Vektor och Skalär

I den här lektionen går vi igenom innebörden av en vektor och en skalär och tittar på parallella och motsatta vektorer. Vi visar även grafiskt hur du parallell förflyttar en vektor till origo.

För att att förklara vad en vektor och skalär är, börjar vi med begreppet storhet. En storhet kan beskrivas som egenskapen hos en händelse eller ett föremål som kan jämföras, mätas eller beräknas. En längd, hastighet, vikt eller tid är några exempel på storheter.

Både vektorer och skalärer är storheter, skillnaden är att en vektor även har en riktning och inte bara en kvantitet, alltså en storlek.

Några exemplen på skalärer är massa, tid och temperatur. Alla har en kvantitet som kan går att mätas. Temperaturen kan öka men ändå befinna sig på samma plats. Skalären representeras av ett tal.

Några exemplen på vektorer är krafter, hastigheter och en acceleration. Alla har en kvantitet som också har en riktning. Om en bils hastighet ökar, förflyttas den också i någon riktning.

När man skall markera att en storhet beskriver en vektor, använder man en liten pil ovanför en bokstav, tex $\vec{v}$ eller $\vec{u}$.

Vill man förtydliga var vektorn har sin start- och slutpunkt kan man istället uttrycka vektorn som $\vec{v} = \vec{AB}$. Då menar man att vektorn har sin startpunkt i $A$ och slutpunkt i $B$.

Det finns även andra sätt att skriva vektorer, t.ex. att man fetmarkerar bokstaven, tex $\mathbf{v}$ eller $\mathbf{u}$.

För att för ändra en vektors längd kan man multipliceras med en skalär. Vi kommer då att få en ny vektor. Följande gäller för skalärmultiplikation.

Att multiplicera vektorn med en positiv skalär ger resultatet att vektorn ändrar längd. Vektor ändrar däremot inte riktning. Det enda undantaget är om  $k=1$k=1, eftersom att multiplikation med talet ett inte ger någon förändring.

Är skalären däremot negativ, resulterar det i att vektorn får motsatt riktning, alltså behåller samma lutning men pekar med spetsen åt det motsatta hållet. Är skalären inte lika med $\left(-1\right)$(−1) ändras även vektorns längd.

Att multiplicera en vektor med till exempel skalären  $2$2 resulterar i att den nya vektorn har samma riktning, men blir dubbelt så lång.

Det är också viktigt att känna till begreppen parallella vektorer och motsatta vektorer då dessa används för att beskriva vektorers förhållande till varandra.

Vektorer kan även parallellförflyttas eftersom placeringen av en vektor inte är viktig, vektorn är densamma även om den flyttas. D.v.s. om vi flyttar en vektor så har den fortfarande samma storlek (pilens längd) och riktning (pilens riktning).

Här är det viktigt att känna till att om man parallellförflyttar en vektor till origo så kan denna vektor beskrivas med hjälp av koordinaterna för dess slutpunkt. Om en vektor $\vec{v}$ har sin start i origo och sin slutpunkt i $(a,b)$ så kan denna vektor skrivas som $\vec{v}=(a,b)$.

• Exempel på skalärer och vektorer.
• Exempel på utritning (åskådliggöra) vektorer.
• Multiplicering av vektorn $\vec{u}$ med skalärerna $2$ och $-0,5$.
• Exempel på parallella vektorer och motsatta vektorer.
• Parallellförflyttning av vektorerna $\vec{v_1},\vec{v_2}$ och $\vec{v_3}$ till origo.