...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda denna sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Fysik 2
 /   Harmonisk svängningsrörelse

Harmonisk svängningsrörelse med pendel

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Fredrik Vislander
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video

Vi har tidigare i kapitlet pratat om svängningar, dvs. periodiska rörelser kring ett jämviktsläge och mellan två ytterlägen. T.ex. har vi tittat ganska ingående på ett svängningssystem som består av en vikt som hänger i en vertikal fjäder. Om man drar ner vikten en sträcka och släpper så sätts systemet i svängning och utför en harmonisk svängningsrörelse och vi ser då att rörelsen sker mellan två ytterlägen och kring ett jämviktsläge. Vi har även i en tidigare lektion tagit fram ett uttryck för periodtiden för en vikt på en fjäder och vi såg att den kunde uttryckas  $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$T=2πmk .

Vi ska i den här lektionen titta på ett annat system som också utför en harmonisk svängningsrörelse, en s.k. pendel.

Ett exempel på en pendelrörelse är ett barn som gungar, som exempelvis på bilden här ovanför. Om vi förenklar situationen och ersätter barnet med en vikt ser vi tydligt att även en sådan rörelse sker periodiskt mellan två ytterlägen och kring ett jämviktsläge. En sådan här pendel som endast svänger i ett ”plan” kallas just för ”plan pendel”. I videon såg vi även att om vi gör en del antaganden som t.ex. att snöret är mycket lätt och att vikten är liten i jämförelse med snörets längd så kallas svängningssystemet även ”matematisk pendel”. 

I videon tar vi fram ett uttryck för periodtiden för en matematisk pendel. 

Periodtid för matematisk pendel

För små vinklar gäller att:

 $T_p=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$Tp=2πlg  

där $T_p$Tp är periodtiden, $l$l är snörets längd och $g$g är tyngdaccelerationen.

Detta ger även att vinkelhastigheten ges av:

 $\text{ω}_p=\sqrt{\frac{g}{l}}$ωp=gl 

Jämför med periodtid och vinkelhastighet hos vertikal fjäder:

 $T_f=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$Tƒ =2πmk  

 $\text{ω}_f=\sqrt{\frac{k}{m}}$ωƒ =km  

Bestämning av tyngdaccelerationen

Natasha vill bestämma värdet på tyngdaccelerationen $g$g där hon bor. Hon fäster en liten kula i ena änden på ett snöre och sätter kulan i harmonisk svängning genom att dra den en bit åt sidan och sedan släppa. 
Hon tar sedan tiden det tar för kulan att genomföra $20$20 svängningar till $35,9$35,9 sekunder. Snöret är $0,80$0,80 m.

Lösning

Vi skriver upp vad vi vet:

 $l=0,80$l=0,80 m
 $T_{20}=35,9$T20=35,9 s

Vi löser nu ut tyngdaccelerationen $g$g ur uttrycket för periodtiden hos en plan pendel och sätter in värden. Observera att vi måste använda tiden för endast en svängning, dvs. vi måste dividera $T_{20}$T20 med $20$20.

 $g=l\cdot\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2=0,80\cdot\left(\frac{2\pi}{\frac{35,9}{20}}\right)^2\approx9,8\text{ }\frac{m}{s^2}$g=l·(2πT )2=0,80·(2π35,920  )29,8 ms2  

Svar: Hon får tyngdaccelerationen till ca $9,8\text{ }\frac{m}{s^2}$9,8 ms2 

 

Fördjupning – Svängningsrörelse ”på riktigt”

När vi har analyserat harmoniska svängningsrörelser så har vi gjort flera förenklingar av verkligheten, t.ex. att vi inte har friktion och luftmotstånd. Detta gör man för att man vill analysera grundprincipen i svängningen. 

I verkligheten så har vi ju naturligtvis en mer komplex situation och det finns inga svängningssystem som inte påverkas av yttre krafter.

Dämpad svängning

Alla svängningssystem påverkas av friktion och luftmotstånd. Dessa krafter är exempel på resistiva krafter, dvs. krafter som verkar motsatt hastighetens riktning och därmed dämpar rörelsen.

Tittar vi specifikt på pendelsystemet så utsätts vikten för ett luftmotstånd när den rör sig genom luften. Vi har dessutom friktion mellan snöret och fästpunkten.

Detta leder till att en del av den mekaniska energin hela tiden omvandlas till termisk energi och ”förloras” ur systemet. Det blir mindre och mindre energi kvar i systemet för varje svängning vilket gör att vikten kommer upp till lägre och lägre höjd för varje svängning. Amplituden minskar succesivt för att till sist dö ut.

Detta kallas ”dämpning” eller ”dämpad svängning”. Tittar vi på hur grafen till en dämpad svängning ser ut så ser vi att frekvensen/våglängden kommer vara (nästan) konstant men amplituden minskar med tiden.

Resonans

Du har säkert upplevt att det finns en ”rätt takt” att gunga någon i en gunga och om man ger gungan en knuff i precis rätt ögonblick (i vändläget) så kan man få gungan att öka amplituden. Notera att denna kraft istället verkar i samma riktning som hastigheten och är därmed ett exempel på en drivande kraft, dvs. en kraft som förstärker rörelsen.

