Energi vid harmonisk svängningsrörelse

Mekanisk energi vid harmonisk svängning hos vikt på fjäder

Total energi

 $E_{tot}=\frac{kA^2}{2}$E_tot=kA²2  

Potentiell energi

 $E_p=\frac{ky^2}{2}$E_p=ky²2  

Kinetisk energi

 $E_k=\frac{mv^2}{2}$E_k=mv²2  

Eftersom  $E_{tot}=E_p+E_k$E_tot=E_p+E_k så har vi att 

 $\frac{kA^2}{2}=\frac{ky^2}{2}+\frac{mv^2}{2}$kA²2 =ky²2 +mv²2  

I videon går vi även igenom hur man kan uttrycka sambanden ovan i vinkelhastigheten ω istället. Vi får då:

Total energi

 $E_{tot}=\frac{mω^2A^2}{2}$E_tot=mω²A²2  

Potentiell energi

 $E_p=\frac{m\text{ω}^2y^2}{2}$E_p=mω²y²2  

Kinetisk energi

 $E_k=\frac{mv^2}{2}$E_k=mv²2  

Eftersom  $E_{tot}=E_p+E_k$E_tot=E_p+E_k så har vi att 

 $\frac{m\text{ω}^2A^2}{2}=\frac{m\text{ω}^2y^2}{2}+\frac{mv^2}{2}\text{ }$mω²A²2 =mω²y²2 +mv²2   

Härledning av uttrycket för total energi hos en vikt på fjäder.

Härledning 1 – Geometriskt:

I videon så såg vi att för att tillföra energi till fjädersystemet så dras fjädern ut en sträcka A från jämviktsläget.

Enligt Hookes lag så kräver detta att vi applicerar kraften $F=k\text{Δ}x$F=k‍Δx, där k är fjäderkonstanten och $\text{Δ}x$Δx är avvikelsen från jämviktsläget. 

Men applicera en kraft under en sträcka är ju det vi kallar arbete dvs. $W=F\cdot s$W=F·s. I vårt fall är ju $F=k\text{Δ}x$F=k‍Δx och $s=A$s=A, dvs.  $W=k\text{Δ}x\cdot A$W=kΔx·A. Det är detta arbete som utgör energin som tillförs fjädern. Men kraften beror ju på $\text{Δ}x$Δx, dvs. kraften som vi behöver dra med är inte konstant utan ökar då $\text{Δ}x$Δx ökar. 

Vi försöker illustrera situationen i en $F-x$F−x graf. OM kraften hade varit konstant $F$F så skulle kraften motsvaras av en horisontell linje och vi skulle få en graf med följande utseende:

Vi ser att vi kan då kan tolka totala energin (dvs. arbetet) som arean under grafen, dvs  $E_{tot}=W=F\cdot s=F\cdot A$E_tot=W=F·s=F·A .

Men nu är ju inte kraften konstant utan den ökar linjärt med sträckan som den dras ut, $F=k\text{Δ}x$F=k‍Δx (jmf.  $y=kx$y=kx). Vi får då följande, mer korrekta graf:

Kraften vi måste dra med ökar hela tiden och när fjädern är utdragen sträckan A så krävs kraften $F=kA$F=kA vilket är markerat i grafen. Arean under grafen motsvarar dock fortfarande arbetet och därmed den totala energin fjädern tillförts. Arean under grafen består nu av en triangelarea och den beräknar vi ju på följande sätt:

 $E_{tot}=\frac{b\cdot h}{2}=\frac{A\cdot kA}{2}=\frac{kA^2}{2}$E_tot=b·h2 =A·kA2 =kA²2  

Härledning 2: Med integral

Om du har börjat med integraler i matematiken så vet du att en integral kan tolkas som arean under grafen. Vi får alltså följande:

 $E_{tot}=\int_0^AF\text{ }dx=\int_0^Akx\text{ }dx=k[\frac{x^2}{2}]^A_0=k\left[\frac{A^2}{2}-0\right]=\frac{kA^2}{2}$E_tot=∫₀^AF dx=∫₀^Akx dx=k[x²2 ]^A₀=k[A²2 −0]=kA²2