00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 4
/  Komplexa tal och Polynom

Komplexa tal och imaginära enheten i

Författare:Simon Rybrand
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
PROVA GRATIS
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Innehåll

Komplexa tal – Vad är det?

Komplexa tal är en utvidgning av de reella talen, alltså en ny typ av tal, som du förmodligen inte stött på i de tidigare mattekurserna. Med hjälp av de komplexa talen kan vi t ex beräkna roten ur negativa tal och då lösa ekvationer som  x2=−9x^2=-9x2=−9. Komplexa tal är också viktiga inom olika fysikaliska områden, som t ex växelström, elektromagnetism och kvantfysik.

Imaginära tal

På den reella tallinjen motsvarar varje punkt ett specifikt reellt tal. Mängden av alla reella tal ”fyller” hela tallinjen, utan undantag. Men trots detta finns det ekvationer som saknar lösningar om vi endast söker dem på den reella tallinjen. Ett exempel på en sådan ekvation är  x2=−1x^2=-1x2=−1 .Vi kan inte hitta ett reellt tal vars kvadrat är negativ, och ekvationen saknar därför reella rötter. För att lösa denna typ av ekvationer behöver vi införa en ny sorts av tal. Dessa kallas imaginära tal och utgår från den imaginära enheten  iii.

Den imaginära enheten iii definieras som ett tal med egenskapen  i2=−1i^2=-1i2=−1. 

Med hjälp av det nydefinierade talet iii  kan vi nu lösa ekvationer på formen x2=ax^2 = a där a<0a<0a<0.

Exempel 1

Lös ekvationen  x2=−1x^2=-1x2=−1.

Lösning

Vi använder kvadratrotsmetoden för att lösa ekvationen.

 x2=−1x^2=-1x2=−1 
 x=±−1=±i2=±ix=\pm\sqrt{-1}=\pm\sqrt{i^2}=\pm ix=±√−1=±√i2=±i 

 {x1=ix2=−i\begin{cases}x_1=i \\ x_2=-i \end{cases}

Genom att utgå från talet iii kan vi se att det finns oändligt många imaginära tal:  2i2i2i,  −3i-3i−3i,  17i\frac{1}{7}i17 i,  πi\pi iπi  osv.
Begreppet imaginära tal började användas av matematiker på 1600-talet, och syftade då på att talen inte existerade ”på riktigt”. De menade att talen var inbillade, imaginära, till skillnad från de verkliga talen, de så kallade reella. Även om man nu sedan länge accepterat att de imaginära talen är precis lika verkliga som de reella, lever dess namn kvar.

Genom att sätta samman reella och imaginära tal får vi de komplexa talen. Namnet härstammar från latinets complexus, som betyder sammansatt.  

Komplexa tal

Komplext tal

Ett tal på formen  z=a+biz=a+biz=a+bi  är ett komplext tal
där  aaa  är realdelen, bbb  imaginärdelen och i=−1i=\sqrt{-1}i=√−1.

Detta kan skrivas som {Re z=aIm z=b\begin{cases} \text{Re }z=a \\ \text{Im }z=b \end{cases}

När ett komplext tal skrivs som  a+bia+bia+bi  kallas det rektangulär form. I senare lektioner kommer vi att se att komplexa tal även kan anges på andra sätt, t ex på polär form.

Exempel 2

Ange realdelen och imaginärdelen för det komplexa talet  z=6+4iz=6+4iz=6+4i .

Lösning

Det komplexa talet  z=6+4iz=6+4iz=6+4i  har realdelen 666 och imaginärdelen  444 .

{Re z=6Im z=4\begin{cases} \text{Re }z=6 \\ \text{Im }z=4 \end{cases}


Observera att talet iii inte ingår i imaginärdelen, utan bara koefficienten framför.

Det komplexa talplanet

Ett komplext talplan är ett bra sätt att visualisera de komplexa talen. Den horisontella axeln är vår ”vanliga” tallinje, som representerar realdelen av ett komplext tal. Den lodräta axeln är en tallinje som representerar imaginärdelen. Det komplexa talet  z=3+2iz=3+2iz=3+2i  kan då representeras genom att punkten med koordinaterna  (3,2)(3,2)(3,2)  markeras i det komplexa talplanet.

