...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Guider Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik
  Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova gratis Skaffa Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
Matematik 1
 /   Sannolikhetslära och Statistik

Träddiagram

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Träddiagram används för att beräkna sannolikheter i flera steg där flera vägar är möjliga. 

Träddiagram

I ett träddiagram redovisas alla olika utfall för att förenkla beräkning av sannolikheter i flera steg. Det kommer till störst nytta då det finns olika grenar, vilket motsvarar olika möjliga vägar, att nå fram till det önskade resultatet.

Sannolikheten för en gren

Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium?
Förnya ditt betalkonto hos din skola här.
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
89 kr för 6 månader
Ingen bindningstid. Betala 1 gång.

Genom att leta reda på den gren som motsvarar det önskade utfallet kan vi beräkna sannolikheten för just den kombination av utfall som motsvarar grenen. Den gör vi med hjälp av multiplikationsprincipen.

Multiplikationsprincipen

Multiplikationsprincipen säger att sannolikheten längs en gren ges av produkten av sannolikheterna längs grenen.

Vi tittar på ett exempel där detta kan tillämpas.

Exempel 1

Kasta en tärning fyra gånger. Hur stor är sannolikheten att få en sexa alla fyra kasten?

Lösning

Det finns bara ett resultat som du önskar varje kast. Nämligen att tärningen ska visa en sexa. Det är detta vi kallar för det gynnsamma utfallet. Det finns alltså ett gynnsamt utfall i varje kast.

De finns sex möjliga resultat, det vi kallar möjliga utfall. Det är resultaten att tärningen visar en etta, två trea fyra femma eller en sexa.

Sannolikheten blir då

 $P\left(\text{slå en sexa}\right)=$P(slå en sexa)= $\frac{\text{Önskad händelse}}{\text{Möjliga händelser}}=\frac{1}{6}$Önskad händelseMöjliga händelser =16   

Med hjälp av ett träddiagram kan vi förtydliga sannolikheten av att få fyra sexor i rad. 

Träddiagram

Som du ser blir det en ganska komplext träddiagram. Man kan med fördel förenkla det genom att inte utveckla de grenar som inte är gynnsamma. Alltså så fort man stöter på ett utfall som ger att grenen inte är gynnsam, så ”kapar” med den. Alltså låter bli att rita ut resten av förgreningarna. Så här.

Träddiagram med kapade grenar

Enligt multiplikationsprincipen får vi sannolikheten genom att multiplicera sannolikheterna längs grenen. Vi får då att

sannolikheten att slå fyra sexor i rad är

 $P\left(\text{Fyra sexor i rad}\right)=$P(Fyra sexor i rad)=  $\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\left(\frac{1}{6}\right)^4\approx$16 ·16 ·16 ·16 =(16 )4 $7,7\cdot10^{-4}$7,7·104   vilket motsvarar ca  $0,8‰$0,8‰ chans.

Flera gynnsamma grenar

Om flera grenar är gynnsamma får vi den totala sannolikheten genom att addera sannolikheten för alla gynnsamma grenar med varandra.

Sannolikheten i ett träddiagram

Sannolikheten för en händelse fås i ett träddiagram genom att summera de gynnsamma grenarnas sannolikheter.

Vi tittar på ett exempel där flera grenar motsvarar det önskade resultatet, det vill säga är gynnsamma.

Exempel 2

Kasta två tärningar. Hur stor är sannolikheten att få åtminstone en fyra?

Lösning

Vi ritar ett träddiagram för att åskådliggöra de olika utfallen.

Träddiagram

Det finns tre utfall som är gynnsamma. 

Händelsen A={Ej en fyra, En fyra}

Händelsen B={En fyra, Ej en fyra}

Händelsen C={En fyra, En fyra}

Vi får sannolikheten för varje gren med multiplikationsprincipen. Sedan adderar vi de gynnsamma grenarna för att få den totala sannolikheter för att få åtminstone en fyra.

 $P\left(\text{åtminstone en fyra}\right)=$P(åtminstone en fyra)= $\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{11}{36}$56 ·16 +16 ·56 +16 ·16 =1136   

  vilket motsvarar ca $30\%$30% chans.

