Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 5
/ Talteori
Delbarhet, delare och faktor
Innehåll
Delbarhet och delare - definitioner
Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten vi får när vi dividerar två heltal, också är ett heltal.
Vi kommer framöver använda delbarheten för att lättare kunna genomföra och ange egenskaper av beräkningar av stora tal och mängder.
Heltalet $a$a är delbart med ett heltal $b\ne0$b≠0 om kvoten $\frac{a}{b}$ab är ett heltal.
Vi kan då säga att " $b$b delar $a$a " eller att " $b$b är en delare till $a$", vilket skrivs som $ b \, | \, a $.
Olika tal har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet $1$.
Om ett tal $b$ inte är en delare till $a$ skriver vi istället $ b\nmid a $.
Exempel 1
Visa att $ 2 \nmid (2a +1)$ för alla $a$.
Lösning
Då $2a$2a alltid är ett jämnt tal kommer $ 2a +1$ alltid vara ett udda tal. Inga udda tal är delbara med två. V.S.B.
Äkta delare
Delare som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare.
En äkta delare till talet $d$d är en delare som varken är $\pm1$±1 eller $\pm d$±d, alltså varken talet ett eller talet självt, med eller utan ombytt tecken.
Exempelvis är talen $2$2 och $3$3 äkta delare till talet $6$6. Talen $1$1 och $6$6 är också delare, men inte äkta.
Delbarhet som följd på delbarhet
Eftersom vi kan faktorisera tal kan vi utnyttja deras delbarhetsegenskaper för att undersöka ett annat tals delbarhet.
Exempel 2
Visa att om $2|a$ och $2|b$, så gäller även att $2|(a+b)$.
Lösning
$2|a$ och $2|b$ ger att $a=2k$ och $b=2n$ där $k$k och $n$n är heltal
Vi får då att
$a+b=2k+2n=2(k+n)$
Eftersom $k$k och $n$n är heltal, är även summan av dem ett heltal, vilket leder till att $2|(a+b)$.
Primtal och Sammansatta tal
Alla heltal $a>1$a>1 delas in i primtal och sammansatta tal. Ett positivt heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Alla sammansatta tal kan skrivas som en entydig produkt av primtal. I lektionen om aritmetikens fundamentalsats går vi igenom detta mer ingående.
Alla heltal är alltid delbara med sig själv och talet $1$1. Är de sammansatta tal är de även delbara med talets primtalsfaktorer samt alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera talets primtalsfaktorer.
Exempelvis delar talet $3$3 talet $21$21 då $\frac{21}{3}=$213 = $7$7. Detta eftersom täljaren, nämnaren och kvoten alla är ett heltal.
Vi säger att $ 3 \, | \, 21 $, som vi uttalar som tre delar tjugoett eller tre är en delare till tjugoett.
Om vi exempelvis har talet $24$24 så är detta tal delbart med $24$24 och $1$1, samt med talen $2,\text{ }3,\text{ }4,\text{ }6,\text{ }8$2, 3, 4, 6, 8 och $12$12 . Detta beror på att talet $24$ är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna $24=2\cdot2\cdot2\cdot3$24=2·2·2·3 och är därmed delbart med sig själv och talet $1$1, samt talets primtalsfaktorer och alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera dem.
Eftersom vi kan skriva talet tjugofyra som ett antal olika heltalsprodukter, så här
$24=2\cdot2\cdot2\cdot3=4\cdot6=8\cdot3=2\cdot12=1\cdot24$24=2·2·2·3=4·6=8·3=2·12=1·24
ser vi att talet har åtta möjliga delare.
Exempel 3
Ange alla heltalsvärden på $a$a och $b$b som uppfyller att $2^7$27 | $\left(2\cdot a^b\right)$(2·ab)
Lösning
Om $2^7$27 ska vara en delare till $\left(2\cdot a^b\right)$(2·ab) innebär det att talet $2\cdot a^b$2·ab kan skrivas om som en produkt $2^7\cdot k$27·k , där $k$k är ett heltal.
Då $2^7=2\cdot2^6$27=2·26 får vi en likhet med vårt tal $2\cdot a^b$2·ab om $a^b=2^6$ab=26. Det innebär att $a$a och $b$b kan anta alla värden som uppfyller att $a^b=2^6=64$ab=26=64.
Vi primtalsfaktoriserar $64$64 för att se vilka möjliga heltal som ger att potensens värde är $64$64.
$64=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2$64=2·2·2·2·2·2
Nu kombinerar vi dessa till olika potenser.
$64=2^6=4^3=8^2=64^1$64=26=43=82=641
och får att $a=$a=${2,\,4,\,8,\,64}$ och $b=$b= ${6,\,3,\,2,\,1}$
Delbarhetsregler
När vi ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om vi kan Delbarhetsreglerna utantill.
Delbarhetsregler
Talet är delbart med...
$2$ då talet är jämnt.
$3$ då talets siffersumma är delbar med $3$.
$4$ då det tal som bildas av de två sista siffrorna är delbart med $4$.
$5$ då talets slutsiffra är $0$ eller $5$.
$6$ då villkoren för delbarhet med $2$ och $3$ är uppfyllda.
$8$ då det tal som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med $8$.
$9$ då talets siffersumma är delbar med $9$.
$10$ då talets slutsiffra är $0$.
$12$ då villkoren för delbarhet med $3$ och $4$ är uppfyllda.
Känns det jobbigt att lära alla utantill så börja med delbarhetsreglerna för $2,\text{ }3,\text{ }5$2, 3, 5 och $10$10. Kan vi dessa är det lättare att även lära resten, då flera av dem är kombinationer eller utvecklingar av de fyra.
Exempel i videon
- Är talet $12$ delbart med talet $3$?
- Delar talet $2$ talet $28$ och hur kan vi faktorisera $28$?
- Ange alla delare till talet $8$.
- Ange ett värde på heltalet $x$ så att $3 \,|\, 11x$.
- Visa att $a^2 - 1$ är delbart med $8$ om $a = 4m + 1$ där $m$ är ett heltal.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (4)
-
1. Premium
Vilket tal förutom $1$1 och $9$9 delar talet $9$9 ?
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar...2. Premium
Om $3|a$ och $a|b$, gäller det då även att $3|b$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar...3. Premium
Vilket av alternativen är en korrekt faktorisering av talet $12$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Ange $x$ så att $ x | 15 $ och $ x | 18 $ samt att $ x > 1 $.
Svar:π²Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar...c-uppgifter (2)
-
5. Premium
Är $ (2a+1)^2 - 1 $ delbart med $4$ om $a$ är ett heltal och $a > 1$?
Träna på att motivera svaret.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar... -
6. Premium
Vad måste gälla för $a$ om $a|0$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar...
a-uppgifter (2)
-
7. Premium
Ange det sammansatta talet $a$a som uppfyller villkoren $1370<$1370< $a<1575$a<1575 och är delbart med både $3,\text{ }5$3, 5 och $7$7.
Rättar...8. Premium
Om $a|b$, gäller då även att $a^2|b^2$?
Motivera svaret.Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: delare och faktor Delbarhet Matematik 5 TalteoriRättar...
-
Uppgiften är en del av en abc-fråga. Vad vill du göra?
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Sanna Karlsson
Vad kommer 8m ifrån i sista exemplet? Ca. 3.30 in i videon
Endast Premium-användare kan kommentera.