Stående vågor i strängar

I den här lektionen ska vi prata om något som kallas för stående vågor och i synnerhet stående vågor i strängar. Vi har i tidigare lektioner tittat på fortskridande vågor, dvs vågor som rör sig i någon riktning. Stående vågor är som namnet antyder vågor som ser ut att stå still. För att kunna hantera begreppet stående vågor måste vi ha koll på två tidigare begrepp, reflektion och interferens. Dessa begrepp tar vi upp i den första lektionen i det här avsnittet, Pulser och vågrörelser, så om du inte gått igenom den lektionen ännu är det bra att göra det först.

En stående våg är resultatet av interferens mellan två fortskridande vågor som har samma våglängd och möts ”i fas”. I bilden ser vi två fortskridande vågor, en grön som breder ut sig åt höger och en blå som breder ut sig åt vänster. Den röda vågen är summan av deras amplituder.

I bilden är ett antal punkter på den stående vågen markerade. I dessa punkter rör sig (oscillerar) inte den stående vågen alls. Här tar de två fortskridande vågorna alltid ut varandra pga destruktiv interferens, dvs en topp i den ena vågen möter en dal i den andra vågen. Sådana punkter kallas för noder.

I motsats till noderna kan vi även identifiera platser där summavågen oscillerar som kraftigast. Dessa punkter kallas för bukar. Här har vi konstruktiv interferens, dvs båda vågornas toppar eller dalar möts.

Resultatet av interferensen blir att den röda summavågen ser ut att stå still och oscillera utan att röra sig i sidled. En stående våg har bildats.

Eftersom en stående våg har våglängd och frekvens kan vi ange en hastighet för den stående vågen även om den står still. Vad vi då menar är egentligen hastigheten hos de fortskridande vågor som den stående vågen består av. Notera att den stående vågen har samma våglängd och frekvens som de två fortskridande vågorna som den består av.

Stående vågor i strängar

Stående vågor kan genereras i många medier på flera sätt men vi ska nu titta på stående vågor i strängar.

Kanske har du någon gång fäst ett hopprep i ena änden och sedan rört den andra änden periodiskt upp och ned, dvs med en viss frekvens? Om du gör det märker du att vid de flesta frekvenser blir hopprepet bara kaotiskt, men vid vissa specifika frekvenser bildas stående vågor på hopprepet.

Vad är det då som händer? Om vi genererar vågor som färdas åt höger i figuren reflekteras vågorna vid fästpunkten, och börjar färdas omvända tillbaka i repet (åt vänster). Dessa reflekterade vågor möter nya vågor på väg åt höger och interfererar med dem, och om frekvensen är ”rätt” kommer en stående våg att bildas.

Värt att notera nu är att fästpunkten ju inte kan röra sig och den blir därmed en nod. Handen kan visserligen röra sig, men repet rör sig ändå relativt lite här, och vi kommer därför se även denna punkt som en nod för enkelhetens skull.

Grundsvängning

Det finns flera sätt att bilda stående vågor. I figuren ser vi vad vi kan kalla för grundsvängningen eller grundtonen. Vi ser att repets längd motsvarar en halv våglängd. Den har två noder och en buk. Vi kan beteckna våglängden och frekvensen för grundsvängningen $\text{λ}_1$λ₁  respektive $f_1$ƒ ₁.

Det är också praktiskt att ha ett index för antalet halva våglängder som den stående vågen har. Vi låter $n$n ange detta, och här blir ju då $n=1$n=1 .

1:a översvängningen

Om vi nu ökar frekvensen blir ju våglängden kortare enligt  $\text{λ}=\frac{v}{f}$λ=vƒ    och när frekvensen är sådan att det ”får plats” ytterligare en halv våglängd på repets längd bildas nästa stående våg.

Notera att detta alltså sker då frekvensen har dubblats, dvs halverad våglängd kräver fördubblad frekvens. Detta kallas för första översvängningen eller första övertonen. Vi kallar våglängden respektive frekvensen för 1:a översvängningen för $\text{λ}_2$λ₂  respektive $f_2$ƒ ₂. Notera att $f_2=2f_1$ƒ ₂=2ƒ ₁ .

Denna våg har tre noder, förutom noderna vid fästpunkterna bildas även en nod mitt emellan dessa. Detta gör även att vågen får två bukar och består alltså av två halva våglängder, dvs $n=2$n=2.

Viktigt att notera nu är att alla vågor i ett visst medium har samma hastighet. Denna hastighet beror på mediets fysiska egenskaper, t.ex har ljudvågor i luft en viss hastighet medan ljudvågor i vatten har en annan hastighet. I detta fall har samtliga vågor i repet samma hastighet. Vi kan därför använda sambandet $v=\text{λ}f$v=λƒ   oavsett vilken svängning vi pratar om, dvs oavsett vilket index $n$n vi har. Detta kan vi skriva som $v=\text{λ}_nf_n$v=λ_nƒ _n .

I just det här fallet kan vi skriva att $v=\text{λ}_2f_2$v=λ₂ƒ ₂ .

Men vad beror utbredningshastigheten i en sträng på? Det är mediets fysiska egenskaper som avgör utbredningshastigheten. I exempelvis en gitarrsträng beror utbredningshastigheten på spännkraften  $F$F  i strängen, materialets densitet  $\text{ρ}$ρ  och strängens tvärsnittsarea $A$A  enligt

 $v=$v= $\sqrt{\frac{F}{\text{ρ}A}}$√FρA   

Detta innebär t ex att hastigheten är lägre i tyngre medier och högre i en hårdare spänd sträng.

Notera att en gitarrsträng är fäst i båda ändarna, så att de inte kan röra sig. Det innebär ju att vi får noder där.

När vi knäpper till strängen med fingret tillför vi energi och strängen börjar att svänga. Vågor börjar att röra sig längs med strängen och reflekteras vid ändarna. När dessa vågor interfererar uppstår stående vågor i strängen. Strängens längd räknas från sadel till stall, dvs från där strängen möter huvudet till där strängen är fäst nertill på gitarren. Notera att vi här har förstorat vågorna rejält av pedagogiska skäl.

Spela olika toner på en gitarr

En gitarr skulle inte vara speciellt användbar om det endast gick att spela de toner som genereras av de sex lösa strängarna. För att kunna spela fler toner (dvs generera svängningar med andra frekvenser) förkortar vi längden på den svängande delen av strängen genom att trycka ner strängen mot greppbrädan. Vi ser i bilden att om vi gör strängen kortare minskar våglängden, vilket motsvarar en ökad frekvens. Detta uppfattar vi som en högre (”ljusare”) ton.