00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 3b
/  Genomgångar nationella prov Ma3b

Kvotregeln

Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

För att deriverar en funktion som är en kvot av två funktioner använder vi kvotregeln. 
Exempelvis är  y=y=y=exx3\frac{e^x}{x^3}exx3  och  f(x)=f(x)=ƒ (x)=x2sinx\frac{x^2}{\sin x}x2sinx   funktioner som ska deriveras med kvotregeln.

Kvotregeln

Om  y=y=y=f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}ƒ (x)g(x)  där g(x)0g\left(x\right)\ne0g(x)0  så gäller att

 y=y'=y´=f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}ƒ ’(x)·g(x)ƒ (x)·g’(x)(g(x))2 

Derivatan av en sådan funktion är alltså följande.

Differensen mellan första funktionens derivata multiplicerat med den andra funktionen och den första funktionen multiplicerat med den andra funktionens derivata dividerat med andra funktionen i kvadrat”.

Exempel på att derivera med kvotregeln

Nedan följer ett antal exempel på där denna regel används.

Exempel 1

Derivera  f(x)=f(x)=ƒ (x)= exx3\frac{e^x}{x^3}exx3   

Lösning

Vi tillämpar kvotregeln och får

 f(x)=f'(x)=ƒ ´(x)= exx3ex3x2(x3)2=\frac{e^x\cdot x^3-e^x\cdot3x^2}{(x^3)^2}=ex·x3ex·3x2(x3)2 =  exx3ex3x2x6\frac{e^x\cdot x^3-e^x\cdot3x^2}{x^6}ex·x3ex·3x2x6  

eftersom att derivatan av exe^xex är lika med exe^xex 

och derivatan till x3x^3x3 är lika med 3x23x^23x2 

Vi fortsätter med ett likande exempel.

Exempel 2

Derivera  f(x)=f(x)=ƒ (x)=x2sinx\frac{x^2}{\sin x}x2sinx  

Lösning

Vi tillämpar kvotregeln och får

 f(x)=f’\left(x\right)=ƒ (x)= 2xsinxx2cosxsin2x\frac{2x\cdot\sin x-x^2\cdot\cos x}{\sin^2x}2x·sinxx2·cosxsin2x   

eftersom att derivatan av x2x^2x2  är lika med 2x2x2x  

och derivatan till sinx\sin xsinx  är lika med cosx\cos xcosx

Derivatan av tangens

Eftersom att tangentfunktionen kan skrivas som kvoten sinxcosx\frac{\sin x}{\cos x}sinxcosx  kan vi bestämma derivatan med hjälp av kvotregeln. 

Exempel 3

Derivera  f(x)=tanxf(x)=\tan xƒ (x)=tanx 

Lösning

Vi använder definitionen för tangens, tanx=\tan x=tanx=sinxcosx\frac{\sin x}{\cos x}sinxcosx 

Nu deriverar vi med kvotregeln och får

 f(x)=f’\left(x\right)=ƒ (x)=cosxcosxsinx(sinx)cos2x\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\left(-\sin x\right)}{\cos^2x}cosx·cosxsinx(sinx)cos2x  

Vi förenklar och får

 f(x)=f’\left(x\right)=ƒ (x)=cos2x+sin2xcos2x\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}cos2x+sin2xcos2x 

Vi använder trigonometriska ettan och får

 f(x)=f’\left(x\right)=ƒ (x)=1cos2x\frac{1}{\cos^2x}1cos2x  

Bevis av kvotregeln

I teoritexten i lektionen produktregeln går vi igenom beviset för produktregeln. För att bevisa kvotregeln använder vi detta bevis efter att vi skrivit om kvoten till en produkt, f(x)g(x)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=ƒ (x)g(x) = f(x)g(x)1f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{-1}ƒ (x)·g(x)1 

Exempel i videon

  • Derivera y=x22ex y = \frac{x^2}{2e^x} .
  • Derivera y=tanx y=\tan x .
  • Derivera y=xcosx y=\frac{x}{cosx} .