Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik Högstadiet
/ Geometri - Högstadiet
Vinklar - Högstadiet
Innehåll
En vinkel är ett mått på rotationen eller "mellanrummet" mellan två linjer (vinkelben) som möts i en punkt (vinkelspets).
I den här lektionen går vi igenom grunderna inom teorin som handlar om vinklar. Vi lär oss vad en vinkel är och vilka begrepp som används för att definiera och beskriva olika vinklar. Dessutom går vi igenom begreppen spetsig vinkel, rät vinkel, trubbig vinkel och rak vinkel.
Vad är en vinkel?
En vinkel beskriver vridningen, eller mellanrummet, mellan två räta linjer eller en del av en cirkel. När man skall beskriver vridningen använder man enheten grader som betecknas med symbolen °. Detta sätt att beskriva vinklar utgår ifrån en cirkel, där ett helt varv runt en cirkel motsvaras av $360°$. Ett halvt varv blir då $180°$ och en fjärdedels varv $90°$.
Vinkelns olika delar
En vinkel kan delas upp i begreppen vinkelben, vinkelbåge och vinkelspets. Två räta linjer som möter varandra i en punkt kallas för vinkelben och där de möts hittar vi vinkelspetsen.
Vinkelbågen är den vinkel i grader som krävs för att vrida sig från det ena benet till det andra.
Spetsiga, räta, trubbiga och raka vinklar
Det finns ett antal olika typer av vinklar med namn som säger något om i vilket intervall vinkelns storlek befinner sig i eller vilken storlek som vinkeln har.
Spetsiga vinklar
Om en vinkel är mindre än $90^{\circ}$90∘ så kallas den för spetsig. En spetsig vinkel $v$v befinner sig i intervallet $0^{\circ}<v<90^{\circ}$< span=""></v<90^{\circ}$<>0∘<v<90∘.
Räta vinklar
En rät vinkel är exakt $90^{\circ}$90∘. För att markera att en vinkel är rät ritar man en kvadrat vid vinkel.
Trubbiga vinklar
En trubbig vinkel är större än $90^{\circ}$90∘ men mindre än $180^{\circ}$180∘. En sådan vinkel $v$v är befinner sig i intervallet $90^{\circ}<v<180^{\circ}$< span=""></v<180^{\circ}$<>90∘<v<180∘.
Raka vinklar
En rak vinkel är exakt $180^{\circ}$180∘ och ligger alltid på en rak linje.
Axiom
De är vanligt att vi ombes bestämma en vinkel utifrån att vi får information om en annan vinkel eller ett grundläggande matematiskt påstående. Dessa grundsatser kallas för axiom.
Axiom
Ett axiom är en grundläggande sats eller regel inom matematiken som accepteras som sann utan bevis. Axiom används som utgångspunkt när man bevisar andra satser.
Vinklar som tillsamman är $180^{\circ}$180∘ kallas för sidovinklar och ett exempel på ett axiom vi kan utgå ifrån utan att behöva motivera varje gång att det gäller.
Exempel 1
Bestäm storleken av vinkeln $v$v.
Lösning
Vi beräknar vinkelns storlek genom
$v=180^{\circ}-52^{\circ}=128^{\circ}$v=180∘−52∘=128∘
Vinkelns storlek är $v=128^{\circ}$v=128∘.
Ett annat axiom är att ett helt varv, vilket betyder en full rotation eller en hel cirkel, är $360^{\circ}$360∘.
Exempel 2
Bestäm storleken av vinkeln $v$v
Lösning
De fyra vinklarna tillsammans är $360^{\circ}$360∘. Så vi kan beräkna $v$v genom
$v=360^{\circ}-105^{\circ}-45^{\circ}-125^{\circ}=85^{\circ}$v=360∘−105∘−45∘−125∘=85∘.
Vinkelns storlek är $v=85^{\circ}$v=85∘.
Vi påminner om att en vinkel som är rät är $90^{\circ}$90∘ och markeras med en kvadrat.
Exempel 3
Bestäm storleken av vinkeln $v$v.
Lösning
De tre vinklarna tillsammans är $90^{\circ}$90∘ då vi har en rät vinkel. Så vi kan beräkna $v$v genom
$v=90^{\circ}-44^{\circ}-22^{\circ}=24^{\circ}$v=90∘−44∘−22∘=24∘.
Vinkelns storlek är $v=24^{\circ}$v=24∘.