Den här ”takten” kan ju uttryckas som ”antal knuffar per tid” vilket ju är en frekvens. Svängningssystem har alltså vad man kallar för en ”egenfrekvens” eller ”resonansfrekvens” och fenomenet resonans uppstår då en extern kraft påverkar systemet periodiskt med systemets egenfrekvens.

Resonans kan uppstå i många olika system och ett exempel på ett system som kan uppleva resonans är centrifugen i en tvättmaskin. Vid vissa varvtal kan tvättmaskinen börja vibrera kraftigt då varvtalet motsvarar själva tvättmaskinens egenfrekvens. Andra exempel på system som kan uppleva resonans är broar, musikinstrument, byggnader och elektroniska system.

Så hur beräknar man egenfrekvensen? Ja, man kan t.ex. använda svängningstiden. För en matematisk pendel har vi att svängningstiden ges av 

 $T_p=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$Tp=2πlg  

Men vi vet också att periodtid och frekvens har följande samband:

 $f=\frac{1}{T}$ƒ =1T  

Detta gör att vi kan få egenfrekvensen hos en matematisk pendel som:

 $f_p=\frac{1}{T_p}=\frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$ƒ p=1Tp =12πlg  =12π gl  

Så om en extern kraft påverkar ett system periodiskt med systemets egenfrekvens så kan svängningens amplitud öka mycket kraftigt. Nedan ser vi en graf av en resonanssvängning.

Resonans är ett viktigt begrepp för t.ex. ingenjörer. T.ex. måste de som bygger hus och broar vara mycket medvetna om hur t.ex. vinden kan påverka konstruktionen. Skyskrapor måste vara byggda på ett sätt som gör att vinden inte ska kunna få dem att svänga med sin egenfrekvens. 

Ett känt exempel där resonans fick katastrofala följder är Tacoma Narrows Bridge som 1940 kollapsade p.g.a. att vinden fick bron att komma i egensvängning. Ni kan läsa mer om Tacoma Narrows Bridge här och se en video på förloppet här.

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ
    Ett pendelur flyttas från jorden till en planet med större tyngdacceleration än jorden. Hur kommer klockan att påverkas?

     

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Tyngdaccelerationen på månen är ca $1,62\text{ }\frac{m}{s^2}$1,62 ms2 . Vilken svängningstid skulle en pendel med längden $0,90$0,90  m få på månen? 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Du arbetar som ingenjör och har fått i uppdrag att konstruera en pendel som ska ha en svängningstid på $1,8$1,8 s. Till ditt förfogande har du en vikt på 323 g samt ett snöre. Hur långt ska snöret vara? Svara i hela centimeter.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler läromedel dig:
    Fördjupande texter 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
    Så hjälper Eddler läromedel dig:
    800+ lektioner 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Du går förbi en lekplats och ser ett barn gunga i en gunga. Du funderar på om du kan lista ut ungefär hur långa kedjorna är som håller uppe gungan. Du tar upp din mobil och mäter tiden det tar för barnet att gunga $20$20 hela svängningar till $55,3$55,3 sekunder. Hur långa är kedjorna? Svara med 2 värdesiffror.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Astronauten Sara har upptäckt en ny planet. Hon bestämmer sig för att undersöka planeten lite närmare och landar sitt rymdskepp. Hon börjar med att bestämma tyngdaccelerationen på planeten.

    Hon fäster en liten kula i ena änden på ett snöre och sätter kulan i harmonisk svängning genom att dra den en bit åt sidan och sedan släppa. Hon tar sedan tiden det tar för kulan att genomföra $10$10 svängningar till $15,8$15,8 sekunder. Snöret är $0,90$0,90 m.

    Hur stor är tyngdaccelerationen på planeten?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Torben svänger sig i en lian. Han väger $54$54 kg och han befinner sig $4,2$4,2 meter under lianens fästpunkt. Den maximala utslagsvinkeln är $\theta=9,0^{\circ}$θ=9,0 . Hur stor är spännkraften i lianen i vändlägena? Svara med rätt antal värdesiffror.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 7. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vi tittar på samma situation som i uppgift 6. Hur stor är Torbens acceleration i vändlägena? Svara med rätt antal värdesiffror.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vi tittar återigen på samma situation som i uppgift 6. Hur stor är Torbens fart då han passerar banans lägsta punkt? Svara med rätt antal värdesiffror.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vi tittar återigen på samma situation som i uppgift 6. Hur stor är Torbens acceleration då han passerar banans lägsta punkt? Svara med rätt antal värdesiffror. Obs! Du bör ha löst uppgift 8 för att kunna lösa denna uppgift. 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P
    PL 1
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Vi tittar återigen på samma situation som i uppgift 6. Hur stor är spännkraften i lianen då Torben svängningens lägsta punkt? 

    OBS! Du bör ha löst uppgift 9 för att kunna lösa denna uppgift.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler läromedel dig:
Fördjupande texter 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
Så hjälper Eddler läromedel dig:
800+ lektioner 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se