Gravitationsfält och elektriska fält

I fältmodellen tänker vi oss att ett objekt med en viss egenskap skapar en störning i ”rummet”. Med ”rummet” avses den tredimensionella rymd som vi lever i. Den här störningen gör sedan att andra objekt med motsvarande egenskap, som befinner sig i denna förändrade del av rummet, reagerar på störningen. Detta tolkar vi som att de påverkas av en kraft.

I fallet med elektriska laddningar tänker vi oss att ett objekt med egenskapen laddning, t ex en elektron, skapar en störning, ett elektriskt fält, omkring sig. Vi tänker oss även att en annan partikel, en så kallad testladdning, som har en positiv men mycket liten laddning och negligerbar massa, befinner sig i störningen, dvs i fältet. Testladdningen kommer då att påverkas av fältet och av en kraft riktad mot elektronen. Eftersom testladdningen har en så liten laddning så bortser vi från att den också skapar ett fält.

Vi kan ju inte se fältet, men det finns lite olika sätt att illustrera det. Till att börja med ska vi påminna oss om att laddningar påverkar varandra med krafter enligt Coulombs lag. Vi kallar testladdningens laddning för lilla  $q$q  medan vi tänker oss elektronen som en mycket större, stationär laddning som vi kallar stora  $Q$Q.

Coulombs lag:   $F_e=k\cdot$F_e=k· $\frac{Q\cdot q}{r^2}$Q·qr²   

Vi ser i formeln att kraften avtar med avståndet i kvadrat. Detta bör ju framgå då vi försöker illustrera fältet. Ett sätt är att tänka sig att det i alla  fältets punkter finns ett värde, en fältstyrka, som påverkar ett objekt som placeras där. Om fältstyrkan på avståndet  $r_1$r₁ är $81$81, är fältstyrkan på avståndet  $r_2$r₂  istället $9$9, och på avståndet  $r_3$r₃  är den $3$3 osv. Ett exempel på detta ser vi i nästa bild.

Det finns flera, alternativa sätt att illustrera fältet. Den nedre bilden till vänster visar ett vektorfält. Här ritas pilar vars längd representerar fältets styrka.

Men även detta sätt kan bli lite omständligt och för att kvalitativt illustrera fältet används istället ofta så kallade fältlinjer, vilket vi ser i den nedre bilden till höger. Ju tätare fältlinjerna är, desto starkare är fältet. Vi ser att fältlinjerna är tätare närmare laddningen  $Q$Q  än längre ut, dvs fältet är starkare närmare laddningen. Pilarna visar fältets riktning. I fallet med elektriska laddningar gäller att fältets riktning alltid är såsom en positiv laddning skulle påverkas av fältet.

Fortsättningsvis kommer vi att använda detta sätt för att illustrera fält.

Elektrisk fältstyrka

Coulombs lag ger alltså kraften som en laddning  $q$q  påverkas av då den befinner sig i det elektriska fältet skapat av den stationära laddningen  $Q$Q.  $r$r  är avståndet mellan laddningarna, och  $k$k  är en konstant. Eftersom  $Q$Q  och  $k$k  är konstanta ser vi att på ett givet avstånd  $r$r  kommer kraften endast att bero på hur stor laddningen  $q$q  är. Om vi dividerar kraften med laddningen  $q$q  får vi ett konstant värde som gäller på avståndet  $r$r  från  $Q$Q:

 $\frac{F_e}{q}=$F_eq = $k\cdot$k· $\frac{Q}{r^2}$Qr²  

Detta värde kallas fältstyrka, och i detta fall specifikt elektrisk fältstyrka. Vi betecknar detta värde  $E$E  (ofta med dubbel rygg för att inte förväxla det med beteckningen för energi) och får då att:

 $E=$E= $\frac{F_e}{q}=$F_eq = $k\cdot$k· $\frac{Q}{r^2}$Qr²   

Gravitationell fältstyrka

Nu kan vi istället för egenskapen laddning utgå från egenskapen massa, och istället för en stationär elektron tänka oss jorden med massan $M$M. På avståndet  $r$r  finns istället för en testladdning en liten testmassa  $m$m, med så liten massa att den inte påverkar jordens fält. Utifrån detta kanske vi minns att Newtons gravitationslag beskriver gravitationskrafterna mellan dessa massor:

 $F_g=G\cdot$F_g=G·  $\frac{M\cdot m}{r^2}$M·mr²  

Vi ser att Coulombs lag och Newtons gravitationslag är väldigt lika. Vi kan på motsvarande sätt som med laddningar och elektriska fält prata om massor och gravitationsfält eller ”tyngdkraftsfält”. Vi tänker oss då på ett liknande sätt att objekt med egenskapen massa alstrar ett fält omkring sig som påverkar andra objekt som befinner sig i detta fält och har egenskapen massa. Vi ser att tyngdkraften avtar med avståndet i kvadrat.

