Faradays Induktionslag - Inducerad spänning i spolar

I den här lektionen ska vi ta fram en mer generell form av generatorformeln som kallas Faradays induktionslag. Men för att kunna göra det måste vi först prata om begreppet magnetisk flödestäthet (magnetfältets styrka). Och för att förstå varför det kan kallas magnetisk flödestäthet måste vi allra först prata om begreppet magnetiskt flöde.

Vi har tidigare illustrerat fält med fältlinjer som utbreder sig i rummet. Pilarna visar fältets riktning och hur tätt fältlinjerna ligger representerar fältets styrka. Ju starkare fältet är, desto tätare ritar vi linjerna. Vi tänker oss nu att det finns ett magnetfält  $B$B, och att det representeras av fältlinjerna vi ser här.

Nu tittar vi på en viss vinkelrät ytarea  $A$A. Vi kan illustrera den som en tunn rektangelformad skiva. Fältlinjerna skär då den här tänkta ytarean som vi ser i figuren nedan. Begreppet magnetiskt flöde syftar på hur stort magnetiskt fält eller, något förenklat, ”hur många fältlinjer” som skärs av den här arean. Med andra ord hur stort magnetfält som ”flödar” genom arean.

Med ett starkare fält (tätare fältlinjer), ökar antalet fältlinjer genom arean, vilket innebär att det magnetiska flödet ökar. Flödet beror alltså på hur starkt magnetfältet  $B$B  är.

Ett annat sätt att öka antalet flödeslinjer genom arean är att öka arean. Om vi gör arean större kommer fler flödeslinjer att passera ytan. Detta innebär ju också ett större flöde. Flödet beror alltså även på ytareans storlek  $A$A.

Det magnetiskt flödet beror alltså dels på den magnetiska fältstyrkan  $B$B, dels på den vinkelräta arean  $A_{\perp}$A_⊥, som magnetfältet passerar genom. Det magnetiska flödet betecknas  $Φ$Φ  och definieras som:  $Φ=BA_{\perp}$Φ=BA_⊥. Enheten blir då T$\cdot$·m $^2$² , som även fått namnet weber (Wb).

Om vi nu löser ut den magnetiska fältstyrkan  $B$B  ur sambandet får vi att  $B=\frac{\text{ }Φ}{A_{\perp}}$B= ΦA_⊥  , och kan förstå varför den även kallas magnetisk flödestäthet. Om vi jämför med sambandet för densitet dvs  $\text{ρ}=\frac{m}{V}$ρ=mV   ser vi likheten. Magnetisk flödestäthet är en slags ”flödesdensitet”.

Vi ska också notera att flödestätheten och arean måste vara vinkelräta. Om de inte är det måste flödestätheten komposantuppdelas och det mer generella sambandet för flödet blir då:

 $Φ=BA\cos\theta$Φ=BAcosθ , där $\theta$‍θ är vinkeln mellan  $B$B  och  $A$A.

(Vi kan också se det som att vi hittar den vinkelräta ytan, som inom matematiken kallas projektionsarean. Det synsättet ger oss samma formel.)

Om  $B$B  och  $A$A  är vinkelräta har vi vinkeln  $\theta=90^{\circ}$θ=90^∘, och sambandet kan då skrivas  $Φ=BA\text{cos}\theta=BA\cdot1=BA$Φ=BAcosθ=BA·1=BA 

Vi ska nu se om vi kan använda begreppet magnetiskt flöde och skriva generatorformeln ($e=lvB_{\perp}$e=lvB_⊥) på ett annat sätt. Vi utgår från kretsen vi såg tidigare med en rörlig rak ledare, som bildar en sluten krets enligt figuren, i ett magnetfält.

När den övre raka ledaren i figuren flyttas åt höger med den konstanta hastigheten  $v$v  under en viss tid  $\bigtriangleup t$△t  induceras spänningen  $e=lvB_{\perp}$e=lvB_⊥  mellan ändarna på ledaren, vilket driver en ström i kretsen.

Sträckan som ledaren förflyttas under tiden  $\bigtriangleup t$△t  kan skrivas som  $\bigtriangleup s=v\cdot\bigtriangleup t$△s=v·△t. 

