Stående vågor i strängar

I den här lektionen ska vi prata om något som kallas för stående vågor och i synnerhet stående vågor i strängar. Vi har i tidigare lektioner tittat på fortskridande vågor, dvs. vågor som rör sig i någon riktning. Stående vågor är som namnet antyder vågor som ser ut att stå still. För att kunna hantera begreppet stående vågor måste vi ha koll på två tidigare begrepp, reflektion och interferens. Dessa begrepp tar vi upp i den första lektionen i det här kapitlet, ”Pulser och vågrörelser”, så om du inte gått igenom den lektionen ännu så är det bra att göra det först.

En stående våg är resultatet av interferens mellan två fortskridande vågor med samma våglängd och frekvens. I bilden ser vi två fortskridande vågor, en blå som breder ut sig åt vänster och en grön som breder ut sig åt höger. Den röda vågen är summan av deras amplituder och utgör en stående våg. I bilden är ett antal punkter på den stående vågen markerade. I dessa punkter rör sig oscillerar inte den stående vågen alls. Det är här som de två fortskridande vågorna alltid tar ut varandra, dvs. där vi har destruktiv interferens, dvs. där den en topp i den ena vågen möter en dal i den andra vågen. Sådana punkter kallas för ”noder”.

I motsats till noderna så kan vi även identifiera platser där den stående vågen oscillerar som kraftigast. Dessa punkter kallas för ”bukar”.  Det här är alltså de punkter då vi har som mest konstruktiv interferens, dvs. där båda vågornas toppar eller dalar möts.

Resultatet av interferensen blir att den röda vågen ser ut att stå still och oscillera. En stående våg har bildats.

Precis som tidigare kan vi tala om den stående vågens våglängd och amplitud. Våglängden är t.ex. avståndet mellan två på varandra följande toppar medan amplituden är det maximala avståndet från jämviktsläget. Även begreppen period och frekvens går att definiera. Perioden är tiden för en hel oscillation, t.ex. tiden det tar för en buk att gå från ett toppvärde, ned till bottenvärdet och sedan upp till toppvärdet igen. Frekvensen är antalet sådana repetitioner som vågen gör per sekund.

Eftersom en stående våg har våglängd och frekvens så kan man tala om en hastighet för den stående vågen även fast den står still. Vad man menar då är egentligen hastigheten hos de fortskridande vågor som den stående vågen består av. Notera att den stående vågen har samma våglängd och frekvens som de två fortskridande vågorna som den består av.

Stående vågor i strängar

Stående vågor kan genereras i många medier på flera sätt men vi ska i den här lektionen titta på stående vågor i strängar.
Kanske har du fäst ett hopprep i ena änden och sedan rört den andra änden periodiskt upp och ned, dvs. med en viss frekvens? Om man gör det så märker man att vid de flesta frekvenser så blir hopprepet bara kaotiskt men vid vissa specifika frekvenser så bildas stående vågor på hopprepet?

Så vad är det som händer? Om vi genererar vågor som färdas åt höger i figuren så reflekteras vågorna vid fästpunkten och börjar färdas tillbaka i repet (åt vänster) omvända. Dessa reflekterade vågor möter nya vågor på väg åt höger och interfererar med dessa och om frekvensen är ”rätt” så kommer en stående våg att bildas.

Värt att notera nu är att fästpunkten ju inte kan röra sig och blir därmed en nod. Handen kan visserligen röra sig men repet rör sig ändå relativt lite här och vi kommer se även denna punkt som en nod för enkelhetens skull.

Grundsvängningen

Det finns flera sätt att bilda stående vågor. I figuren ser vi vad vi kan kalla för ”grundsvängningen” eller grundtonen. Vi ser att repets längd motsvarar en halv våglängd. Den har alltså två noder och en buk. Vi kan beteckna våglängden och frekvensen för grundsvängningen $\text{λ}_1$λ₁ respektive $f_1$ƒ ₁.

Det är också praktiskt att ha ett index för antalet halva våglängder som den stående vågen har så vi låter $n$n ange detta och i detta fall blir ju då $n=1$n=1 .

1:a översvängningen

Så, om vi nu ökar frekvensen så blir ju våglängden kortare enligt $\text{λ}=\frac{v}{f}$λ=vƒ   och när frekvensen är sådan att det ”får plats” en hel våglängd på repets längd så bildas nästa stående våg.

Notera att detta alltså sker då frekvensen har dubblats, dvs. halverad våglängd kräver fördubblad frekvens. Detta kallas för första översvängningen eller första övertonen och vi kallar våglängden och frekvensen för 1:a översvängningen för $\text{λ}_2$λ₂ respektive $f_2$ƒ ₂ och notera att $f_2=2f_1$ƒ ₂=2ƒ ₁.

Denna våg har tre noder, förutom noderna vid fästpunkterna så bildas en nod mitt emellan dessa. Detta gör även att vågen får två bukar och består alltså av två halva våglängder, dvs. $n=2$n=2.

Utbredningshastighet

Viktigt att notera nu är att alla vågor i ett visst medium har samma hastighet. Denna hastighet beror på mediets fysiska egenskaper, t.ex. har ljudvågor i luft en viss hastighet medan ljudvågor i vatten har en annan hastighet. I detta fall så har samtliga vågor i repet samma hastighet. Vi kan därför använda sambandet $v=\text{λ}f$v=λƒ  oavsett vilken svängning vi pratar om, dvs. oavsett vilket index $n$n vi har. Detta kan vi skriva som $v=\text{λ}_nf_n$v=λ_nƒ _n.

I just det här fallet kan vi ju skriva att $v=\text{λ}_2f_2$v=λ₂ƒ ₂.

Vågors utbredningshastighet i en sträng

Men vad beror utbredningshastigheten i en sträng på? Det är mediets fysiska egenskaper som avgör utbredningshastigheten och om vi exempelvis tittar på en gitarrsträng så beror utbredningshastigheten på spännkraften i strängen $F$F, materialets densitet ρ och strängens tvärsnittsarea $A$A enligt

 $v=\sqrt{\frac{F}{\text{ρ}A}}$v=√FρA  

Detta innebär att hastigheten är lägre i tyngre medier medan hastigheten är högre i en hårdare spänd sträng än i en mer löst spänd sträng.

Notera att en gitarrsträng är fäst i båda ändarna, dvs. ändarna kan inte röra sig. Det innebär ju att vi får noder där.

Så, när vi knäpper till strängen med fingret eller ett plektrum så tillför vi energi och strängen börjar att svänga. Vågor börjar röra sig längs med strängen och reflekteras vid ändarna. När dessa vågor interfererar uppstår stående vågor i strängen. Strängens längd räknas från sadeln, dvs. där strängen möter huvudet samt stallet, dvs. där strängen är fäst nertill på gitarren. Notera att vi här har förstorat vågorna rejält av pedagogiska skäl.

Spela olika toner på en gitarr

En gitarr skulle inte vara speciellt användbar om det endast gick att spela de toner som genereras av de sex lösa strängarna. För att kunna spela fler toner (dvs. generera svängningar med andra frekvenser) så förkortar man längden på den svängande delen av strängen genom att trycka ner strängen mot greppbrädan. Vi ser i bilden att om vi gör strängen kortare så minskar våglängden vilket motsvarar en ökad frekvens. Detta uppfattar vi som en högre (eller ”ljusare”) ton. 

Kommentarer