00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3b
/  Genomgångar nationella prov Ma3b

Aritmetikens fundamentalsats och primtalsfaktorisering

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Aritmetikens fundamentalsats

Aritmetikens fundamentalsats säger att

Alla heltal n>1n > 1 på ett entydigt sätt kan skrivas som en produkt av primtal.

Det här innebär att det finns exakt ett sätt att faktorisera talet med hjälp av primtal, primtalsfaktorisera. Ordningen på faktorerna spelar ingen roll. Det ses ändå som samma, den enda möjliga, primtalsfaktoriseringen.

Definitionen av Primtal

De positiva heltalen kan delas upp i primtal och sammansatta tal. De sammansatta talen är produkter av primtal i olika kombinationer och kan därför primtalsfaktorisras. I kursen matematik 1 introducerade vi primtal och sammansatta tal. Återvänd gärna till den lektionen om du vill repetera grunderna.

Primtal

Ett heltal pp är ett primtal om p>1p>1 och endast är delbart med 11 eller pp.

Med andra ord, ett primtal är ett heltal större än ett som endast är delbart med talet ett och sig självt.

Det finns som sagt oändligt många primtal. Här är primtalen mellan 11 och 100100.

2,3,5,7,11,13,17, 2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17, 19,23,29,31,37,\,19,\,23,\,29,\,31,\,37,\, 41,43,47,53,59,61,41,\,43,\,47,\,53,\,59,\,61,\, 67,71,73,79,67,\,71,\,73,\,79,\, 83,89,9783,\,89,\,97

Definitionen av Sammansatta tal

Ett positiv heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Talet är sammansatt av multiplikation mellan primtal. På grund av detta kan man kan dela upp alla sammansatt tal i faktorer. man säger att man primtalsfaktorisera.

Sammansatta tal

Ett sammansatt tal är ett heltal större än 111, som för utom sig självt och talet 11, har ytterligare en delare.

Delare och delbarhet

Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten man får när man dividerar två heltal, också är ett heltal.  Som vi tidigare nämnde kan alla heltal delas upp i primtal och sammansatta tal. De har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet 11

Heltalet aaa är delbart med ett heltal b0b\ne0b0 om kvoten ab\frac{a}{b}ab  är ett heltal.

Man kan då säga att ”bb delar aa” eller att ”bb är en delare till aa”, vilket skrivs som ba b \, | \, a .

Exempelvis delar talet 22 talet 2828 då  282=\frac{28}{2}=282 =141414 , eftersom att kvoten är ett heltal och vi säger att 228 2 \, | \, 28 , som vi uttalar som ”22 delar 2828” eller ”22 är en delare till 2828”.

Delaren som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. En äkta delare ddddefinieras som delbart med något heltal, utöver talen  ±1\pm1±1 och  ±d\pm d±d , alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken.

Delbarhet för primtal och sammansatta tal.

Alla primtal är alltid och endast delbara med sig själva och talet 11.

Alla sammansatta tal är alltid delbara med sig själva och talet 11, samt talets alla primtalsfaktorer och alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera primtalsfaktorerna.

Om vi exempelvis har talet  666  så är detta tal delbart med 666 och 111, samt med talen 222 och 333 . Detta beror på att talet 66 är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna  6=236=2\cdot36=2·3 och är där med delbart med med sig själv och talet  111, samt talets primtalsfaktorer.

Delbarhetsregler

När man ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om man har Delbarhetsreglerna klart för sig.

Delbarhetsregler

Talet är delbart med…

   22      då talet är jämnt.
   33      då talets siffersumma är delbar 33.
   44      då det tal som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 44.
   55      då talets slutsiffra är 00 eller 55.
   66      då villkoren för delbarhet med 22 och 33 är uppfyllda
   88      då det tal som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med 88.
   99      då talets siffersumma är delbart med 99.
   1010    då talets slutsiffra är 00.
   1212    då villkoren för delbarhet med 33 och 44 är uppfyllda.

Exempel 1

Primtalsfaktorisera talet 100100.

Lösning:

Vi delar upp talet steg för steg till vi endast har faktorer som är primtal.

100=250100 = 2⋅50
100=2225100 =2⋅2⋅25
100=2255100 = 2⋅2⋅5⋅5

Faktoriseringen 25252⋅5⋅2⋅5 är den samma, bara att faktorerna står i annan ordning..

Ibland kan det vara svårare att se direkt hur ett ta kan primtalsfaktoriseras, då kan man ta ett faktorträd till hjälp för detta. Då delar man steg för steg upp talet i faktorer tills det endast finns primtal kvar.

[mvexamples]

Exempel 2

Primtalsfaktorisera talet 100100100  med hjälp av ett faktorträd.

Lösning

I bilden nedan ges ett exempel på hur just talet 100100100 kan primtalsfaktoriseras som 22552⋅2⋅5⋅5 i ett faktorträd.

Faktorträd- primtal

Du tänker; vilket tal ger produkten 100100100 om vi multiplicerar med 222? Hittar du ett heltals svar skriver du talen i varsin ruta. I detta exemplet är svaret 505050.

Om du inte hittar något heltal som ger produkten100100100,  försöker du med primtalet 333 därefter 5, 7, 115,\text{ }7,\text{ }11…5, 7, 11… tills du hittar en.

Om svaret inte är ett primtal tänker du; vilket tal ger produkten 505050 om vi multiplicerar med 222? Hittar du ett heltals svar skriver du talen i varsin ruta. I detta exemplet är svaret 252525.

Om du inte hittar något heltal som ger produkten du sökte,  försöker du med primtalet 333 därefter 5, 7, 115,\text{ }7,\text{ }11…5, 7, 11… tills du hittar en.

Om svaret inte är ett primtal tänker du; vilket tal ger produkten 252525 om vi multiplicerar med 222? Hittar du ett heltals svar skriver du talen i varsin ruta. I detta exemplet hittade vi inget, utan försöker med talet  333 först , utan resultat. Sedan 555 med svaret 555.

När du tillsist endast har primtal kvar i de ”yttersta” rutorna har du hittat dina primtalsfaktorer. dessa skriver du nu i storleksordning som en produkt.

Exempel i videon

  • Primtalsfaktorisera 2222
  • Primtalfaktoriser 2828
  • Använd ett faktorträd och primtalsfaktorisera talet 460460.