Komplement händelse

I exemplet ovan ser vi att endast en gren inte är gynnsam. Nämligen den gren som motsvarar att man inte får någon fyra alls. 

Vid beräkning av sannolikhet är det ibland enklare att beräkna sannolikheten för den utfall som inte är gynnsamt. 

Eftersom att sannolikheten för alla utfall för en händelse är lika med $1$1, får vi att summan av den gynnsamma händelsen och alla de som inte är gynnsamma är lika med  $1$1. Detta kan vi utnyttja ibland.

Låt oss återvända till exemplet ovan. Vi skulle sannolikheten att få åtminstone en fyra då vi kastade två tärningar. Som vi sa, så är det endast en gren som inte är gynnsam. Nämligen grenen som motsvarar att vi inte får någon fyra alls. Eftersom att summan av alla grenarna i träddiagrammet är lika med  $1$1 får vi att  $1-P\left(\text{Ingen fyra}\right)=P\left(\text{Åtminståne en fyra.}\right)$1P(Ingen fyra)=P(Åtminståne en fyra.) 

Dessa två händelser kassas varandras komplementhändelse.

Komplementhändelse

Händelse $A$A och $B$B är varandras komplementhändelser om  $P\left(A\right)+P\left(B\right)=1$P(A)+P(B)=1 

Vi beräknar exemplet om fyrorna ingen, fast nu med komplementhändelsen.

Exempel 3

Kasta två tärningar. Hur stor är sannolikheten att få åtminstone en fyra?

Lösning

Då  $P\left(\text{Ingen fyra}\right)$P(Ingen fyra) är komplement händelse åt vår sökta händelse  $P\left(\text{Åtminstone en fyra}\right)$P(Åtminstone en fyra) använder vi oss av komplementhändelsen för att beräkna uppgiften.

Vi ritar ett träddiagram för att åskådliggöra komplementhändelsen.

Komplementhändelse träddiagram

  $P\left(\text{Ingen fyra}\right)$P(Ingen fyra)  $=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}$=56 ·56 =2536  

Vi kan med hjälp av detta nu beräkna sannolikheten för åtminstone en fyra med hjälp av att vi vet att summan av dessa händelser ska vara lika med ett.

 $1-$1   $P\left(\text{Ingen fyra}\right)=1-$P(Ingen fyra)=1 $\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{11}{36}$56 ·56 =1136  

I detta exempel är det inte så stor skillnad i jobbet som krävs om man använder komplementhändelsen eller ej. Men i anda fall blir den nästan avgörande med denna kunskap för att inte trassla in sig i störa komplicerade träddiagram.

Exempel i videon

  • Vilken är sannolikheten att vi får minst en dam när vi drar två kort ur en kortlek?
  • Du skall skjuta straffar på målvakten Andreas Isaksson. Om du sätter två av tre straffar vinner du. Det är $40\,\%$ chans att sätta en straff. Vilken är sannolikheten att vinna?

Kommentarer

August Kullenberg

Inte en chans att Isaksson är så bra på straffar…

    Anna Admin (Moderator)

    Du vet ju inte vilken Isaksson vi syftar på…:)

Camilla

Hej
Tycker att uppgift 3 är förvirrande. Det är ju bara en av de grönmarkerade vägarna i träddiagrammet som stämmer in på rätt svarsalternativ.

Såg också att uppgift 8 är felformulerad.
Det frågas efter sannolikheten att få två spaderkort. Inte mer eller mindre.
Men inget av svarsalternativen stämmer och i förklaringen så visade det sig att det är ”minst två spaderkort” som sannolikheten ska räknas ut för.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi tittar på detta!

houda shaaban

hej,
jag tror att det är ngt fel i övning nummer 1 .ni har multiplicerat andra väg som 0,75 . 0,25.0,25
och den är egentligen 0,75.0,75.0,25.
då resultatet blir fel.

