00:00
00:00

 

Du har säkert varit med om att du har passerats av t.ex. en ambulans med påslagna sirener och då noterat att tonhöjden på sirenen ändrats medan ambulansen passerar dig. Det vi uppfattar som tonhöjd är alltså frekvensen hos ljudet. Frekvensen ökar då ambulansen närmar sig och minskar då den avlägsnar sig från dig. Det här fenomenet kallas för dopplereffekt.

Vi ska i den här lektionen titta på vad detta beror på och även bekanta oss med några formler som kopplar samman förändringen i frekvens med hur källan till ljudet rör sig relativt mottagaren av ljudet.

Vi börjar med att påminna oss om att en ljudkälla som t.ex. en siren på en ambulans genererar ljudvågor genom att oscillera och därmed skapa en störning i mediet, dvs. luften i det här fallet. Vågorna kommer att ärva många av källans oscillerande egenskaper, t.ex. frekvensen, dvs. hur många svängningar per sekund som källan gjorde. Vågorna utbreder sig sedan sfäriskt i rummet, och vi har i tidigare lektioner sett flera animeringar som visar detta. I figuren till vänster nedan ser vi t.ex. hur en siren sänder ut ljudvågor, dock i 2 dimensioner.

Om vi nu tänker oss att källan samtidigt som den sänder ut ljud även rör sig relativt en mottagare, t.ex. dig och ditt öra, så händer något intressant.  I och med att källan rör sig så kommer den att ”jaga” de ljudvågor som sänts iväg mot mottagaren.

I den högra figuren ser vi att då ambulansen rör sig mot mottagare BBB så minskar avståndet mellan vågorna enligt mottagare BBB, dvs. våglängden blir kortare. Som vi vet sedan tidigare så innebär en kortare våglängd en ökad frekvens enligt f=vλf=\frac{v}{\text{λ}}ƒ =vλ  , dvs. ett högre tonläge. Detta förklarar kvalitativt varför vi tycker att tonen hos sirenen blir högre när ambulansen närmar sig oss.

Men mottagare AAA som står så att ambulansen istället avlägsnar sig från honom, hur upplever han frekvensändringen? Ja, enligt honom så ökar istället våglängden, dvs. det blir glesare och glesare mellan vågtopparna. Detta leder istället till en minskad frekvens, dvs. han upplever att tonhöjden sjunker.

Hur stor är ändringen i frekvens? Ja, det går relativt enkelt att härleda formler som beskriver detta och i videon går vi in lite mer på detta. För en utförlig härledning se gärna följande videor på Khan Academy. Formlerna redovisas i ”viktigt-rutan” längre ner på sidan. 

Detta var alltså fallet med en ljudkälla i rörelse relativt stillastående mottagare.

Man kan även tänka sig en situation med stillastående ljudkälla relativt mottagare i rörelse. Om vi tittar på fallet då en ambulans står stilla med sirenen på och en person AAA rör sig mot ambulansen med en viss hastighet. Person AAA kommer ju då att möta fler vågfronter per sekund än vad han skulle gjort om han stått stilla, dvs. en högre frekvens.
Omvänt så kommer mottagare BBB som rör sig bort från ambulansen att uppleva färre vågfronter per sekund, dvs. en minskad frekvens.

Notera att för att dopplereffekten ska blir noterbar så måste hastigheterna inblandade vara tillräckligt stora, det är ju ljudet som källan ska jaga ikapp och ljudet färdas med en hastighet på ca 340 m/s i luft.

Sammanfattning dopplereffekt för ljud

 fs=f_s=ƒ s= Sändarens utsända frekvens
 fm=f_m=ƒ m=Mottagarens upplevda frekvens
 vljud=v_{ljud}=vljud=Ljudhastigheten 
 vs=v_s=vs= Sändarens hastighet 
 vm=v_m=vm=Mottagarens hastighet 

Ljudkälla i rörelse relativt stillastående mottagare

 fm=fsvljudvljud±vsf_m=f_s\cdot\frac{v_{ljud}}{v_{ljud}\pm v_s}ƒ m=ƒ s·vljudvljud±vs  

Använd minustecknet i nämnaren då ljudkällan är på väg mot mottagaren och plustecknet då ljudkällan är på väg bort från mottagaren.