Markering av lika stora vinklar
För att förtydliga att olika vinklar eller längder i en figur är lika stora är det vanligt att man markera dem. Detta görs genom att man drar små streck på lika stora vinklar eller sidor. Vinklar markerade med samma antal streck, ger att vinklarna är lika stora. Sidor markerade med samma antal streck, ger att sidorna är lika långa.
I figuren är vinkel $B$B och $C$C lika stora. Sidan $AB$AB och sidan $AC$AC är lika långa.
Om en vinkel är markerad med ett streck och en annan med två innebär det inte att vinkel två är dubbelt så stor. Bara att de har olika storlek.
En sida och en vinkel som är markerade med samma antal streck är inte lika stora.
Exempel 4
Bestäm vinkel $C$C då vinkel $B$B är lika med $65^{\circ}$65∘.
Lösning
Då vinkel $B$B och $C$C är markerade med samma antal streck, innebär det att de är lika stora. Därmed är även vinkel $C=65^{\circ}$C=65∘
Bisektriser
Vid beräkningar kan det ibland varar av intresse att använda sig av en bisektris. Bisektriser är en rät linjen som delar en vinkel i två lika stora delar. Följande gäller för bisektriser.
Bisektris
En bisektris delar en av triangelns vinklar i två lika delar.
Bisektriserna skär varandra i en punkt som motsvarar den inskrivna cirkelns centrum.
En inskriven cirkel är en cirkel vars periferi, alltså omgivande linje/omkrets, tangerar ("snuddar vid"), triangels tre sidor.
Här följer ett exempel med bisektriser.
Exempel 5
Bestäm vinkeln $x$x då linjen $AD$AD är en bisektris.
Lösning
Då sträckan $AD$AD är en bisektris innebär det att den delar vinkel $\angle BAC$∠BAC i två lika stora delar. Då vinkel $\angle BAD$∠BAD är $31^{\circ}$31∘ innebär det att vinkel $\angle BAC$∠BAC är dubbelt så stor, alltså $62^{\circ}$62∘.
Då sidorna $AB$AB och $BC$BC är markerade med samma antal streck, innebär det att triangeln är likbent. Därför är vinklarna $\angle BAC$∠BAC och $\angle ACB$∠ACB lika stora, vilket leder till att $x=62^{\circ}$x=62∘
Exempel i videon
- Exempel på vinklarna $360°$, $180°$ och $90°$ i en cirkel.
- Exempel på trubbiga, spetsiga, räta och raka vinklar.
- Bestäm storleken av vinkeln v i två geometriska konstruktioner (se bild i videon)
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (7)
-
1. Premium
Hur många grader motsvarar ett helt varv i en cirkel?
Rättar...2. Premium
Hur många grader är en rät vinkel?
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometri rät vinkel vinklarRättar...3. Premium
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Vad kallas en vinkel som är större än $90^{\circ}$90∘ ?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Geometri triangel trubbig trubbig vinkel vinkelRättar...5. Premium
Bestäm storleken av vinkeln $v$v.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: vinklarRättar...6. Premium
Bestäm storleken av vinkeln $v$v.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: vinklarRättar...7. Premium
Bestäm storleken av vinkeln $v$v.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: vinklarRättar...c-uppgifter (1)
-
8. Premium
Hur stor är vinkeln mellan visarna på en klocka då klockan visar sju?
Utgå från minutvisaren och gå medurs till timvisaren. Alltså vinkel för det röda området.
Rättar...a-uppgifter (1)
-
9. Premium
Din klass har fått i uppgift att rita en vinkel som är så nära $33,75^{\circ}$33,75∘ som möjligt. Till att lösa uppgiften har ni bara tillgång till ett cirkulärt papper och en sax till hjälp.
Din lärare ger tipset att du kan vika pappret så att du får fram rätt vinkel och frågar;
"-Hur många gånger ska du vika pappret för att kunna få ungefär vinkeln $33,75^{\circ}$33,75∘ ?"
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Anonym
Vad betyder medurs?
Anonym
Hur skriver man grader på datorn??
Quix
Exempel 5: Först står det "Bestäm vinkeln x då linjen AD är en bisektris." Sedan under lösningen står det "Då sträckan AB är en bisektris[...]"
albin aretjäll
På den med klockan hade jag lite bråttom och läste inte att det var de röda vinkeln jag skulle lösa därför tog jag det på andra försöket
Endast Premium-användare kan kommentera.