Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Innehåll
För att deriverar en funktion som är en kvot av två funktioner använder vi kvotregeln.
Exempelvis är y=y=x3exexx3 och f(x)=ƒ (x)=sinxx2x2sinx funktioner som ska deriveras med kvotregeln.
Kvotregeln
Om y=y=g(x)f(x)ƒ (x)g(x) där g(x)=0g(x)≠0 så gäller att
y′=y´=(g(x))2f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)ƒ ’(x)·g(x)−ƒ (x)·g’(x)(g(x))2
Derivatan av en sådan funktion är alltså följande.
”Differensen mellan första funktionens derivata multiplicerat med den andra funktionen och den första funktionen multiplicerat med den andra funktionens derivata dividerat med andra funktionen i kvadrat”.
Exempel på att derivera med kvotregeln
Nedan följer ett antal exempel på där denna regel används.
Exempel 1
Derivera f(x)=ƒ (x)= x3exexx3
Lösning
Vi tillämpar kvotregeln och får
f′(x)=ƒ ´(x)= (x3)2ex⋅x3−ex⋅3x2=ex·x3−ex·3x2(x3)2 = x6ex⋅x3−ex⋅3x2ex·x3−ex·3x2x6
eftersom att derivatan av exex är lika med exex
och derivatan till x3x3 är lika med 3x23x2
Vi fortsätter med ett likande exempel.
Exempel 2
Derivera f(x)=ƒ (x)=sinxx2x2sinx
Lösning
Vi tillämpar kvotregeln och får
f’(x)=ƒ ’(x)= sin2x2x⋅sinx−x2⋅cosx2x·sinx−x2·cosxsin2x
eftersom att derivatan av x2x2 är lika med 2x2x
och derivatan till sinxsinx är lika med cosxcosx.
Derivatan av tangens
Eftersom att tangentfunktionen kan skrivas som kvoten cosxsinxsinxcosx kan vi bestämma derivatan med hjälp av kvotregeln.
Exempel 3
Derivera f(x)=tanxƒ (x)=tanx
Lösning
Vi använder definitionen för tangens, tanx=tanx=cosxsinxsinxcosx
Nu deriverar vi med kvotregeln och får
f’(x)=ƒ ’(x)=cos2xcosx⋅cosx−sinx(−sinx)cosx·cosx−sinx(−sinx)cos2x
Vi förenklar och får
f’(x)=ƒ ’(x)=cos2xcos2x+sin2xcos2x+sin2xcos2x
Vi använder trigonometriska ettan och får
f’(x)=ƒ ’(x)=cos2x11cos2x
Bevis av kvotregeln
I teoritexten i lektionen produktregeln går vi igenom beviset för produktregeln. För att bevisa kvotregeln använder vi detta bevis efter att vi skrivit om kvoten till en produkt, g(x)f(x)=ƒ (x)g(x) = f(x)⋅g(x)−1ƒ (x)·g(x)−1
Exempel i videon
- Derivera y=2exx2.
- Derivera y=tanx.
- Derivera y=cosxx.
Kommentarer
e-uppgifter (4)
1.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera x+1x2−1x2−1x+1
a) genom att först förenkla kvoten.
b) genom att använda kvotregeln.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: 1(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...2.
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera y=y=xsinxsinxx
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...3.
(2/0/0)E C A B P 2 PL M R K Derivera tanxtanx med hjälp av kvotregeln.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...4. Premium
(1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Derivera y=y= sinxx2x2sinx
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
c-uppgifter (3)
5. Premium
(1/1/0)E C A B P 1 1 PL M R K Lös ekvationen y′(x)=0y’(x)=0 då y(x)=y(x)=ex2x22x2ex
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...6. Premium
(0/2/0)E C A B P 2 PL M R K Derivera y=y=sinx⋅cosxtan2xtan2xsinx·cosx och förenkla så långt som möjligt.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...7. Premium
(0/2/0)E C A B P 2 PL M R K Derivera y=y=x(x+1)2(x+1)2√x
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
a-uppgifter (2)
8. Premium
(0/0/2)E C A B P 2 PL M R K Låt y=x−2x2exy=x2exx−2 . Lös ekvationen y′=0y´=0.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...9. Premium
(0/0/1)ME C A B P PL M R 1 K Kvotregeln säger att
”För alla funktioner y=y=g(x)f(x)ƒ (x)g(x) där g(x)=0g(x)≠0 så gäller att
y′=y´=(g(x))2f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)ƒ ’(x)·g(x)−ƒ (x)·g’(x)(g(x))2 ”
Visa att kvotregeln gäller med hjälp av produktregeln.
Svar:Ditt svar:Rätt svar: Se förklaring.(Korrekta varianter)Bedömningsanvisningar/Manuell rättning- Rättad
Rättar...
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Eddler
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO
Eddler AB
info@eddler.se
Org.nr: 559029-8195
Kungsladugårdsgatan 86
414 76 Göteborg
Armend
Hej, jag tror att fråga 6 är fel, hur blir det 1+2sin^2(x) i täljaren?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej,
har du sett att alla uppgifter har en förklaring? Du ser den genom att klicka på knappen Förklaring efter att du rätta uppgiften. Där kan du se hur man kommer fram till detta.
Haya Ardalan
Hej!
kan inte lösa denna uppgift
Man har en funktion f(x)=xe^x.
Undersök om det finns någon lösning till ekvationen f(x)=f'(x)
Simon Rybrand (Moderator)
Här får du först derivera och får då
f′(x)=ex+xex
Du skall nu undersöka om det finns lösningar till ekvationen
f(x)=f′(x)⇔
xex=ex+xex⇔ (−xex)
0=ex
Här kan du göra så att du ritar ut funktionen
f(x)=ex
och så ser du att denna funktion inte går genom y = 0, dvs det finns inga lösningar till denna ekvation.
Jens
Hej! I ert övningsprov, uppgift 4
Förklaring
Vi har funktionen f(x)=3x+2ex
Vi deriverar med kvotregeln
f´(x)=(3e^x−(3x+2)e^x)/(e^2x)
Förkortning med e^x ger
f´(x)=(3x+5)/(e^x)
Jag förstår inte steget där mellan.
Jag faktoriserar täljaren till e^x(3-3x-2)
när jag sedan förkortar med e^x blir täljaren (3-3x-2)
alltså (1-3x)/(e^x)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Jens, Det hade smugit sig in ett fel i uträkningen där och jag har uppdaterat uppgiften sasmt lagt till en längre uträkning så att resonemanget blir tydligare.
AxelKindbom
Hej! Toppenvideo!
Det är ett steg som jag dock inte förstår, vilket antagligen beror på mina bristande förkunskaper. Vid 02:25 i videon så förkortas 2e^x i varje term. Kan du förklara kort hur detta steget går till?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Axel, vad bra att du gillar videon. Om man skriver ut hela det deriverade uttrycket så får vi
Vi skulle nu, för att vara tydliga, bryta ut 2ex i bägge termerna i täljaren så att vi får:
Nu förkortar vi både i täljaren och nämnaren med 2ex så att uttrycket blir
Endast Premium-användare kan kommentera.