Räkneövning ellära

Exempel 1

Beräkna det totala motståndet i kretsen.

Lösning

Vi börjar med att beräkna ersättningsresistansen för parallellkopplingen.

 $\frac{1}{R_{ers}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$1R_ers =1R₁ +1R₂  

 $\frac{1}{R_{ers}}=\frac{1}{5,0}+\frac{1}{2,0}=$1R_ers =15,0 +12,0 = $0,20+0,50=0,70$0,20+0,50=0,70 

 $R_{ers}=$R_ers= $\frac{1}{0,70}=$10,70 = $1,42…$1,42…  Ω

Denna parallellkoppling är i serie med ett annat motstånd. Det totala motståndet är:

 $R_{tot}=5,0+R_{ers}=6,42…$R_tot=5,0+R_er‍s=6,42…  Ω

Svar: Det totala motståndet är  $6,4$6,4  Ω.

Exempel 2

Beräkna det totala motståndet i kretsen samt hur stor ström som går genom de olika resistorerna. 

Lösning

Vi börjar med att beräkna det totala motståndet i kretsen, dvs ersättningsresistansen för de parallellkopplade resistorerna.

 $\frac{1}{R_{ers\text{ }}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$1R_ers  =1R₁ +1R₂  

 $\frac{1}{R_{ers\text{ }}}=\frac{1}{20}+\frac{1}{10}=\frac{1}{20}+\frac{1\text{ }\cdot2}{10\text{ }\cdot2}=\frac{3}{20}$1R_ers  =120 +110 =120 +1 ·210 ·2 =320  

 $R_{ers}=$R_ers= $\frac{20}{3}=$203 = $6,66…$6,66…  Ω

Vi ska nu beräkna strömmen genom de olika resistorerna. Detta kan göras genom att använda Ohms lag över respektive resistor.

Strömmen genom  $R_1$R₁ :

 $I_1=$I₁= $\frac{U}{R_1}=\frac{48}{20}=$UR₁ =4820 = $2,4$2,4  A

Strömmen genom  $R_2$R₂  :

 $I_2=$I₂= $\frac{U}{R_2}=\frac{48}{10}=$UR₂ =4810 = $4,8$4,8  A

Svar: Det totala motståndet i kretsen är  $6,7$6,7  Ω. Strömmen genom  $R_1$R₁  är  $I_1=2,4$I₁=2,4  A och strömmen genom  $R_2$R₂  är  $I_2=4,8$I₂=4,8 A.

Detta innebär att den totala strömmen i kretsen är:

 $I_{tot}=I_1+I_2=2,4+4,8=7,2$I_tot=I₁+I₂=2,4+4,8=7,2  A

Detta hade även kunnat bestämmas med Ohms lag över hela kretsen:

 $U_{tot}=R_{tot}\cdot I_{tot}$U_tot=R_tot·I_tot 

 $I_{tot}=$I_tot= $\frac{U_{tot}}{R_{tot}}=\frac{48}{6,66…}=$U_totR_tot =486,66… = $7,2$7,2  A

Exempel 3

En krets består av en spänningskälla samt tre resistorer, enligt bilden nedan. Resistansen hos motstånden är  $R_1=5,0$R₁=5,0  Ω ,  $R_2=4,0$R₂=4,0  Ω och  $R_3=6,0$R₃=6,0  Ω. Hur stor ström kommer att passera genom  $R_2$R₂ ?

Lösning

I denna krets är två av motstånden parallellkopplade, och ett tredje sitter i serie med dessa två. För att beräkna strömmen genom  $R_2$R₂  måste vi ta reda på spänningen över  $R_2$R₂ . Detta kommer att kräva flera steg. Först beräknar vi det totala motståndet i kretsen.

Steg 1

Ersättningsresistansen för de parallellkopplade resistorerna är:

 $\frac{1}{R_{ers\text{ }2,3}}=\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}$1R_{ers 2,3} =1R₂ +1R₃  

 $\frac{1}{R_{ers\text{ }2,3}}=\frac{1}{4,0}+\frac{1}{6,0}=\frac{1\text{ }\cdot3}{4,0\text{ }\cdot3}+\frac{1\text{ }\cdot2}{6,0\text{ }\cdot2}=\frac{5}{12}$1R_{ers 2,3} =14,0 +16,0 =1 ·34,0 ·3 +1 ·26,0 ·2 =512  

 $R_{ers\text{ }2,3}=$R_{ers 2,3}= $\frac{12}{5}=$125 = $2,4$2,4  Ω

Resistorn  $R_1$R₁  är kopplad i serie med den ersättningsresistans vi just beräknat ( $R_{ers\text{ }2,3}$R_{ers 2,3} ). Kretsens totala resistans får vi därför genom att summera dessa två.

 $R_{tot}=R_1+R_{ers\text{ }2,3}=5,0+2,4=7,4$R_tot=R₁+R_{ers 2,3}=5,0+2,4=7,4  Ω

Steg 2

Den totala strömmen kan nu beräknas genom att använda Ohms lag över hela kretsen.

 $U_{tot}=R_{tot}\cdot I_{tot}$U_tot=R_tot·I_tot 

 $I_{tot}=$I_tot=  $\frac{U_{tot}}{R_{tot}}=\frac{48}{7,4}=$U_totR_tot =487,4 = $6,48…$6,48… A

Steg 3

Den totala strömmen genom kretsen är också den ström som flyter genom  $R_1$R₁ .  Vi använder Ohms lag för att bestämma spänningen över  $R_1$R₁ .

 $U_1=R_1\cdot I_{tot}=5\cdot6,48…=32,4…\text{ }$U₁=R₁·I_tot=5·6,48…=32,4…   V

Den totala spänningen är  $U_{tot}=48$U_tot=48  V. Det innebär att spänningen över det parallellkopplade ”paketet” är:

 $U_2=U_{tot}-U_1=48-32,4…=15,5…$U₂=U_tot−U₁=48−32,4…=15,5… V

Steg 4

Nu har vi vad vi behöver för att slutligen kunna använda Ohms lag över  $R_2$R₂  och bestämma strömmen där.

 $U_2=R_2\cdot I_2$U₂=R₂·I₂ 

 $I_2=$I₂=  $\frac{U_2}{R_2}=\frac{15,5…}{4,0}=$U₂R₂ =15,5…4,0 =  $3,89…$3,89…  A

Svar: Strömmen som flyter genom  $R_2$R₂  är  $3,9$3,9  A.