 0,75×0,75×0,25 + 0,75×0,25×0,75 + 0,25×0,75×0,75 . Vad är det jag gør fel ?
Moa Nordin
I första övningen
Per Brahegymnasiet
Hej Simon.
Är verkligen uppgift 7 korrekt?
Läs texten/frågan noga.
Träddiagrammet??
mvh Jon T
Marcus Grudén
Hej! funderar på uppgift 2, varför minskar täljare med 1 varje gång(antalet spader) när man inte har dragit en spader? det är väl fortfarande 39 kvar?
jag får 35,6 %..
Perihan Yildiz Göker
mena vart kommer 0,5^3 ifrån?
Perihan Yildiz Göker
vart 0,5^3
Ålands Lyceum
Jag tycker att uppgiften är felformulerad. Det borde stå: Vad är sannolikheten att få ett damkort?
Sannolikheten att få minst ett damkort betyder ju ett eller två damkort.
Detsamma gäller följande uppgift. Det kunde stå Du vinner om du sätter (minst) två straffar
Andreas Enström
Den sista uppgiften.. Finns det verkligen fyra vägar träddiagrammet kan ta, själv får jag det till tre, jag menar, krona+krona+krona behöver väl ej beräknas. Krona följt av krona räcker väl för att besannas händelsen vinst liksom? Mvh
johanna rautsa
Hej! Antingen har jag missförstått helt eller så har ni skrivit fel… Nr 3, anger att svaret är 67% och i uppgiften anger ni uträkningen att det blir50%…? Mvh Johanna
Tobias O
Hej!
måste man verkligen skriva en så pass lång uträkning med träddiagram? Finns det inte något kortare/lättare sätt?
tacksam för svar
nti_ma1
den med damerna får jag till 7,3% (198/2704) vad gör jag för fel?
megser
Om du inte får ett damkort på första dragningen (då du tar 2 kort bort från kortleken) och drar två kort igen, är det inte 4/50? I fall jag har fel, varför?
4/52 –> (drar igen) 4/50.
Endast Premium-användare kan kommentera.