Kvadratkomplettering

Exempel 1

Lös ekvationen  $x^2+8x-9=0$x²+8x−9=0 med kvadratkomplettering.

Lösning

Vi har ekvationen  $x^2+8x-9=0$x²+8x−9=0 och skriver nu om den som

$x^2+8x=9$x²+8x=9

Sedan kompletterar vi med halva koefficienten framför x i kvadrat, $\left(\frac{8}{2}\right)^2=4^2$(82 )²=4²

$x^2+8x+4^2=9+4^2$x²+8x+4²=9+4²

Nu kan vänsterledet faktoriseras och högerledet förenklas

$\left(x+4\right)^2=25$(x+4)²=25

Nu tar vi roten ur

$x+4=\pm\sqrt{25}$x+4=±√25

$x=-4\pm5$x=−4±5

Lösningarna är alltså

$\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=-9  \end{cases}$

Exempel 2

Lös ekvationen $x^2+4x-5=0$ med kvadratkomplettering.

Lösning

$x^2+4x-5=0$

Addera med 5

$x^2+4x=5$

Lägg till (kvadratkomplettera med) $(\frac{4}{2})^2=2^2$

$x^2+4x+2^2=5+2^2$

$x^2+4x+2^2=9$

Här kan vi nu faktorisera vänsterledet med den första kvadreringsregeln vilket ger oss

$(x+2)^2=9$

Nu tar vi roten ur

$x+2=\pm \sqrt{9}$

Subtrahera med $2$

$x=-2\pm \sqrt{9}$

$x=-2\pm 3$

Vi har alltså lösningarna

$\begin{cases} x_1=1 \\ x_2=-5  \end{cases}$