Stillastående ljudkälla relativt mottagare i rörelse

 fm=fsvljud±vmvljudf_m=f_s\cdot\frac{v_{ljud}\pm v_m}{v_{ljud}}ƒ m=ƒ s·vljud±vmvljud  

Använd plustecknet i täljaren då mottagaren närmar sig sändaren och använd minustecknet då mottagaren avlägsnar sig från sändaren.

Kombinerad formel

I vissa läroböcker kombinerar man dessa uttryck till följande formel som då täcker in alla fall dvs. både sändaren och mottagaren kan vara i rörelse. 

 fm=fsvljud+vmvljudvsf_m=f_s\cdot\frac{v_{ljud}+v_m}{v_{ljud}-v_s}ƒ m=ƒ s·vljud+vmvljudvs  

Länk till härledning av formel (Khan Academy)

Exempel 1

En ambulans som kör i 909090 km/h genererar ett ljud med frekvensen 800800800 Hz. Vilken frekvens på ljudet mäter personen i figuren upp?

Lösning

Vi ser att ambulansen är på väg bort från personen, dvs. han kommer att registrera färre vågtoppar per sekund vilket innebär att frekvensen sjunker jämfört med ursprungsfrekvensen.

Vi behöver använda den version av formeln som ser ut på följande sätt:

 fm=fsvljudvljud+vs=800340340+903,6=745,2745f_m=f_s\cdot\frac{v_{ljud}}{v_{ljud}+v_s}=800\cdot\frac{340}{340+\frac{90}{3,6}}=745,2…\approx745ƒ m=ƒ s·vljudvljud+vs =800·340340+903,6  =745,2…745 Hz

Svar

”Mottagaren” mäter upp en frekvens på ca 745745745 Hz.

Exempel 2

Du spelar in när en humla passerar dig med din mobiltelefon. När du senare lyssnar på inspelningen märker du att frekvensen gick från 270,0270,0270,0 Hz till 273,2273,2273,2 Hz. Hur snabbt flög humlan?

Lösning

Vi inser att eftersom humlan rör sig mot mobiltelefonens mikrofon så kommer den att registrera fler ljudvågor per sekund, dvs. frekvensen kommer att öka. Om vi kallar humlans ”vilofrekvens” för fsf_sƒ s och den registrerade frekvensen för fmf_mƒ m så har vi alltså att fmf_mƒ m > fsf_sƒ s och formeln får följande utseende:

 fm=fsvljudvljudvsf_m=f_s\cdot\frac{v_{ljud}}{v_{ljud}-v_s}ƒ m=ƒ s·vljudvljudvs  

Där vsv_svs är humlans fart.

Vi löser ut vsv_svs m.h.a. lite algebra och sätter in värden

 vs=vljud(1fsfm)=340(1270,0273,2)=3,984,0v_s=v_{ljud}\left(1-\frac{f_s}{f_m}\right)=340\cdot\left(1-\frac{270,0}{273,2}\right)=3,98…\approx4,0vs=vljud(1ƒ sƒ m )=340·(1270,0273,2 )=3,98…4,0 m/s

Svar

Humlan flög med en hastighet på 4,04,04,0 m/s.

Exempel 3

En polisbil som har stannat vid en korsning för att leda om trafiken. Polisbilen har sirenerna på för att påkalla uppmärksamhet. Du närmar dig polisbilen i din bil med en hastighet på 252525 m/s och mäter upp polissirenens frekvens till 128812881288 Hz. Vad har polissirenen för frekvens för en person som står bredvid polisbilen? Använd den kombinerade formeln för att lösa uppgiften.

Lösning

Vi anar att eftersom du närmar dig sändaren så kommer du att mäta upp en högre frekvens, dvs. fmf_mƒ m > fsf_sƒ s.
Vi söker ju sändarens frekvens så vi måste lösa ut fsf_sƒ s ur uttrycket:

 fm=fsvljud+vmvljudvsfs=fmvljudvsvljud+vm=12883400340+25=1199,781200f_m=f_s\cdot\frac{v_{ljud}+v_m}{v_{ljud}-v_s}\Rightarrow f_s=f_m\cdot\frac{v_{ljud}-v_s}{v_{ljud}+v_m}=1288\cdot\frac{340-0}{340+25}=1199,78…\approx1200ƒ m=ƒ s·vljud+vmvljudvs ƒ s=ƒ m·vljudvsvljud+vm =1288·3400340+25 =1199,78…1200 Hz 

Svar

Polissirenens frekvens är ca 120012001200 Hz för någon som är i vila relativt polisbilen.