00:00
00:00
KURSER  / 
Övningsgeneratorn
/  Övningsgeneratorn

Negativa tal - Räkna med dem

Författare:Simon Rybrand
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet

I denna lektion går vi igenom regler för att addera, subtrahera, multiplicera och dividera negativa tal.

Att räkna med negativa tal

I tidigare lektion tittade vi på hur man med ”vita och blå lådor” kan visualisera addition och subtraktion med negativa tal. Vi ska nu titta på de olika räknereglerna.

Räkneregler med negativa tal

I förra lektionen tittade vi på olika betydelser för minustecknet. Dels som tecken för räkneoperationen subtraktion, dels för att beteckna negativa tal och dels för att beteckna motsatt tal. Detta kan självklart bidra till en viss förvirring. Men vi ska här försöka att förtydliga beräkningar med negativa och börjar med addition med negativa tal.

Addition med negativa tal

Att addera något negativt resulterar i att summan minskar. Kanske kan bilden av en negativt inställd människa hjälpa dig. Tänk dig att du befinner dig i ett rum där stämningen är positiv. In kommer nu denna negativt inställda person. Du lägger alltså till någon negativt. Hur påverkar detta stämningen i rummet? Stämningen blir mindre positiv, den minskar.

Så här tecknas räkneregeln.

Addition med negativa tal

a+(b)=aba+\left(-b\right)=a-ba+(b)=ab

Addition med ett negativt tal ger samma resultat som subtraktion av det motsatta talet. Det leder till att olika tecken i följd ersätts med subtraktion (-).

Vi tittar på ett exempel.

Exempel 1

Beräkna  10+(2)10+\left(-2\right)10+(2)

Lösning

Addition med ett negativt tal ger samma resultat som subtraktion av det motsatta talet. Det leder till att olika tecken i följd ersätts med subtraktion, så

10+(2)=102=810+\left(-2\right)=10-2=810+(2)=102=8

Det motsatta talet till 2-22 är 222 eftersom att summan av dessa tal är 000.

Vi kan på tallinjen illustrera detta som att vi utgår från talet 101010. Negativa tal motsvarar värden åt vänster på tallinjen. Att addera  2-22  innebär därför att förflytta sig två steg åt vänster på tallinjen.

Vi landar då på talet 888.

Summan kan även illustreras som avståndet mellan talen.

Subtraktion med negativa tal

Att subtrahera ett negativt tal resulterar i att differensen blir ett större tal. Vi leker med tanken av en negativt inställd person igen. Nu befinner du dig i ett rum där stämningen är ganska negativ på grund av en negativt inställd person. Plötsligt lämnar denna negativt inställda person rummet. Du drar alltså ifrån någon negativt. Hur påverkar detta stämningen i rummet? Stämningen blir mindre negativ, den ökar.

Så här tecknas räkneregeln.

Subtraktion med negativa tal

a(b)=a+ba-\left(-b\right)=a+ba(b)=a+b

Subtraktion med ett negativt tal ger samma resultat som addition med det motsatta talet. Det leder till att lika tecken i följd ersätts med addition (+).

Ett sätt att försöka förstå hur subtraktion med ett negativt tal kan ge ett större resultat än ursprunget är att utnyttja hur vi ibland gör för att förenkla huvudräkningen.

Om vi ska beräkna 12497124-9712497  kan vi underlätta beräkningen genom att addera tre till båda termerna. Detta eftersom att det är ”lättare” att subtrahera hundra än nittiosex. Differensen kommer att bli densamma, eftersom att du lägger till lika mycket till den första termen som till den andra termen som du subtraherar.

Vi får att (124+3)(97+3)=127100=27\left(124+3\right)-\left(97+3\right)=127-100=27(124+3)(97+3)=127100=27

Samma metod kan nu användas för att underlätta förståelsen av subtraktion med ett negativt tal.

Exempel 3

Beräkna 12(3)12-\left(-3\right)12(3)

Lösning

På samma sätt som i föregående exempel adderar vi tre till båda termerna. Differensen bli oförändrad, eftersom att du lägger till lika mycket till den första termen som till den andra termen som du sedan subtraherar.

Vi får att (12+3)(3+3)=150=15\left(12+3\right)-\left(-3+3\right)=15-0=15(12+3)(3+3)=150=15

Vi kan illustrera detta som att vi utgår från talet 121212. Om vi adderat 3-33 hade vi flyttat tre steg åt vänster, med när vi subtraherar 3-33  går vi istället åt motsatt riktning. Vi förflytta oss tre steg åt höger på tallinjen.

