Formler för dubbla vinkeln

Formlerna för dubbla vinkeln är användbara vid omskrivningar av trigonometriska uttryck. Formlerna kan härledas från additionsformlerna och trigonometriska ettan.

Härledning

Formlerna för dubbla vinkeln kan härledas genom att använda additionsformlerna för sinus och cosinus.

 $\sin\left(u+v\right)=\sin u\cdot\cos v-\cos u\cdot\sin v$sin(u+v)=sinu·cosv−cosu·sinv 
 $\text{⇒}$⇒  $\sin2v=$sin2v= $\sin\left(v+v\right)=$sin(v+v)= $\sin v\cos v+\cos v\sin v=$sinvcosv+cosvsinv= $2\sin v\cos v$2sinvcosv   

 $\cos\left(u+v\right)=\cos u\cdot\cos v-\sin u\cdot\sin v$cos(u+v)=cosu·cosv−sinu·sinv
 $\text{⇒}$⇒  $\cos2v=$cos2v= $\cos\left(v+v\right)=$cos(v+v)= $\cos v\cos v-\sin v\sin v=$cosvcosv−sinvsinv= $\cos^2v-\sin^2v$cos²v−sin²v    

Trigonometriska ettan ger att  $\sin^2v+\cos^2v=1$sin²v+cos²v=1  $\text{⇒}$⇒  $\sin^2v=1-\cos^2v$sin²v=1−cos²v.
Sambandet för  $\cos2v$cos2v  kan då skrivas om på följande sätt:
 $\cos2v=$cos2v= $\cos^2v-\sin^2v=$cos²v−sin²v= $\cos^2v-\left(1-\cos^2v\right)=$cos²v−(1−cos²v)= $2\cos^2v-1$2cos²v−1   

Trigonometriska ettan ger också att  $\cos^2v=1-\sin^2v$cos²v=1−sin²v.
Sambandet för  $\cos2v$cos2v  kan då skrivas om på följande sätt:
 $\cos2v=$cos2v= $\cos^2v-\sin^2v=$cos²v−sin²v= $1-\sin^2v-\sin^2v=$1−sin²v−sin²v= $1-2\sin^2v$1−2sin²v   

Kommentarer