KURSER /
Matematik 3b
/ Genomgångar nationella prov Ma3b
Aritmetikens fundamentalsats och primtalsfaktorisering
Författare:
Simon Rybrand
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
Aritmetikens fundamentalsats
Aritmetikens fundamentalsats säger att
Alla heltal n>1 på ett entydigt sätt kan skrivas som en produkt av primtal.
Det här innebär att det finns exakt ett sätt att faktorisera talet med hjälp av primtal, primtalsfaktorisera. Ordningen på faktorerna spelar ingen roll. Det ses ändå som samma, den enda möjliga, primtalsfaktoriseringen.
Definitionen av Primtal
De positiva heltalen kan delas upp i primtal och sammansatta tal. De sammansatta talen är produkter av primtal i olika kombinationer och kan därför primtalsfaktorisras. I kursen matematik 1 introducerade vi primtal och sammansatta tal. Återvänd gärna till den lektionen om du vill repetera grunderna.
Primtal
Ett heltal p är ett primtal om p>1 och endast är delbart med 1 eller p.
Med andra ord, ett primtal är ett heltal större än ett som endast är delbart med talet ett och sig självt.
Det finns som sagt oändligt många primtal. Här är primtalen mellan 1 och 100.
2,3,5,7,11,13,17, 19,23,29,31,37, 41,43,47,53,59,61, 67,71,73,79, 83,89,97
Definitionen av Sammansatta tal
Ett positiv heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Talet är sammansatt av multiplikation mellan primtal. På grund av detta kan man kan dela upp alla sammansatt tal i faktorer. man säger att man primtalsfaktorisera.
Sammansatta tal
Ett sammansatt tal är ett heltal större än 11, som för utom sig självt och talet 1, har ytterligare en delare.
Delare och delbarhet
Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten man får när man dividerar två heltal, också är ett heltal. Som vi tidigare nämnde kan alla heltal delas upp i primtal och sammansatta tal. De har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet 1.
Heltalet aa är delbart med ett heltal b=0b≠0 om kvoten baab är ett heltal.
Man kan då säga att ”b delar a” eller att ”b är en delare till a”, vilket skrivs som b∣a.
Exempelvis delar talet 2 talet 28 då 228=282 =1414 , eftersom att kvoten är ett heltal och vi säger att 2∣28, som vi uttalar som ”2 delar 28” eller ”2 är en delare till 28”.
Delaren som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. En äkta delare dd, definieras som delbart med något heltal, utöver talen ±1±1 och ±d±d , alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken.
Delbarhet för primtal och sammansatta tal.
Alla primtal är alltid och endast delbara med sig själva och talet 1.
Alla sammansatta tal är alltid delbara med sig själva och talet 1, samt talets alla primtalsfaktorer och alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera primtalsfaktorerna.
Om vi exempelvis har talet 66 så är detta tal delbart med 66 och 11, samt med talen 22 och 33 . Detta beror på att talet 6 är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna 6=2⋅36=2·3 och är där med delbart med med sig själv och talet 11, samt talets primtalsfaktorer.
Delbarhetsregler
När man ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om man har Delbarhetsreglerna klart för sig.
Delbarhetsregler
Talet är delbart med…
2 då talet är jämnt.
3 då talets siffersumma är delbar 3.
4 då det tal som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 4.
5 då talets slutsiffra är 0 eller 5.
6 då villkoren för delbarhet med 2 och 3 är uppfyllda
8 då det tal som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med 8.
9 då talets siffersumma är delbart med 9.
10 då talets slutsiffra är 0.
12 då villkoren för delbarhet med 3 och 4 är uppfyllda.
Exempel 1
Primtalsfaktorisera talet 100.
Lösning:
Vi delar upp talet steg för steg till vi endast har faktorer som är primtal.
100=2⋅50
100=2⋅2⋅25
100=2⋅2⋅5⋅5
Faktoriseringen 2⋅5⋅2⋅5 är den samma, bara att faktorerna står i annan ordning..
