Energi vid harmonisk svängningsrörelse

Vi har i tidigare lektioner pratat om harmonisk svängningsrörelse ur vad vi kan kalla ett ”kraft-perspektiv”, dvs vi har beskrivit rörelsen med hjälp av begreppen kraft och acceleration. I den här lektionen ska vi istället undersöka harmonisk svängningsrörelse ur ett energiperspektiv.

Energiprincipen 

Energiprincipen säger att den totala energin bevaras. I tidigare lektioner har vi sett att om vi antar att vi inte har någon friktion eller luftmotstånd i ett system bevaras dess mekaniska energi. Den mekaniska energin är summan av ett objekts potentiella och kinetiska energi och vi kan skriva detta som:  $E_{tot}=E_p+E_k$E_tot=E_p+E_k 

Ett lite informellt sätt att uttrycka detta är ”den energi vi har från början av ett förlopp är den energi vi har i slutet av förloppet”. Energin kan dock ha  omvandlats från en energiform till en annan, t ex potentiell energi till kinetisk energi, men summan av energin är konstant. Ett exempel på detta är ett objekt som faller från en viss höjd. Vid startläget har objektet en potentiell energi som under fallet omvandlas till rörelseenergi. Den totala energin är dock konstant. 

Mekanisk energi vid harmonisk svängningsrörelse

Eftersom en harmonisk svängningsrörelse pendlar mellan två ytterlägen (och kring ett jämviktsläge) bör även en harmonisk svängningsrörelse innebära en (upprepad) energiomvandling mellan potentiell och kinetisk energi.

I vändlägena är den kinetiska energin noll medan den potentiella energin är som störst  här. I jämviktsläget är rörelseenergin som störst, vi har ju högsta farten här, medan den potentiella energin är noll.

Den totala mekaniska energin är konstant! Den energi svängningsrörelsen har vid början av svängningen har den även vid slutet. Så även här kan vi skriva att:  $E_{tot}=E_p+E_k$E_tot=E_p+E_k 

För en vikt på en fjäder som utför harmonisk svängningsrörelse gäller:

I videon går vi även igenom hur man kan uttrycka sambanden ovan med vinkelhastigheten  $ω$ω. Vi får då:

Fördjupning: Härledning av uttrycket för total energi hos en vikt i fjäder

1. Geometrisk härledning

När fjädern dras ut en sträcka  $A$A  från jämviktsläget tillförs energi till fjädersystemet. Enligt Hookes lag kräver detta att vi använder kraften  $F=k\text{Δ}x$F=k‍Δx, där  $k$k  är fjäderkonstanten och  $\text{Δ}x$Δx  är avvikelsen från jämviktsläget. 

Men att använda en kraft parallellt med en viss sträcka är ju det vi kallar arbete,  $W=F\cdot s$W=F·s. I vårt fall är  $F=k\text{Δ}x$F=kΔx  och  $s=A$s=A , vilket ger arbetet   $W=k\text{Δ}x\cdot A$W=kΔx·A. Detta arbete motsvarar den energi som tillförs fjädern. Men eftersom kraften beror på  $\text{Δ}x$Δx  är den inte konstant utan ökar då  $\text{Δ}x$Δx  ökar. 

För att illustrera energisituationen kan vi rita en $F$F–$x$x– graf. OM kraften hade varit konstant  $F$F  skulle den motsvaras av en horisontell linje, och grafen skulle ha haft följande utseende:

Vi ser att arean under grafen motsvarar den totala energin (dvs arbetet):  $E_{tot}=W=F\cdot s=F\cdot A$E_tot=W=F·s=F·A 

Men när vi drar ut en fjäder är ju inte kraften konstant, utan ökar linjärt med sträckan den dras ut:  $F=k\text{Δ}x$F=kΔx 
I detta fall får vi istället följande  $F$F–$x$x– graf:

Kraften vi måste använda ökar hela tiden och när fjädern är utdragen sträckan  $A$A  krävs kraften $F=kA$F=kA, vilket är markerat i grafen. Arean under grafen motsvarar dock fortfarande arbetet, och därmed den totala energin fjädern tillförts. Arean under grafen är nu en triangelarea och beräknas då på följande sätt:

 $E_{tot}=$E_tot= $\frac{b\cdot h}{2}=\frac{A\cdot kA}{2}=\frac{kA^2}{2}$b·h2 =A·kA2 =kA²2  
 

2. Härledning med integral

Om du har börjat med integraler i matematiken vet du att en integral kan tolkas som arean under grafen. Vi får alltså följande:

 $E_{tot}=\int_0^AF\text{ }dx=\int_0^Akx\text{ }dx=k[\frac{x^2}{2}]^A_0=k\left[\frac{A^2}{2}-0\right]=\frac{kA^2}{2}$E_tot=∫₀^AF dx=∫₀^Akx dx=k[x²2 ]^A₀=k[A²2 −0]=kA²2  

Kommentarer