P(gröna grenar)=
0,75⋅0,75⋅0,75= 0,421875
0,75⋅0,75⋅0,25=0,140625
0,75⋅0,25⋅0,75=0,140625
0,25⋅0,75⋅0,75=0,140625
0,75⋅0,75⋅0,75+ 0,75⋅0,75⋅0,25+0,75⋅0,25⋅0,75+ 0,25⋅0,75⋅0,75=
0,421875 + 0,140625 + 0,140625 + 0,140625 ≈ 0,849375 ≈ 0,85

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi korrigerar uträkningen där!

Moa Nordin

Hej! jag funderar på fråga 1. Jag førstår inte vart 0,75×0,25×0,25 kommer ifrån. Jag hittar inga sådana vägar i diagrammet. Om man føljer leden till de grøna prickarna så ser jag bara att det kan bli 0,75×0,75×0,75 + 0,75×0,75×0,25 + 0,75×0,25×0,75 + 0,25×0,75×0,75 . Vad är det jag gør fel ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Är det i videon eller övningarna som du funderar på här?

      Moa Nordin

      I första övningen

        Simon Rybrand (Moderator)

        Vi fixar det!

Per Brahegymnasiet

Hej Simon.
Är verkligen uppgift 7 korrekt?
Läs texten/frågan noga.
Träddiagrammet??

mvh Jon T

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej!
    Jag ber frågekonstruktören kika på detta!

Marcus Grudén

Hej! funderar på uppgift 2, varför minskar täljare med 1 varje gång(antalet spader) när man inte har dragit en spader? det är väl fortfarande 39 kvar?

jag får 35,6 %..

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Här söks sannolikheten att INTE får ett spader. Dvs vi vill att varje kort inte skall vara ett spader så om vi får det så minskar dessa kort med 1.

Perihan Yildiz Göker

mena vart kommer 0,5^3 ifrån?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vart är det som du hittar detta? Är det i videon eller i övningarna?

Perihan Yildiz Göker

vart 0,5^3

Ålands Lyceum

Jag tycker att uppgiften är felformulerad. Det borde stå: Vad är sannolikheten att få ett damkort?

Sannolikheten att få minst ett damkort betyder ju ett eller två damkort.

Detsamma gäller följande uppgift. Det kunde stå Du vinner om du sätter (minst) två straffar

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej och tack för kommentaren.
    Vi skall titta på att uppdatera videon snarast, håller med om att frågeställningarna bör förtydligas där!

Andreas Enström

Den sista uppgiften.. Finns det verkligen fyra vägar träddiagrammet kan ta, själv får jag det till tre, jag menar, krona+krona+krona behöver väl ej beräknas. Krona följt av krona räcker väl för att besannas händelsen vinst liksom? Mvh

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    De två vägarna längst till höger kan förenklas genom att endast beräkna 0,5⋅0,5 istället för 0,5⋅0,5⋅0,5+0,5⋅0,5⋅0,5.
    Bägge är ju lika med 0,25.

johanna rautsa

Hej! Antingen har jag missförstått helt eller så har ni skrivit fel… Nr 3, anger att svaret är 67% och i uppgiften anger ni uträkningen att det blir50%…? Mvh Johanna

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Johanna,
    Tack för att du påpekade detta, vi har korrigerat svarsalternativet till uppgiften.

Tobias O

Hej!
måste man verkligen skriva en så pass lång uträkning med träddiagram? Finns det inte något kortare/lättare sätt?
tacksam för svar

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, man måste definitivt inte ta med hela diagrammet när man gör uträkningen utan det går förstås även bra att bara skriva ner de olika ”vägarna” i form av beräkningar. Träddiagrammet är framförallt bra för att visualisera logiken bakom.

nti_ma1

den med damerna får jag till 7,3% (198/2704) vad gör jag för fel?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Antingen kan det ju vara så att de har ställt upp beräkningen, dvs metoden bakom, på ett annat vis eller att du har förenklat bråkräkningen på ett annat vis. Om man skriver ut mer steg i beräkningen i videon så skulle det kunna se ut så här:
    $ \frac{4}{52}+\frac{48}{52}⋅\frac{4}{51} = \frac{4⋅51+48⋅4}{51⋅52} =$
    $ = \frac{396}{2652} ≈ 0,14932 $

megser

Om du inte får ett damkort på första dragningen (då du tar 2 kort bort från kortleken) och drar två kort igen, är det inte 4/50? I fall jag har fel, varför?

