Harmonisk svängningsrörelse med pendel

Ett exempel på en pendelrörelse är ett barn som gungar, som på bilden här ovanför. Om vi förenklar situationen och ersätter barnet med en vikt ser vi tydligt att även en sådan rörelse sker periodiskt mellan två ytterlägen och kring ett jämviktsläge. En sådan här pendel som endast svänger i ett ”plan” kallas just för plan pendel. I videon såg vi även att om vi gör vissa antaganden, såsom att snöret är mycket lätt och att viktens storlek är liten i jämförelse med snörets längd, kallas svängningssystemet även matematisk pendel. 

I videon tar vi fram ett uttryck för periodtiden hos en matematisk pendel. 

Eftersom vinkelhastigheten är $ω=\frac{2\pi}{T}$ω=2πT   kan den för en matematisk pendel skrivas:

 $ω_p=$ω_p=  $\sqrt{\frac{g}{l}}$√gl  

Jämför med periodtid och vinkelhastighet hos en vikt i vertikal fjäder:

 $T_{fj}=2\pi$T_ƒ j=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$‍√mk   

 $ω_{fj}=$ω_ƒ j=$\sqrt{\frac{k}{m}}$√km   

Du har säkert upplevt att det finns en ”rätt takt” att putta på någon i en gunga. Om du ger gungan en knuff i precis rätt ögonblick (i vändläget) kan du få gungan att öka sin amplitud. Denna kraft verkar i samma riktning som hastigheten och är därmed ett exempel på en drivande kraft, dvs en kraft som förstärker rörelsen.

Den här ”knuff-takten” kan uttryckas som ”antal knuffar per tid” vilket ju är en frekvens. Svängningssystem har alltså vad man kallar för en egenfrekvens eller resonansfrekvens. Fenomenet resonans uppstår då en extern kraft påverkar systemet periodiskt i takt med systemets egenfrekvens.

Resonans kan uppstå i många olika system, ett exempel är centrifugen i en tvättmaskin. Vid vissa varvtal kan tvättmaskinen börja vibrera kraftigt eftersom varvtalet då motsvarar tvättmaskinens egenfrekvens. Andra exempel på system som kan uppleva resonans är broar, musikinstrument, byggnader och elektroniska system.

Hur beräknas egenfrekvensen? Ett sätt är att använda svängningstiden. För en matematisk pendel ges svängningstiden av: 

 $T_p=2\pi$T_p=2π$\sqrt{\frac{l}{g}}$√lg   

Vi vet också att periodtid och frekvens har följande samband:

 $f=$ƒ = $\frac{1}{T}$1T   

Vi sätter ihop dessa samband, vilket ger egenfrekvensen hos en matematisk pendel:

 $f_p=$ƒ _p= $\frac{1}{T_p}=\frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$1T_p =12π√lg  =12π √gl   

Alltså: Om en extern kraft påverkar ett system periodiskt med systemets egenfrekvens kan svängningens amplitud öka mycket kraftigt. Nedan ser vi en graf av en resonanssvängning.

Resonans är ett viktigt begrepp för t ex ingenjörer. De som konstruerar hus och broar måste vara mycket medvetna om hur t ex vinden kan påverka konstruktionen. Skyskrapor måste vara byggda på ett sätt som gör att vinden inte ska kunna få dem att svänga med sin egenfrekvens. 

Ett känt exempel där resonans fick katastrofala följder är Tacoma Narrows Bridge, som 1940 kollapsade på grund av att vindens frekvens satte bron i egensvängning. Du kan läsa mer om Tacoma Narrows Bridge här och se en video på förloppet här.

När vi har analyserat harmoniska svängningsrörelser har vi gjort flera förenklingar av verkligheten, t ex att vi inte har friktion eller luftmotstånd. Detta görs för att enklare kunna beskriva och förstå grundprinciperna hos svängningen. I verkligheten har vi naturligtvis en mer komplex situation, och det finns inga svängningssystem som inte påverkas av yttre krafter.

Dämpad svängning

Alla svängningssystem påverkas av friktion och luftmotstånd. Detta är exempel på bromsande krafter, dvs krafter som verkar motsatt hastighetens riktning och därmed dämpar rörelsen.

I pendelsystemet utsätts vikten för ett luftmotstånd när den rör sig genom luften. Vi har dessutom friktion mellan snöret och fästpunkten.

Detta leder till att en del av den mekaniska energin hela tiden omvandlas till termisk energi och ”förloras” ur systemet. Det blir mindre och mindre energi kvar i systemet för varje svängning, vilket gör att vikten kommer till en höjd som blir lägre och lägre för varje svängning. Amplituden minskar succesivt för att till sist dö ut.

Detta kallas dämpning eller dämpad svängning. I grafen till en dämpad svängning ser vi att frekvensen/våglängden kommer att vara (nästan) konstant, men att amplituden minskar med tiden.