Vi landar då på talet 151515.

Summan kan illustreras som avståndet mellan talen.

Exempel 4

Beräkna  (5)(5)\left(-5\right)-\left(-5\right)(5)(5)

Lösning

Subtraktion med ett negativt tal ger samma resultat som addition med det motsatta talet. Det leder till att lika tecken i följd ersätts med addition (+). Vi får att

(5)(5)=(5)+5=0\left(-5\right)-\left(-5\right)=\left(-5\right)+5=0(5)(5)=(5)+5=0

Observera bara att regeln gäller för tecken i följd. Inte när termerna har olika tecken.

Vi kan illustrera detta som att vi utgår från talet 5-55. Om vi adderat  5-55 hade vi flyttat tre steg åt vänster, med när vi subtraherar 5-55 går vi istället åt motsatt riktning. Vi går fem steg åt höger på tallinjen och hamnar på 000.


Avståndet mellan talen är 555.

Exempel 5

Beräkna  55-5-555

Lösning

Två lika tecken i följd ersätts med addition. Men här är teckna inte i följd, utan vi har ett negativt tal subtraherat med en positiv femma. Vi får att

55=10-5-5=-1055=10

Teckenväxlingen sker alltså endast då tecknen är i följd vid addition och subtraktion.

Här utgår vi från 5-55  och går ytterligare fem steg åt vänster och hamnar på 10-1010.

Räknaren som hjälp

Med hjälp av beräkningar på vissa räknare kan man undersöka de olika betydelserna, eftersom att betydelserna ofta har lagts in på varierande sätt. Ofta har du en knapp för räkneoperationen subtraktion och en annan för den negativa beteckningen. Om du använder ”fel” knapp vid fel tillfälle kommer räknaren att reagera.

Multiplikation med negativa tal

När man multiplicerar får man en positivt produkt om tecknen på faktorerna är lika och en negativt om de är olika.

Multiplikation med negativa tal

 a(b)=aba\cdot\left(-b\right)=-aba·(b)=ab 
 (a)b=ab\left(-a\right)\cdot b=-ab(a)·b=ab 

En positiv och en negativ faktor, det vill säga faktorer med olika tecken, ger en negativ produkt.

 ab=aba\cdot b=aba·b=ab 
(a)(b)=ab\left(-a\right)\cdot\left(-b\right)=ab(a)·(b)=ab 

Lika tecken på faktorerna ger en positiv produkt.

Exempel 6

Beräkna  3(2)3\cdot\left(-2\right)3·(2) 

Lösning

Att ”multiplicera med tre” är detsamma som att addera talet tre gånger. Här ska vi addera tre 2-22 :or.

 3(2)=(2)+(2)+(2)3\cdot\left(-2\right)=\left(-2\right)+\left(-2\right)+\left(-2\right)3·(2)=(2)+(2)+(2) 

vilket är detsamma som

222=6-2-2-2=-6222=6

På tallinjen kan vi illustrera det så här.

Vi använder minnesregeln olika tecken på två faktorer ger en negativ produkt.

Exempel 7

Beräkna  (5)(3)\left(-5\right)\cdot\left(-3\right)(5)·(3)

Lösning

Lika tecken på två faktorer ger en positiv produkt. Här är båda faktorerna negativa tal, vilket motsvarar ”lika tecken”.

(5)(3)=15(-5)\cdot(-3)=15(5)·(3)=15

Inte övertygad? Kanske följande logiska tankeresonemang kan hjälpa dig att bli övertygad.

Eftersom att 50=05\cdot0=05·0=0  måste även

5(3+(3))=05\left(\color{blue}3\color{black}+\left(\color{red}-3\color{black}\right)\right)=05(3+(\color{red}-3\color{black}))=0  eftersom att 3+(3)=0\color{blue}3\color{black}+\left(\color{red}-3\color{black}\right)=0\color{blue}3\color{black}+(\color{blue}3\color{black})=0.

Enligt distrubutivalagen får vi att

5(3+(3))=53+5(3)=05\left(\color{blue}3\color{black}+\left(\color{red}-3\color{black}\color{black}\right)\right)=5\cdot\color{blue}3\color{black}+5\cdot\left(\color{red}-3\color{black}\right)=05(\color{blue}3\color{black}+(\color{blue}3\color{black}))=5·\color{blue}3\color{black}+5·(\color{blue}3\color{black})=0.

