00:00
00:00
KURSER  / 
Matematik 4
/  Träna maximi- och minimiproblem med derivata

Träna maximi- och minimiproblem med derivata

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

Växande och avtagande

En funktion anses vara växande då den ökar i värde i yyy-led då xxx -värde blir större.

Funktionen är  avtagande då den minskar i yyy -led samtidigt som xxx  -värde blir större.

Om den varken är växande eller avtagande så befinner sig funktionen i ett så kallat extremvärde. Det här extremvärdet kan vara en minimipunkt, en maximipunkt. Det finns även en möjlighet att det är en terrasspunkt.

För derivatan gäller följande i dessa fall.

Växande och avtagande

Om funktionen ffƒ  är deriverabar på intervallet  a<a<a< x<x<x< bbb  gäller att

ff är växande i intervallet om och endast om  f(x)0f'(x)\ge0ƒ ´(x)0  för alla xxx i intervallet.

ff är strängt växande i intervallet om  x1<x_1<x1< x2x_2x2 leder till att  f(x1)<f\left(x_1\right)<ƒ (x1)<  f(x2)f\left(x_2\right)ƒ (x2) för alla xxx i intervallet.

ff är avtagande i intervallet om och endast om  f(x)0f'(x)\le0ƒ ´(x)0  för alla xxx i intervallet.

ff är strängt avtagande i intervallet om  x1<x_1<x1< x2x_2x2 leder till att  f(x1)>f\left(x_1\right)>ƒ (x1)> f(x2)f\left(x_2\right)ƒ (x2) för alla xxx i intervallet.

Om funktion ff varken är strängt växande eller strängt avtagande gäller att f(x)=0f '(x) = 0. Det inträffar där funktionen har en extrempunkt.

Växande och avtagande

Man kan förenklat tänka att ff är strängt växande i intervallet om f(x)>0f'(x)>0ƒ ´(x)>0  för alla xxx i intervallet och ff är strängt avtagande i intervallet om  f(x)<0f'(x)<0ƒ ´(x)<0  för alla xxx i intervallet. Men det ett intervall kan alltså även vara strängt växande eller avtagande om derivatan är lika med noll i någon/några punkter med sedan fortsätter varar positiv/negativ.

Strategi för max- och minproblem

Den strategi som vi använder oss av när vi löser dessa typer av problem är följande:

  1. Derivera funktionen
  2. Lös ekvationen f(x)=0f’(x) = 0 för att få fram x – värdena där derivatan är 0. I dessa punkter har vi en maximi- eller minimipunkt.
  3. Ta reda på y – värdena för x – värdena där derivatan är 0.
  4. Undersök maximi- och minimipunkterna med hjälp av andraderivatan för att ta reda på vilken typ av extrempunkt vi har.
  5. Kontrollera att du har gjort rätt med hjälp av en grafritande räknare eller med ett datorprogram

Exempel i videon

  • Skissa kurvan till funktionen f(x)=2x33x2 f(x)=2x^3-3x^2 med hjälp av derivata.
  • En cylinderformad burk skall ha förhållandena enligt figuren (se video). Bestäm den maximala volymen utifrån dessa förutsättningar.