Härledning av Gammafaktorn

I speciell relativitetsteorin definieras gammafaktorn enligt:

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$γ=1√1−v²c^‍2   .

Detta innebär att vi kan skriva formeln för tidsförlängning samt längdkontraktion på följande form:

$t’=\gamma\cdot t$t’=γ·t ,

$l=\gamma\cdot l'$l=γ·l´ .

Vi ska nu kika på var formlerna för tidsförlängning och längdkontraktion kommer ifrån. Genom att kika på hur en ljusstråle färdas i ett rymdskepp från dess tak till golv ur två olika perspektiv så kan vi härleda följande triangel.

Pythagorassats ger oss då:

$\left(c\cdot t_j\right)^2=\left(c\cdot t_r\right)^2+\left(v\cdot t_j\right)^2$(c·t_j)²=(c·t_r)²+(v·t_j)² ,

subtraherar vi båda led med  $\left(v\cdot t_j\right)^2$(v·t_j)²  får vi:

$\left(c\cdot t_j\right)^2-\left(v\cdot t_j\right)^2=\left(c\cdot t_r\right)^2$(c·t_j)²−(v·t_j)²=(c·t_r)² .

Bryter vi ut  $t_j^2$t_j²  i vänsterledet får vi:

$t_j^2\cdot\left(c^2-v^2\right)=\left(c\cdot t_r\right)^2$t_j²·(c²−v²)=(c·t_r)² ,

vi dividerar nu med  $\left(c^2-v^2\right)$(c²−v²)  vilket ger:

$t_j^2=\frac{\left(c\cdot t_r\right)}{c^2-v^2}$t_j²=(c·t_r)c²−v²  .

Förkortar vi bråket i H.L. med  $c^2$c²  får vi:

$t_j^2=\frac{t_r^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}$t_j²=t_r²1−v²c²   .

Slutligen tar vi roten ur båda led vilket ger oss den slutliga formeln för tidsförlängning:

$t_j=\frac{t_r}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$t_j=t_r√1−v²c²   .