Ledarens längd  $l$l  och förflyttningen  $\bigtriangleup s$△s  utgör då sidorna i den rektangelformade slutna kretsen. När ledarens rör sig ökar rektangelns area, och denna areaförändring  $\bigtriangleup A$△A  under tiden   $\bigtriangleup t$△t  kan då skrivas som:

 $\bigtriangleup A=\bigtriangleup s\cdot l$△A=△s·l

Eftersom  $\bigtriangleup s=v\cdot\bigtriangleup t$△s=v·△t  kan vi skriva:

 $\bigtriangleup A=v\cdot\bigtriangleup t\cdot l$△A=v·△t·l

Vi löser ut förändringen i area med avseende på tid:

 $\frac{\bigtriangleup A}{\bigtriangleup t}=$△A△t = $vl$vl 

Vi skriver nu generatorformeln, och ersätter  $lv$lv  med uttrycket ovan:

 $e=lvB_{\perp}$e=lvB_⊥ 

 $e=$e= $\frac{\bigtriangleup A}{\bigtriangleup t}$△A‍△t  $\cdot B_{\perp}=$·B_⊥= $\frac{\bigtriangleup AB_{\perp}}{\bigtriangleup t}$△AB_‍⊥△t  

Nu ska vi använda begreppet magnetiskt flöde  $Φ$Φ :

 $Φ=BA_{\perp}$Φ=BA_⊥ 

 $\bigtriangleupΦ=\bigtriangleup BA_{\perp}$△Φ=△BA_⊥ 

 $e=$e= $\frac{\bigtriangleupΦ\text{ }}{\bigtriangleup t}$△Φ △t  

När det magnetiska flödet varierar med tiden induceras alltså en spänning i ledaren. Det finns två sätt att variera flödet: Vi kan antingen variera storleken av den vinkelräta arean  $A_{\perp}$A_⊥  eller storleken av den magnetiska flödestätheten  $B$B  (eller både och).

Sambandet  $e=$e= $\frac{\bigtriangleupΦ\text{ }}{\bigtriangleup t}$△Φ △t   bestämmer den inducerade spänningen under ett tidsintervall, vilket då ger den genomsnittliga spänningen under denna tid. För att istället få den momentana inducerade spänningen, dvs den inducerade spänningen i ett visst ögonblick, kan vi låta tiden  $\bigtriangleup t$△t  gå mot noll. Det ger förändringen av flödet med avseende på tiden, vilket vi kan uttrycka som tidsderivatan av flödet. Momentanvärdet av den inducerade spänningen kan alltså skrivas:

 $e=$e= $\frac{dΦ\text{ }}{dt}=$dΦ dt = $\text{ }Φ’\left(t\right)$ Φ’(t) 

Om vi vet hur det magnetiska flödet varierar med tiden kan vi alltså bestämma momentanvärdet av den inducerade spänningen.

Vi ser nu kopplingen mellan generatorformeln och det samband som kallas Faradays induktionslag. De beskriver båda storleken på den inducerade spänningen, men på olika sätt.

Nu ska vi lägga till en sista detalj till formeln. Den slutna kretsen i figuren ovan kan ses som en strömförande slinga. Om vi nu tänker oss flera ihopkopplade slingor får vi en spole.

Tvärsnittsarean på spolen blir densamma som varje slingas area. Om spolen befinner sig i ett varierande magnetfält kommer det att induceras en spänning i spolen, vilket driver en ström genom den. Varje enskild slinga bidrar då med den inducerade spänningen $e=\frac{d\text{Φ}}{dt}$e=dΦdt  . Vi kallar antalet slingor för  $N$N. Om vi ökar antalet slingor kommer den totala inducerade spänningen i spolen öka med faktorn  $N$N. Vi skulle också tänka på det som att den totala arean blir alla slingors areor tillsammans, dvs $A_{tot}=N\cdot A$A_tot=N·A. 

För att induktionslagen även ska gälla spolar (och inte bara enskilda slingor) tillsätter vi faktorn  $N$N, som då motsvarar antalet varv hos spolen. 

Men hur blir den inducerade strömmen riktad?

Lenz lag säger att ”En inducerad elektrisk ström har en riktning som motverkar orsaken till sin egen uppkomst”. Här är orsaken en förändring i magnetiskt flöde. Den inducerade strömmen kommer då att ha en riktning som motverkar denna förändring. Strömmen kommer alltså att själv att skapa ett magnetfält, som motverkar förändringen i flödet, dvs som minimerar förändringen i flöde.  Utifrån detta och med hjälp av högerhandsregeln kan vi lista ut hur den inducerade strömmen blir riktad.