Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Formler för dubbla vinkeln
Formlerna för dubbla vinkeln är användbara vid omskrivningar av trigonometriska uttryck. Formlerna kan härledas från additionsformlerna och trigonometriska ettan.
Formler för dubbla vinkeln
$\sin2v=2\sin v\cos v$sin2v=2sinvcosv
$\cos2v=$cos2v=$\begin{cases} \cos ^2v-\sin ^2v \\ 2\cos^2v-1 \\1-2\sin ^2v \end{cases} $
Exempel 1
Beräkna $2\sin75^{\circ}\cos75^{\circ}$2sin75∘cos75∘ exakt, utan räknare.
Lösning
Vi skriver om med hjälp av formel för dubbla vinkeln:
$2\sin v\cos v=\sin2v$2sinvcosv=sin2v
$2\sin75^{\circ}\cos75^{\circ}=$2sin75∘cos75∘= $\sin2\cdot75^{\circ}=$sin2·75∘= $\sin150^{\circ}$sin150∘
Vi använder tabellen med exakta trigonometriska värden på formelbadet, och ser att $\sin150^{\circ}=$sin150∘= $\frac{1}{2}$12 .
Exempel 2
Bestäm $\cos2v$cos2v om $\sin v=$sinv= $\frac{1}{3}$13 .
Lösning
Vi skriver om med hjälp av formel för dubbla vinkeln:
$\cos2v=$cos2v= $1-\sin^2v=$1−sin2v= $1-\left(\frac{1}{3}\right)^2=$1−(13 )2= $1-\frac{1}{9}=$1−19 = $\frac{8}{9}$89
Härledning
Formlerna för dubbla vinkeln kan härledas genom att använda additionsformlerna för sinus och cosinus.
$\sin\left(u+v\right)=\sin u\cdot\cos v-\cos u\cdot\sin v$sin(u+v)=sinu·cosv−cosu·sinv
$\text{⇒}$⇒ $\sin2v=$sin2v= $\sin\left(v+v\right)=$sin(v+v)= $\sin v\cos v+\cos v\sin v=$sinvcosv+cosvsinv= $2\sin v\cos v$2sinvcosv
$\cos\left(u+v\right)=\cos u\cdot\cos v-\sin u\cdot\sin v$cos(u+v)=cosu·cosv−sinu·sinv
$\text{⇒}$⇒ $\cos2v=$cos2v= $\cos\left(v+v\right)=$cos(v+v)= $\cos v\cos v-\sin v\sin v=$cosvcosv−sinvsinv= $\cos^2v-\sin^2v$cos2v−sin2v
Trigonometriska ettan ger att $\sin^2v+\cos^2v=1$sin2v+cos2v=1 $\text{⇒}$⇒ $\sin^2v=1-\cos^2v$sin2v=1−cos2v.
Sambandet för $\cos2v$cos2v kan då skrivas om på följande sätt:
$\cos2v=$cos2v= $\cos^2v-\sin^2v=$cos2v−sin2v= $\cos^2v-\left(1-\cos^2v\right)=$cos2v−(1−cos2v)= $2\cos^2v-1$2cos2v−1
Trigonometriska ettan ger också att $\cos^2v=1-\sin^2v$cos2v=1−sin2v.
Sambandet för $\cos2v$cos2v kan då skrivas om på följande sätt:
$\cos2v=$cos2v= $\cos^2v-\sin^2v=$cos2v−sin2v= $1-\sin^2v-\sin^2v=$1−sin2v−sin2v= $1-2\sin^2v$1−2sin2v
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (7)
-
1. Premium
Beräkna $2\left(\cos15^{\circ}\right)^2-1$2(cos15∘)2−1 exakt med hjälp av formel för dubbla vinkeln.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
-
2. Premium
Beräkna exakt $\cos2v+\tan v\sin2v$cos2v+tanvsin2v.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
-
3. Premium
Förenkla $8\sin3x\cos3x$8sin3xcos3x.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
-
4. Premium
Förenkla $\frac{\sin4x}{\sin2x}$sin4xsin2x .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
-
5. Premium
Visa att $\frac{1-\cos2x}{1+\cos2x}=$1−cos2x1+cos2x = $\tan^2x$tan2x.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
-
6. Premium
Visa att $\frac{\cos2v}{\cos v-\sin v}=$cos2vcosv−sinv = $\cos v+\sin v$cosv+sinv .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
-
7. Premium
Visa att $\frac{\sin2x}{2\text{ }\cos x}=$sin2x2 cosx = $\sin x$sinx för alla $x$x där uttrycken är definierade.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
c-uppgifter (4)
-
8. Premium
Beräkna $\left(\cos75^{\circ}+\sin75^{\circ}\right)\left(\cos75^{\circ}-\sin75^{\circ}\right)$(cos75∘+sin75∘)(cos75∘−sin75∘) exakt med hjälp av formel för dubbla vinkeln.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
-
9. Premium
Förenkla $\frac{\sin2x}{1-\cos2x}$sin2x1−cos2x .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
-
10. Premium
Förenkla $\frac{1+\sin v-\cos2v}{\cos v+\sin2v}$1+sinv−cos2vcosv+sin2v .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
-
11. Premium
Skriv om $\cos^4x$cos4x till ett uttryck utan exponenter.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
a-uppgifter (1)
-
12. Premium
Visa att $\cos20^{\circ}\cdot\cos40^{\circ}\cdot\cos80^{\circ}=$cos20∘·cos40∘·cos80∘=$\frac{1}{8}$18 .
(Ledtråd: Utgå från $\sin160^{\circ}$sin160∘ och skriv om med hjälp av formler för dubbla vinkeln.)
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Formler för dubbla vinkeln Matematik 4 Trigonometri och trigonometriska funktionerRättar... -
Endast Premium-användare kan kommentera.