Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 5
/ Kombinatorik
Binomialsatsen och Pascals triangel
Pascals triangel
Pascals triangel är ett sätt att enkelt ta reda på koefficienterna när binom (Algebraiska uttryck med 2 termer) utvecklas. I Pascals triangel ges hela tiden koefficienterna genom att addera de två närmaste talen ovanför. Varje rad påbörjas och avslutas med en etta. Dessa två ettor är alltså koefficienterna framför den först och den sista termen.
De första 5 raderna i Pascals triangel är därför
- 1
- 1 1
- 1 2 1 (2:an ges av att addera 1+1 = 2)
- 1 3 3 1 (3:an ges genom att addera 1+2 = 3)
- 1 4 6 4 1
- 1 5 10 10 5 1
Så om man utvecklar $ (a+b)^5 $ kommer koefficienterna framför termerna att vara 1 5 10 10 5 1. Pascals triangel underlättar alltså en hel del för de allra första binomialutvecklingarna. Men för att få med alla typer av binom som kan utvecklas så behöver vi se hur binomialsatsen fungerar och hur vi kan utveckla binom med högre exponent.
Binomialsatsen
Binomialsatsen ger utvecklingen av binom på formen $ (a+b)^n $. Här ges koefficienterna och exponenterna genom kombinatorik. Binomialsatsen säger följande:
Binomialsatsen
$ (a+b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b + … + {n \choose k}a^{n-k}b^k + … + {n \choose n}b^n $
Koefficienterna $ {n \choose 0} $ eller $ {n \choose k} $ kallas för binomialkoefficienter.
Om vi utvecklar $ (a+b)^5 $ kan man alltså få både koefficienter och exponenter för a och b i varje term genom binomialsatsen. Det kan dock i vissa fall vara enklare och snabbare att använda pascals triangel (se ovan) för att ta fram koefficienterna.
Exempel 1
$ (a+b)^5 = a^5+ 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 $
Koefficienterna här är alltså 1 5 10 10 5 1 vilka vi alltså kan hämta från Pascals triangel om vi har denna framför oss.
Exempel i videon
- Utveckla $(a+b)$, $(a+b)^2$, $(a+b)^3$, $(a+b)^4$
- Utveckla $(a + b)^5$
- Använd kombinatorik för att ta fram koefficienterna till $(a + b)^4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)$
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Hur många termer finns det i utvecklingen av $(a+b)^n$, där $n$ är ett positivt heltal?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar... -
2. Premium
$ (a+b)^5 = a^5+ 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 $.
Använd Pascals triangel för att ange koefficienterna som fås då $ (a+b)^6 $ utvecklas.Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar... -
3. Premium
Beräkna $ C(5, 4) = {5 \choose 4} $
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar... -
-
4. Premium
Använd binomialsatsen och bestäm de fyra första termerna i utvecklingen av $ (x+y)^7 $
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar...
c-uppgifter (3)
-
5. Premium
Vilken är den fjärde termen i utvecklingen av $(3a-2b)^5$(3a−2b)5 ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar... -
6. Premium
Bestäm koefficienten för $a^4b^9$a4b9-termen i utvecklingen av $(2a^2+3b^3)^5$(2a2+3b3)5 .
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar... -
-
7. Premium
Den åttonde raden i Pascals triangel ser ut så här:
$1$ $8$ $28$ $56$ $70$ $56$ $28$ $8$ $1$
Hur ser den tionde raden ut?Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar...
a-uppgifter (1)
-
8. Premium
Utveckla $(x^3-\frac{2}{x})^8$ och bestäm konstanttermen.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Binomialsatsen och Pascals triangel Kombinatorik Matematik 5Rättar... -
Erik Martines Sanches
Jag tycker att det borde förtydligas vad som menas med konstantterm i uppgift 8.
Simon Rybrand (Moderator)
Vi lägger till en kort notis om det i förklaringen.
Dock kan det vara viktigt att på förhand vet skillnaden mellan en variabelterm och en konstantterm.
Hussain Alahmad
Tack så mycket
Tobiasradman
Hej
Hur vet man vilket värde k ska ha? i (n över k)
Simon Rybrand (Moderator)
k är en beskrivning av vilken term man befinner sig på just då.
Så är det den första termen så är k = 0, den andra k = 1 osv.
Adam Johansson
Stor cred för denna videon, med råge den bästa förklaringen av Binomialsatsen och Pascals triangel! Bra jobbat!
Simon Rybrand (Moderator)
Kul att du gillar den!
Petter Törnqvist
Vid 6.08 saknas det inte ett utropstecken vid 4/3! ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ja det stämmer, det är felaktigt där, vi skall korrigera videon så fort som möjligt.
Endast Premium-användare kan kommentera.