Interferens mellan vågor från två punktkällor

Exempel 1

Två små högtalare är kopplade till samma tongenerator enligt figuren. Högtalarna sänder ut en ton med en viss frekvens. En mätning visar att punkten  $P$P   ligger på andra nodlinjen. Vilken frekvens har tonen?

Lösning

Högtalarna är kopplade till samma tongenerator och sänder därför ut ljud som är i fas, dvs högtalarnas membran oscillerar i samma takt. Att punkten $P$P  ligger på 2:a nodlinjen innebär att en vågdal och en vågtopp möts här, vi har destruktiv interferens. Vi vet även att skillnaden i sträcka som respektive ljudvåg har färdats för att nå punkten  $P$P  är $\frac{3}{2}$32  våglängder:
 $\bigtriangleup s=$△s= $\frac{3}{2}$32  $λ$λ  

Sträckan från  $H_1$H₁  till  $P$P  betecknas $s_1$s₁, och sträckan från  $H_2$H₂  till  $P$P  betecknas  $s_2$s₂ . Vägskillnaden är alltså:
 $\bigtriangleup s=s_2-s_1$△s=s₂−s₁ 

Vi sätter uttrycken för  $\bigtriangleup s$△s  lika med varandra och löser ut våglängden:

 $s_2-s_1=$s₂−s₁= $\frac{3}{2}$32  $λ$λ  

 $\text{λ}=$λ= $\frac{2\left(s_2-s_1\right)}{3}=\frac{2\left(0,33-0,25\right)}{3}=$2(s₂−s₁)3 =2(0,33−0,25)3 = $0,533…\text{ }$0,533…   m  

För att beräkna frekvensen använder vi sambandet $v=\text{λ}f$v=λƒ .

 $f=$ƒ = $\frac{v}{λ}=\frac{340}{0,0533…}=$vλ =3400,0533… = $6375\text{ }$6375   Hz

Svar: Frekvensen är  $6,4$6,4 kHz.

Exempel 2

Två små högtalare arbetar i takt. Högtalarna har ett inbördes avstånd på  $70$70  cm. På avståndet  $1,3$1,3  m från högtalarna används en mikrofon för att mäta ljudintensiteten vid olika punkter längs med linjen  $L$L.

Vid punkten  $P$P  uppmäts ett ljudmaximum. Mikrofonen flyttas sedan nedåt och uppmäter efter en viss sträcka ett ljudminimum. Mikrofonen fortsätter att förflyttas nedåt och uppmäter då ett nytt maximum, sedan ett nytt minimum och till sist ett nytt maximum i punkten  $Q$Q. Avståndet mellan  $P$P  och  $Q$Q  uppmäts till  $1,0$1,0  m. Bestäm ljudets frekvens.

Lösning

Av texten kan vi dra slutsatsen att mikrofonen går från centralmax ($P$P), passerar $1$1:a minima, $1$1:a maxima, $2$2:a minima och stannar på $2$2:a maxima ($Q$Q). Vi vet att vägskillnaden mellan respektive högtalare och  $Q$Q  då måste vara två hela våglängder, dvs $\bigtriangleup s=2\text{λ}$△s=2λ. Det innebär att vi kan skriva

 $2\text{λ}=H_1Q-H_2Q$2λ=H₁Q−H₂Q

 $\text{λ}=$λ= $\frac{H_1Q-H_2Q}{2}$H₁Q−H₂Q2   

För att kunna beräkna våglängden behöver vi alltså veta avstånden  $H_1Q$H₁Q  och  $H_2Q$H₂Q . Här kan vi använda geometri och i synnerhet Pythagoras sats.

För att hitta  $H_1Q$H₁Q  kan vi använda följande rätvinkliga triangel:

Avståndet vi söker är hypotenusan i den blå triangeln. Vi har den ena kateten, triangelns bas, det är avståndet mellan högtalarna och linjen $L$L, dvs $l=1,3$l=1,3  m. Den andra kateten, triangelns höjd, kan vi få som summan av halva avståndet mellan högtalarna och sträckan $PQ$PQ,  dvs  $PQ+\frac{d}{2}$PQ+d2  . Pythagoras sats ger då:

 $H_1Q=\sqrt{l^2+\left(PQ+\frac{d}{2}\right)^2}=\sqrt{1,3^2+\left(1,0+0,35\right)^2}=1,87…$H₁Q=√l²+(PQ+d2 )²=√1,3²+(1,0+0,35)²=1,87…  m

Samma tillvägagångssätt för avståndet $H_2Q$H₂Q ger följande triangel:

Här får vi den vertikala kateten som sträckan $PQ$PQ minus halva avståndet mellan högtalarna, dvs  $PQ-\frac{d}{2}$PQ−d2  . Vi får följande ekvation:

 $H_2Q=\sqrt{l^2+\left(PQ-\frac{d}{2}\right)^2}=\sqrt{1,3^2+\left(1,0-0,35\right)^2}=1,45…$H₂Q=√l²+(PQ−d2 )²=√1,3²+(1,0−0,35)²=1,45…  m

Vi kan nu beräkna våglängden:

 $\text{λ}=$λ=  $\frac{H_1Q-H_2Q}{2}=\frac{1,87…-1,45…}{2}=$H₁Q−H₂Q2 =1,87…−1,45…2 =  $0,210…$0,210…  m. 

Till sist använder vi sambandet $v=\text{λ}f$v=λƒ   för att beräkna frekvensen:

 $f=$ƒ =  $\frac{v}{\text{λ}}=\frac{340}{0,210…}$vλ =3400,210…   $=1616,2…$=1616,2…  Hz

Svar: Frekvensen är $1,6$1,6  kHz.