...
Kurser Alla kurser Min kurs Min sida Min sida Provbank Mina prov Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook X (Twitter) Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 5
 /   Kombinatorik

Binomialsatsen och Pascals triangel

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video Skapa thumbnails
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Binomialsatsen

Pascals triangel

Pascals triangelPascals triangel är ett sätt att enkelt ta reda på koefficienterna när binom (Algebraiska uttryck med 2 termer) utvecklas. I Pascals triangel ges hela tiden koefficienterna genom att addera de två närmaste talen ovanför. Varje rad påbörjas och avslutas med en etta. Dessa två ettor är alltså koefficienterna framför den först och den sista termen.

De första 5 raderna i Pascals triangel är därför

  • 1
  • 1 1
  • 1 2 1 (2:an ges av att addera 1+1 = 2)
  • 1 3 3 1 (3:an ges genom att addera 1+2 = 3)
  • 1 4 6 4 1
  • 1 5 10 10 5 1

Så om man utvecklar $ (a+b)^5 $ kommer koefficienterna framför termerna att vara 1 5 10 10 5 1. Pascals triangel underlättar alltså en hel del för de allra första binomialutvecklingarna. Men för att få med alla typer av binom som kan utvecklas så behöver vi se hur binomialsatsen fungerar och hur vi kan utveckla binom med högre exponent.

Binomialsatsen

Binomialsatsen ger utvecklingen av binom på formen $ (a+b)^n $. Här ges koefficienterna och exponenterna genom kombinatorik. Binomialsatsen säger följande:

Binomialsatsen

$ (a+b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b + … + {n \choose k}a^{n-k}b^k + … + {n \choose n}b^n $

Koefficienterna $ {n \choose 0} $ eller $ {n \choose k} $ kallas för binomialkoefficienter.

Om vi utvecklar $ (a+b)^5 $ kan man alltså få både koefficienter och exponenter för a och b i varje term genom binomialsatsen. Det kan dock i vissa fall vara enklare och snabbare att använda pascals triangel (se ovan) för att ta fram koefficienterna.

Exempel 1

$ (a+b)^5 = a^5+ 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 $

Koefficienterna här är alltså 1 5 10 10 5 1 vilka vi alltså kan hämta från Pascals triangel om vi har denna framför oss.

Exempel i videon

  • Utveckla $(a+b)$, $(a+b)^2$, $(a+b)^3$, $(a+b)^4$
  • Utveckla $(a + b)^5$
  • Använd kombinatorik för att ta fram koefficienterna till $(a + b)^4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)$

Kommentarer

Erik Martines Sanches

Jag tycker att det borde förtydligas vad som menas med konstantterm i uppgift 8.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi lägger till en kort notis om det i förklaringen.
    Dock kan det vara viktigt att på förhand vet skillnaden mellan en variabelterm och en konstantterm.

Hussain Alahmad

Tack så mycket

Tobiasradman

Hej
Hur vet man vilket värde k ska ha? i (n över k)

    Simon Rybrand (Moderator)

    k är en beskrivning av vilken term man befinner sig på just då.
    Så är det den första termen så är k = 0, den andra k = 1 osv.

Adam Johansson

Stor cred för denna videon, med råge den bästa förklaringen av Binomialsatsen och Pascals triangel! Bra jobbat!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kul att du gillar den!

Petter Törnqvist

Vid 6.08 saknas det inte ett utropstecken vid 4/3! ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det stämmer, det är felaktigt där, vi skall korrigera videon så fort som möjligt.


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Hur många termer finns det i utvecklingen av $(a+b)^n$, där $n$ är ett positivt heltal?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    $ (a+b)^5 = a^5+ 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 $.
    Använd Pascals triangel för att ange koefficienterna som fås då $ (a+b)^6 $ utvecklas.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Beräkna $ C(5, 4) = {5 \choose 4} $

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Använd binomialsatsen och bestäm de fyra första termerna i utvecklingen av $ (x+y)^7 $

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Vilken är den fjärde termen i utvecklingen av $(3a-2b)^5$(3a2b)5 ?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Bestäm koefficienten för $a^4b^9$a4b9-termen i utvecklingen av $(2a^2+3b^3)^5$(2a2+3b3)5 .

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/1/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Den åttonde raden i Pascals triangel ser ut så här:
    $1$  $8$  $28$  $56$  $70$  $56$  $28$  $8$  $1$
    Hur ser den tionde raden ut?

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ Uppgift från prov

    Utveckla $(x^3-\frac{2}{x})^8$ och bestäm konstanttermen.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se