Differentialekvationer av andra ordningen

Differentialekvationer av andra ordningen är ekvationer som innehåller andraderivatan $y”$. Sådana typer av ekvationer som står på formen $y” + ay’ + by = 0$ har lösningen $y = e^{rx}$. Här är det viktiga att hitta $r$ som ges av den så kallade karakteristiska ekvationen $r^2 + ar + b = 0$ och som löses med hjälp av PQ formeln.

När man löser ut $r$ (den karakteristiska ekvationen) så finns det tre olika fall av lösningar. Dessa är följande:

1. Den då ekvationen har en lösning $r$. Då ges den allmänna lösningen av $y = e^{rx}(Cx + D)$
2. Den då ekvationen har två lösningar $r_1$ och $r_2$. Då ges den allmänna lösningen av $y = Ce^{r_1 x} + De^{r_2 x}$
3. Den då ekvationen har två icke reella lösningar (komplexa på formen $a + bi$). Då ges den allmänna lösningen av $y = e^{ax}(Ccos(bx) + Dsin(bx)$.

I den här genomgången tar vi framförallt exempel på de två första fallen av lösningar.

• Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen $2y''-8y'+y=0$.
• Bestäm den lösning till differentialekvationen $y''+4y'-5y=0$ som uppfyller villkoren $y(0)=0$ och $y'(0)=6$.