Vi gör på samma sätt som med det elektriska fältet, vi dividerar med testmassan  $m$m  för att få bara konstanter i högerledet. Dessa konstanter bestämmer den gravitationella fältstyrkan på avståndet  $r$r  från $M$M . Vi kallar fältstyrkan  $g$g  och kan skriva:

 $g=$g= $\frac{F_g}{m}=$F_gm = $G\cdot$G· $\frac{M}{r^2}$Mr²  

Löser vi ut kraften får vi vårt bekanta uttryck för tyngdkraften, $F_g=mg$F_g=mg.

Det finns stora likheterna mellan elektriska krafter och gravitationskrafter i respektive fältmodell. Massa och laddning har motsvarande roller, precis som tyngdaccelerationen och elektriska fältstyrkan. Båda dessa fenomen kan alltså beskrivas av fältmodellen.

Om vi tittar på det radiella tyngdkraftfältet som jorden alstrar pga sin massa, och zoomar in mer och mer, inser vi att fältlinjerna blir mer och mer parallella. Väldigt nära jordytan använder vi approximationen att fältlinjerna är helt parallella och att avståndet till jordens mittpunkt, dvs jordens radie, i stort sett är konstant. Överallt är då också fältstyrkan konstant och riktad åt samma håll. Ett sådant fält kallas ett homogent fält.

Fältstyrkan vid jordens yta är då:

 $g=$g= $\frac{F_g}{m}=$F_gm = $G\cdot$G· $\frac{M_j}{r_j^2}$M_jr_j² 

 $g=6,67\cdot10^{-11}\cdot$g=6,67·10⁻¹¹· $\frac{5,97\cdot10^{24}}{\left(6,37\cdot10^6\right)^2}=$5,97·10²⁴(6,37·10⁶)² = $9,8…$9,8…  N/kg

Detta är princip det värde på tyngdaccelerationen vi använt tidigare i kursen. Notera att tyngdaccelerationen kan anges både med enheten N/kg och m/s$^2$². 

Löser vi ut tyngdkraften ur  $g=\frac{F_g}{m}$g=F_gm   får vi också det samband för tyngdkraften vi använt tidigare, $F_g=mg$F_g=mg. Vi kan se att detta samband är Newtons gravitationslag omformulerad för att gälla lokalt vid jordytan. Det spelar alltså ingen roll var (i närheten av jordytan) vi placerar en massa  $m$m. Kraften som den påverkas av är alltid  $F_g=mg$F_g=mg.

Homogent elektriskt fält

Nu har vi sett ett homogent gravitationsfält. För att skapa ett homogent elektriskt fält kan vi använda två parallella plattor med motsatt laddning. Mellan dessa plattor kan vi approximera fältet som homogent, dvs det har samma styrka och samma riktning överallt i fältet.

Detta visas även genom att fältlinjerna ritas lika tätt överallt. Det spelar alltså ingen roll var vi placerar en laddad partikel, det finns inte något avståndsberoende. Och på motsvarande sätt som för tyngdkraftfältet kan fältstyrkan skrivas $E=\frac{F_e}{q}$E=F_eq . Löser vi ut kraften får vi att en laddning $q$q överallt i det homogena fältet påverkas av kraften $F_e=qE$F_e=qE. Från Fysik 1 vet vi också att om vi har spänningen  $U$U  och avståndet  $d$d  mellan plattorna ges fältstyrkan även av $E=\frac{U}{d}$E=Ud .

Vi har nu tittat på begreppet fält och sett att vi kan beskriva kraftverkan på avstånd med fältmodellen. I synnerhet har vi sett att vi kan hantera gravitationella fält och elektriska fält på liknande sätt.

Tabellen nedan är en sammanställning av det vi gått igenom om fält i den här lektionen.

Vi har sett att när det gäller radiella fält, såsom kring en massa eller en laddad partikel, ges storleken på krafterna av Newtons gravitationslag respektive Coulombs lag. Dividerar vi bort massan  $m$m  respektive laddningen  $q$q  ur dessa formler får vi fältstyrkan $E=k\cdot\frac{Q}{r^2}$E=k·Qr²   för elektriska fält och $g=G\cdot\frac{M}{r^2}$g=G·Mr²   för gravitationella fält.

Fält som är lika starka och lika riktade i alla punkter kallas homogena fält.

I homogena fält har vi inget avståndsberoende, och fältstyrkan är lika stor och lika riktad överallt. Detta gör att vi kan skriva kraftverkan på en laddning  $q$q  eller massa  $m$m  som placeras i fältet som  $F_e=qE$F_e=qE  respektive  $F_g=mg$F_g=mg  och fältstyrkorna som  $E=\frac{F_e}{q}$E=F_eq   samt  $g=\frac{F_g}{m}$g=F_gm .

Kom ihåg: Massa alltid är attraherande, medan elektrisk laddning kan vara attraherande eller repellerande. Här måste vi hålla koll på riktningen.