Jämvikt och momentlagen

Exempel 1

Bilden visar två barn på en gungbräda. Det mindre barnet (barn 1) väger $21$21 kg och det större barnet (barn 2) väger $42$42 kg. Barn 1 sitter $1,8$1,8 m från vridningsaxeln. Hur långt från vridningsaxeln måste barn 2 sitta för att momentjämvikt ska råda?

Lösning

Vi ritar in krafter och momentarmar i figuren och skriver ned vad vi vet:

 $F_1=m_1\cdot g$F₁=m₁·‍g 

 $m_1=21$m₁=21 kg

 $r_1=1.8$r₁=1.8  m 

 $F_2=m_2\cdot g$F₂=m₂·g 

 $m_2=42$m₂=42  kg

 $r_2=?$r₂=?  

Om det ska vara momentjämvikt så måste momentet moturs vara lika stort som momentet medurs.

 $M_1=M_2$M₁=M₂ 

Eftersom kraftmomentet definieras som $M=F\cdot r$M=F·r  så kan vi ställa upp: 

 $F_1\cdot r_1=F_2\cdot r_2$F₁·r₁=‍F₂·r₂ 

 $m_1g\cdot r_1=m_2g\cdot r_2$m₁g·r₁=m₂g·r_‍2

Det vi söker är barn 2:s avstånd från vridningsaxeln så vi löser ut $r_2$r₂ ur sambandet:

 $r_2=\frac{m_1g\cdot r_1}{m_2g}=\frac{m_1\cdot r_1}{m_2}=\frac{21\cdot1,8}{42}=0,9$r₂=m₁g·r₁m₂g =m₁·r₁m₂ =21·1,842 =0,9 

Svar: Barn 2 måste sitta $90$90 cm från vridningsaxeln för att momentjämvikt ska råda.

Exempel 2

En homogen bom vid en rälskorsning hålls stilla horisontellt av en bock i ena änden och en kraft på $40$40 N i andra. Bommen är vridbar vid bocken. Vad väger bommen?

Lösning

En kraft verkar även uppåt från bocken på bommen och hjälper till att hålla bommen i kraftjämvikt. Men om vi väljer vridningspunkt vid bocken så kommer ju kraftmomentet för denna kraft att bli noll (momentarmen är ju då noll). Detta underlättar beräkningarna. De krafter som nu verkar vridande på bommen kring vridningsaxeln är då dels kraften $F=40$F=40 N men även tyngdkraften $F_g=mg$F_g=mg som ju verkar i bommens mittpunkt.

Vi ritar in tyngdkraften och dess momentarm:

Eftersom bommen är i jämvikt så måste momentet medurs vara lika stort som momentet moturs enligt momentlagen:

 $M_1=M_2$M₁=M₂ 

Momentet medurs utgörs av produkten av tyngdkraften $F_g$F_g och halva bommens längd $\frac{l}{2}$l2 , medan momentet moturs utgörs av produkten av kraften $F$F och hela bommens längd $l$l.

 $F_g\cdot\frac{l}{2}=F\cdot l$F_g·l2 =F·l 

Eftersom tyngdkraften kan skrivas  $F_g=mg$F_g=mg så har vi att: 

 $mg\cdot\frac{l}{2}=F\cdot l$mg·l2 =F·l

Vi löser ut massan $m$m och förkortar bort längden  $l$l :

 $m=\frac{2F}{g}=\frac{2\cdot40}{9,82}\approx8,1$m=2Fg =2·409,82 ≈8,1 kg. 

Svar: Bommens massa är ca $8,1$8,1 kg. 

Exempel 3

En skylt hänger på en balk utanför en butik enligt bilden. Balken är homogen, $1,8$1,8 m lång, väger $12$12 kg och är fäst i väggen med en rörlig led. Skylten hänger längst ut på balken och väger $8,0$8,0 kg. För att stabilisera balken är ett rep fäst i balken och repet bildar en vinkel på  $\theta=35^{\circ}$θ=35^∘  mot balken. Hur stor är kraften i repet? Svara med en decimal.

Lösning

Vi börjar med att rita ut alla krafter som verkar på balken: $F_r$F_r är kraften i repet, $F_{gb}$F_gb är tyngdkraften på balken och $F_{gs}$F_gs är tyngdkraften på skylten som även verkar på balken.

Vi komposantuppdelar $F_r$F_r:

 $F_{\parallel}=F_r\cdot cos\text{ }\theta$F_∥=F_r·cos θ 

 $F_{\perp}=F_r\cdot sin\text{ }\theta$F_⊥=F_r·sin θ 

Eftersom balken är i jämvikt så är kraftmomentet medurs $M_1$M₁ lika stort som kraftmomentet moturs $M_2$M₂ . Låter vi dessutom vridningspunkten vara fästet i väggen så blir vi av med eventuella kraftmoment från krafter som verkar i den punkten. Den parallella komposanten av $F_r$F_r bidrar inte heller till kraftmomentet. Vi har således:

 $M_1=M_2$M₁=M₂  

 $F_{gs}\cdot l+F_{gb}\cdot\frac{l}{2}=F_r\cdot sin\text{ }\theta\cdot l$F_gs·l+F_gb·l2 =F_r·sin θ·l 

Vi ser att balkens längd  $l$l  finns i alla termer och vi kan förkorta bort den:

 $F_{gs}+\frac{1}{2}F_{gb}=F_r\cdot sin\text{ }\theta$F_gs+12 F_gb=F_r·sin θ

Vi läser nu ut  $F_r$F_r :

 $F_r=\frac{F_{gs}}{sin\text{ }\theta}+\frac{F_{gb}}{2\cdot sin\text{ }\theta}$F_r=F_gssin θ ‍+F_gb2·sin θ  

Vi kan ersätta  $F_{gs}=m_sg$F_gs=m_sg  och   $F_{gb}=m_bg$F_gb=m_bg i uttrycket:

 $F_r=\frac{m_sg}{sin\text{ }\theta}+\frac{m_bg}{2\cdot sin\text{ }\theta}=\frac{8\cdot9,82}{sin\text{ }35^{\circ}}+\frac{12\cdot9,82}{2\cdot sin\text{ }35^{\circ}}=239,7\text{ }N$F_r=m_sgsin θ +m_bg2·sin θ =8·9,82sin 35^∘ +12·9,822·sin 35^∘ =239,7 N 

Svar: Kraften i repet är ca $239,7$239,7 N