4/52 –> (drar igen) 4/50.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, förstår hur du tänker kring denna uppgift. Tanken är här att vi drar ett kort i taget och inte två stycken i varje omgång. Förstår att detta ev. kan tolkas på detta vis.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna med hjälp av träddiagrammet sannolikheten att få par i fyror då du kastar två träningar.

    Träddiagram

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av alternativen motsvarar den blåmarkerade grenen i träddiagrammet.

    Träddiagram

    Händelse $A=$A={Det regnar}
    Händelse $B=$B= {Det regnar inte}
    Händelse $C=$C= {Tog med paraply}
    Händelse $D=$D= {Tog inte med paraply}

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Sannolikheten för händelse $A$A är $0,6$0,6 och händelse $B$B är $0,4$0,4 .

    Träddiagram

    Beräkna sannolikheten för den blåmarkerade grenen i träddiagrammet ovan.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
    • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
    • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Sannolikheten för händelse $A$A är $60\%$60% och händelse $B$B är $40\%$40% .

    Träddiagram

    Beräkna sannolikheten för den blåmarkerade grenen i träddiagrammet ovan.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna den totala sannolikheten för de grönmarkerade grenarna.

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    En slumpgenerator väljer ut att visa bilder på en skärm slumpmässigt.
    Här är sannolikheten för olika händelser.

    Händelsen A={Visar en apa} har sannolikheten  $P(A)=0,4$P(A)=0,4 
    Händelsen B={Visar en björn} har sannolikheten  $P(B)=0,1$P(B)=0,1  
    Händelsen C={Visar en cirkushund} har sannolikheten  $P(C)=0,2$P(C)=0,2  
    Händelsen D={Visar en delfin} har sannolikheten  $P(D)=0,3$P(D)=0,3 

    Träddiagrammet visar sannolikheten för hur utfallet av vilka bilder som generatorn slumpar ut ser ut.Traddiagram4-01
    Beräkna sannolikheten för händelsen H={Apa,  Apa, Delfin}.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Per skjuter tre straffar. P(T) står för sannolikheten för ett mål. P(M) står för sannolikheten för en miss.

    Vilken sannolikhet skulle kunna beskrivas med de grönmarkerade grenarna i trädiagrammet nedan? 
     

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Du och en kompis kastar mynt. Ni får tre kast vardera i varje omgång och får ni minst två klavar så får ni en poäng.

    Vilken är sannolikheten att få en poäng en omgång?

    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Vilken av de händelserna nedan beskrivna, skulle kunna redovisas med detta träddiagram?

     

    1) Det finns tre tomater och en morot i en skål. Siv tar en grönsak slumpvis ur skålen och äter upp de.  Sen tar hon en grönsak till ur skålen och äter upp den med. Hon tar sedan en tredje grönsak ur skålen och äter upp. Rita ett träddiagram som åskådliggör sannolikheten för vilka grönsaker Siv ätit upp.

    2) Det finns  $75$75 turkosa kulor och 1 mörkblå kula i en burk. Sven drar en kula slumpvis ur burken. Han lägger tillbaka den igen i burken. Sen drar han en kula till. Lägger tillbaka den med innan han drar en tredje kula. Rita ett träddiagram som åskådliggör sannolikheten för vilka färger kulorna Sven tagit ur burken hade.

    3) My kastar tre pilar mot tavlan. Det är en fjärde dels chans för varje pil att hon träffar mitten på piltavlan. Rita ett träddiagram som åskådliggör sannolikheten för hur många pilar som träffade och inte träffade mitten.

    4) Ali lägger tre straffar mot tomt mål. Det är 0,75% chans att han missar. Rita ett träddiagram som åskådliggör sannolikheten för hur många mål Ali träffade och missade.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/2)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    spader_ess

    Vilken är sannolikheten att du får minst två spaderkort när fyra stycken kort slumpmässigt dras ur en kortlek med $52$52 kort? 

    Rita ett träddiagram som hjälp för att lösa uppgiften.

    Dela med lärare
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Eddler Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i gratis i 7 dagar, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.