Eftersom att 53=155\cdot\color{blue}3\color{black}=155·\color{blue}3\color{black}=15 måste 5(3)=155\cdot\left(\color{red}-3\color{black}\right)=-155·(3)=15. Annars blir inte

53+5(3)=05\cdot\color{blue}3\color{black}+5\cdot\left(\color{red}-3\color{black}\right)=05·\color{blue}3\color{black}+5·(\color{blue}3\color{black})=0

Om nu 5(3)=155\cdot\left(\color{red}-3\color{black}\right)=-155·(\color{blue}3\color{black})=15 gäller även att (5)(3)=15\left(-5\right)\cdot\left(\color{red}-3\color{black}\right)=15(5)·(\color{blue}3\color{black})=15. Varför det?

Vi tar ett nytt exempel.

Eftersom att (5)0=0\left(-5\right)\cdot0=0(5)·0=0  måste även

(5)(3+(3))=0\left(-5\right)\cdot\left(\color{blue}3\color{black}+\left(\color{red}-3\color{black}\right)\right)=0(5)·(\color{blue}3\color{black}+(\color{blue}3\color{black}))=0

Enligt distubutivalagen får vi att

(5)(3+(3))=(5)3+(5)(3)=0\left(-5\right)\cdot\left(\color{blue}3\color{black}+\left(\color{red}-3\color{black}\right)\right)=\left(-5\right)\cdot\color{blue}3\color{black}+\left(-5\right)\cdot\left(\color{red}-3\color{black}\right)=0(5)·(\color{blue}3\color{black}+(\color{blue}3\color{black}))=(5)·\color{blue}3\color{black}+(5)·(3)=0.

I förra exemplet kom vi fram till att (5)3=15\left(-5\right)\cdot\color{blue}3\color{black}=-15(5)·\color{blue}3\color{black}=15.

Då måste (5)(3)=15\left(-5\right)\cdot\left(\color{red}-3\color{black}\right)=15(5)·(\color{blue}3\color{black})=15.

Annars blir inte  (5)3+(5)(3)=0\left(-5\right)\cdot\color{blue}3\color{black}+\left(-5\right)\cdot\left(\color{red}-3\color{black}\right)=0(5)·\color{blue}3\color{black}+(5)·(\color{blue}3\color{black})=0.

Hoppas detta gjorde det lite mer övertygande!

Antal negativa faktorer

Om du har flera faktorer kan du avgöra om produkten blir positiv eller negativ genom att räkna antalet negativa faktorer.

Udda antal negativa faktorer ger en negativ produkt.
Jämnt antal negativa faktorer ger en positiv produkt.

Ett jämt antal negativa faktorer ger en positiv kvot, eftersom att de parvis blir positiva. Ett udda anta negativa faktorer ger en negativ kvot, eftersom att en faktor blir över när alla andra ”parat” ihop sig, och kommer att göra hela kvoten negativ.

Exempel 8

Avgör om produkten   2(3)4(5)(6)(7)2\cdot\left(-3\right)\cdot4\cdot\left(-5\right)\cdot\left(-6\right)\cdot\left(-7\right)2·(3)·4·(5)·(6)·(7) är positiv eller negativ.

Motivera ditt svar.

Lösning

Antalet negativa faktorer är fyra, vilket är ett jämt antal. Parar man i hop dem två och två kommer varje par ge en positiv produkt. Det resulterar i att även produkten av alla par är positiv.

Division med negativa tal

När man dividerar får man en positivt kvot om tecknen på täljare och nämnare är lika och en negativt om de är olika.

Division med negativa tal

ab=a b=ab\frac{a}{-b}=\frac{-a}{\text{ }b}=-\frac{a}{b}ab =ab =ab                

Olika tecken på täljare och nämnare ger en negativ kvot.

ab=ab\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}ab =ab                                  

Lika tecken på täljare och nämnare ger en positiv kvot.

Vi kan se division om omskrivning av multiplikation. 

FaktorFaktor=Produkt\text{Faktor}\cdot\text{Faktor}=\text{Produkt}Faktor·Faktor=Produkt   leder till att

 ProduktFaktor=\frac{\text{Produkt}}{\text{Faktor}}=ProduktFaktor =Faktor\text{Faktor}Faktor 

Utifrån ovanstående resonemang kring multiplikation kan vi då argumentera för om kvotens värde blir negativt eller positivt.

Exempel 9

Beräkna  123\frac{-12}{-3}123 

Lösning

Lika tecken på täljare och nämnare vid division ger en positiv kvot.