Exempel 3

Markera det komplexa talet  z=−2+4iz=-2+4iz=−2+4i  i ett komplext talplan.

Lösning

Vi markera realdelen efter den horisontella axeln och imaginärdelen efter den lodräta. 

Punkt i komplexa talplaner

 Re z=−2\text{Re }z=-2Re z=−2  och Im z=4\text{Im }z=4Im z=4  motsvarar punkten med koordinaterna  (−2,4)(-2,4)(−2,4).

Exempel 4

Ange realdelen och imaginärdelen för det komplexa talet  z=−2iz=-2iz=−2i 

Lösning

Det komplexa talet  z=−2iz=-2iz=−2i  kan skrivas  z=0−2iz=0-2iz=0−2i . Vi ser att realdelen Re z=0\text{Re }z=0Re z=0 och imaginärdelen Im z=−2\text{Im }z=-2Im z=−2.

Det komplexa talet  z=−2iz=-2iz=−2i  har realdelen  000, och kan därför benämnas som ett imaginärt tal, eller ett rent imaginära tal. På ett liknande sätt kan alla reella tal kan skrivas på formen  a+bia+bia+bi  genom att sätta imaginärdelen  b=0b=0b=0. Både de reella och de imaginära talen utgör en delmängd av de komplexa talen. 

Olika talmängder

Som vi nämnde i lektionen Tal och Talsystem har matematiken utvecklas genom historien. Nya upptäckter har ibland medfört behov av nya typer av tal. Talen kan delas in i olika mängder och delmängder på följande sätt:

De olika talmängderna

Naturliga tal

Alla heltal större eller lika med noll
N=\mathbf{N}= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, … 0, \, 1,\, 2,\, 3, \, 4, \, 5, \, …}

Heltal

Alla heltal (naturliga och negativa)
Z=\mathbf{Z}= { …−2, −1, 0, 1, 2… …-2,\, -1,\, 0, \, 1, \, 2…}

Rationella tal

Alla tal som kan skrivas som en kvot av två heltal aaa och bbb , där b≠0b\ne0b≠0 
Q=\mathbf{Q}= { alla tal ab\frac{a}{b}, där aa och bb är hela tal och b≠0b≠0}

Irrationellt tal

Reella tal som inte är rationella

Reella tal

Varje punkt på en kontinuerlig reell tallinje motsvarar ett reellt tal.
R=\mathbf{R}= { alla tal på den reella tallinjen}

Imaginära tal (eller rent imaginära tal)

Tal som innehåller den imaginära enheten  iii  och vars kvadrat ger ett negativt tal
I=\mathbf{I}= { alla tal  bibibi , där  b∈b\text{∈}b∈R \mathbf{R} och  b≠0b\ne0b≠0 }

Komplexa tal

Alla tal på formen  z=a+biz=a+biz=a+bi, där aaa är realdelen, bbb imaginärdelen och i2=−1i^2=-1i2=−1, motsvarar ett komplext tal.
C=\mathbf{C}= { z=a+biz=a+biz=a+bi, där aaa och bbb är reella tal och iii den imaginära enheten}

Exempel i videon

  • Lösning av ekvationen x2=−1 x^2 = -1 .
  • Markering av z=2+3i z = 2+3i och z=−2−iz = -2-i i det komplexa talplanet.
  • Markera z = 2 – 3i i det komplexa talplanet.
  • Ange Re z och Im z då z = -4 – 9i.
  • Lös ekvationen x² + 4 = 0
Nästa lektion: Vektorer, absolutbelopp och konjugat

Eddler
VÅR TJÄNST
POPULÄRA KURSER
FÖRETAGSINFO

  • Eddler AB
    Org.nr: 559029-8195
    Kungsladugårdsgatan 86
    414 76 Göteborg

    info@eddler.se
© 2024 EDDLER AB
  • Säker SSL-server