Ibland kan det vara svårare att se direkt hur ett ta kan primtalsfaktoriseras, då kan man ta ett faktorträd till hjälp för detta. Då delar man steg för steg upp talet i faktorer tills det endast finns primtal kvar.
[mvexamples]
Exempel 2
Primtalsfaktorisera talet 100100 med hjälp av ett faktorträd.
Lösning
I bilden nedan ges ett exempel på hur just talet 100100 kan primtalsfaktoriseras som 2⋅2⋅5⋅5 i ett faktorträd.
Du tänker; vilket tal ger produkten 100100 om vi multiplicerar med 22? Hittar du ett heltals svar skriver du talen i varsin ruta. I detta exemplet är svaret 5050.
Om du inte hittar något heltal som ger produkten100100, försöker du med primtalet 33 därefter 5, 7, 11…5, 7, 11… tills du hittar en.
Om svaret inte är ett primtal tänker du; vilket tal ger produkten 5050 om vi multiplicerar med 22? Hittar du ett heltals svar skriver du talen i varsin ruta. I detta exemplet är svaret 2525.
Om du inte hittar något heltal som ger produkten du sökte, försöker du med primtalet 33 därefter 5, 7, 11…5, 7, 11… tills du hittar en.
Om svaret inte är ett primtal tänker du; vilket tal ger produkten 2525 om vi multiplicerar med 22? Hittar du ett heltals svar skriver du talen i varsin ruta. I detta exemplet hittade vi inget, utan försöker med talet 33 först , utan resultat. Sedan 55 med svaret 55.
När du tillsist endast har primtal kvar i de ”yttersta” rutorna har du hittat dina primtalsfaktorer. dessa skriver du nu i storleksordning som en produkt.
Exempel i videon
- Primtalsfaktorisera 22
- Primtalfaktoriser 28
- Använd ett faktorträd och primtalsfaktorisera talet 460.
Kommentarer
e-uppgifter (4)
1.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Vilket av följande tal är ett primtal: 100100, 101101, 120120
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 101(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B 1 P PL M R K Primtalsfaktorisera talet 2424.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(2/0/0)E C A B 1 P 1 PL M R K Hur många primtal pp finns det där 20<20< p<50p<50
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Primtalsfaktorisera talet 600600 utan räknare.
Ange faktorerna i storleksordning med multiplikation (* eller ⋅· ) mellan varje faktor.Svar:Ditt svar:Rätt svar: 2⋅2⋅2⋅3⋅5⋅5(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (3)
5. Premium
(0/2/0)ME C A B 1 P 1 PL M R K Primtalsfaktorisera talet 46804680 utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 2⋅2⋅2⋅3⋅3⋅5⋅13(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(0/1/0)E C A B 1 P PL M R K Primtalsfaktorisera talet −924−924.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(0/2/0)E C A B 1 P PL M R 1 K Vilket eller vilka av följande påståenden stämmer?
A. a−1a−1 är alltid ett udda tal om aa är ett heltal.
B. p−1p−1 kan inte vara ett primtal om pp är ett primtal.
C. 2n+12n+1 är alltid ett udda tal om nn är ett heltal.Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (1)
8. Premium
(0/1/1)E C A B P 1 PL M R 1 K Du har fått i uppgift att primtalsfaktorisera talet 143143. Vilket påstående är korrekt och varför?
Du behöver undersöka primfaktorer pp, där…Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Simeon Dahlin
Hej, Fråga fem ger felsvar när jag ger rätt svar enligt instruktionen.
Simon Rybrand (Moderator)
Jag har förtydligat den frågan, tack för att du sade till!
Adam Lottkärr
Fråga 5 är felformulerad ang vilket tecken man ska använda sig av
Simon Rybrand (Moderator)
Vi korrigerar detta, tack för att du sade till!
Endast Premium-användare kan kommentera.