(12)(3)\frac{(-12)}{(-3)}(12)(3)  =4=4=4

Vi  resonerar oss framtill påståendet utifrån att se division som en omskrivning av multiplikation. Vi vet att en negativ produkt ges av en positiv och en negativ faktor, det vill säga faktorer med olika tecken.

Det vill säga (12)(3)=\frac{(-12)}{(-3)}=(12)(3) =444  gäller eftersom att 4(3)=124\cdot\left(-3\right)=-124·(3)=12

Exempel 10

Beräkna  (2)0,5\frac{(-2)}{0,5}(2)0,5 

Lösning

Olika tecken på täljare och nämnare vid division ger en negativ kvot.

(2)0,5\frac{(-2)}{0,5}(2)0,5  =4=-4=4

Vi vet att en negativ produkt ges av en positiv och en negativ faktor, det vill säga faktorer med olika tecken.

Det vill säga 20,5=\frac{-2}{0,5}=20,5 = 4-44  gäller eftersom att (4)0,5=2\left(-4\right)\cdot0,5=-2(4)·0,5=2

Flera faktorer i täljare och nämnare

På liknade sätt som vid multiplikation gäller att då du har flera faktorer i täljare och nämnare som är negativa, kan du avgöra om kvoten blir positiv eller negativ genom att räkna det totalt antalet negativa faktorer.

Exempel 10

Avgör om kvoten   2(3)4(5)(6)\frac{2\cdot\left(-3\right)\cdot4\cdot\left(-5\right)}{\left(-6\right)}2·(3)·4·(5)(6)  är positiv eller negativ.

Motivera ditt svar.

Lösning

Antalet negativa faktorer i täljaren och nämnaren tillsammans är fem, vilket är ett udda antal. Parar man i hop dem två och två kommer varje par ge en positiv produkt, men en faktor är ”över”. Det resulterar i att kvoten blir negativ.

Räkneregler vid beräkning med negativa tal

Här har vi samlat reglerna för beräkningar med de fyra räknesätten och negativa tal .

Addition med negativa tal

a+(b)=aba+\left(-b\right)=a-ba+(b)=ab           Olika tecken i följd ersätts med en subtraktion (-).

Subtraktion med negativa tal

a(b)=a+ba-\left(-b\right)=a+ba(b)=a+b            Två lika tecken i följd ersätts med en addition (+).

Multiplikation med negativa tal

a(b)=aba\cdot\left(-b\right)=-a\cdot ba·(b)=a·b                      En positiv och en negativ faktor ger en negativ produkt.
(a)b=ab\left(-a\right)\cdot b=-a\cdot b(a)·b=a·b

(a)(b)=ab\left(-a\right)\cdot\left(-b\right)=a\cdot b(a)·(b)=a·b                   Lika tecken på faktorerna ger en positiv produkt.

Division med negativa tal

ab=a b=ab\frac{a}{-b}=\frac{-a}{\text{ }b}=-\frac{a}{b}ab =ab =ab                Olika tecken på täljare och nämnare ger en negativ kvot.

ab=ab\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}ab =ab                                  Lika tecken på täljare och nämnare ger en positiv kvot.

Kort repetition av negativa tal

Negativa tal är alla de tal som är mindre än noll. Ibland kallas det negativa talet för det ett motsatt tal. Detta gör man för att det finns ett motsatt tal a-a till varje positivt tal aa. Man brukar visa de negativa talen genom att rita ut en tallinje där vi hittar de negativa talen till vänster om noll.

Negativa tal och tallinjen

När du räknar med negativa tal gäller en del regler som kan vara ovana att använda om man tidigare bara har räknat med de positiva talen. För enkelhetens skull kan man dela upp det på två områden addition/subtraktion och multiplikation/division.

Om du vill fördjupa dig i vad ett negativt tal är så rekommenderar vi följande lektion.

Exempel i videon

  • Beräkna (4)+(3)1(-4) + (-3) – 1
  • Beräkna 12(1)712 – (-1) – 7
  • Beräkna (5)(10)+(7)(-5) – (-10) + (-7)
  • Beräkna 5(3)5⋅(-3)
  • Beräkna (5)(2)(-5)⋅(-2)
  • Beräkna 15(3)\frac{15}{(-3)}
  • Beräkna (12)(0,5)\frac{(-12)}{(-0,5)}
  • Beräkna (10)(2)+(3)36/(6)\frac{(-10)}{(-2)}+(-3)⋅3-6/(-6)