Aritmetikens fundamentalsats och primtalsfaktorisering

Aritmetikens fundamentalsats säger att

Det här innebär att det finns exakt ett sätt att faktorisera talet med hjälp av primtal, primtalsfaktorisera. Ordningen på faktorerna spelar ingen roll. Det ses ändå som samma, den enda möjliga, primtalsfaktoriseringen.

De positiva heltalen kan delas upp i primtal och sammansatta tal. De sammansatta talen är produkter av primtal i olika kombinationer och kan därför primtalsfaktorisras. I kursen matematik 1 introducerade vi primtal och sammansatta tal. Återvänd gärna till den lektionen om du vill repetera grunderna.

Med andra ord, ett primtal är ett heltal större än ett som endast är delbart med talet ett och sig självt.

Det finns som sagt oändligt många primtal. Här är primtalen mellan $1$ och $100$.

$2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,$ $\,19,\,23,\,29,\,31,\,37,\,$ $41,\,43,\,47,\,53,\,59,\,61,\,$ $67,\,71,\,73,\,79,\,$ $83,\,89,\,97$

Ett positiv heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Talet är sammansatt av multiplikation mellan primtal. På grund av detta kan man kan dela upp alla sammansatt tal i faktorer. man säger att man primtalsfaktorisera.

Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten man får när man dividerar två heltal, också är ett heltal.  Som vi tidigare nämnde kan alla heltal delas upp i primtal och sammansatta tal. De har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet $1$. 

Man kan då säga att ”$b$ delar $a$” eller att ”$b$ är en delare till $a$”, vilket skrivs som $b \, | \, a$.

Exempelvis delar talet $2$ talet $28$ då  $\frac{28}{2}=$282 =$14$14 , eftersom att kvoten är ett heltal och vi säger att $2 \, | \, 28$, som vi uttalar som ”$2$ delar $28$” eller ”$2$ är en delare till $28$”.

Delaren som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. En äkta delare $d$d, definieras som delbart med något heltal, utöver talen  $\pm1$±1 och  $\pm d$±d , alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken.

Delbarhet för primtal och sammansatta tal.

Om vi exempelvis har talet  $6$6  så är detta tal delbart med $6$6 och $1$1, samt med talen $2$2 och $3$3 . Detta beror på att talet $6$ är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna  $6=2\cdot3$6=2·3 och är där med delbart med med sig själv och talet  $1$1, samt talets primtalsfaktorer.

När man ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om man har Delbarhetsreglerna klart för sig.

• Primtalsfaktorisera $22$
• Primtalfaktoriser $28$
• Använd ett faktorträd och primtalsfaktorisera talet $460$.